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镇平县第一高级中学2025-2026学年高三下学期二模检测（一）数学试卷
一、解答题
1．已知函数，其中．
(1)证明：当时，；
(2)当时，证明：对任意，；
(3)若是的极小值点，求实数的取值范围．
2．如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形.
(1)求点到平面的距离；
(2)求二面角的正弦值.
3．在平面直角坐标系中，抛物线，直线，且l与C交于P，Q两点.构造点列如下：设的坐标为，直线，与C的另一个交点分别为，，直线与x轴的交点为.设点的坐标为.
(1)若的面积为，求l的斜率；
(2)用，表示直线的方程；
(3)设的面积为，求的最大值.
4．记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和.
5．在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为.
(1)求的值；
(2)若，求边上的高.
二、填空题
6．已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为4，已知，过的平面分别交其他侧棱于，，则四棱锥的体积为__________.
7．已知函数，，若成立，则的最小值为______．
8．青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围是 __________ ．
三、多选题
9．已知直线与双曲线交于，两点，，是的左，右焦点，为坐标原点，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．的离心率为 B．
C．到的距离为 D．到和的距离之和为
10．某工厂有3个生产车间加工同一型号的零件，已知第1，2，3号车间加工的零件数之比为.在某次产品抽检中，1号车间的合格率为80%，2号车间的合格率为70%，3号车间的合格率为75%，从该工厂随机抽取一个零件.记事件“该零件合格”，事件“该零件由号车间加工”，则（ ）
A．
B．与均不相互独立
C．
D．若从这次抽检的合格零件中随机抽取一个，则该零件来自1号车间的概率最大
11．已知复数，下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若复数满足，则在复平面对应的点是
D．若是关于的方程的一个根，则
四、单选题
12．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（ ）
A．1 B． C． D．2
14．已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则（ ）
A．37 B．38 C．39 D．40
15．口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
16．若函数的定义域内存在，使得成立，则称为“互补函数”．下列函数为“互补函数”的是（　　）
A． B．
C． D．
17．在三棱锥中，底面，，，.若的面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）.
A． B． C． D．
18．已知，则的虚部为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
19．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案
1．（1）设，则，
所以在上单调递增，当时，，
即.
（2）设，
因为当时，，由（1）可知，
所以
，
所以在上单调递增，即，
即，得证.
（3）由题意得，
令，，
（ⅰ）当，即时，取，
所以，当时，，结合（1）可知，
函数的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以函数是偶函数，
故当时，，
因为，所以是的极小值点，符合题意；
（ⅱ）当时，因为，且在区间上连续可导，
又因为，
所以函数是定义在上的偶函数，
故存在，使得对任意，都有，
所以函数在区间上单调递减，
当时，，当时，，
所以是的极大值点，不符合题意；
所以实数的取值范围是.
2．（1）取中点，连接，.
由题意，易得，，，
法一：因为侧面底面，侧面底面，
所以平面.所以是三棱锥的高.
又因为在中，，
而，，
所以为等腰三角形，且边上的高等于，
所以，
记点到平面的距离为，
由，得，
即，于是得.
法二：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立坐标系，
易知，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，得，，
得到平面的一个法向量，
又因为，
所以点到平面的距离等于.
（2）法一：设点在平面上的投影为，的中点为，连接和，
因为是边长为2的等边三角形，
所以，且，
而平面，平面，
所以，平面，，
所以平面，平面，
所以，
因此为二面角的平面角，
在中，.
法二：由（1）可知为平面的一个法向量，
又由（1）知平面的法向量为，
所以，
因此二面角的正弦值为，即为.
3（1）设，联立，得，
则，
则
，
又点到直线的距离，
则，
解得，满足，所以直线的斜率.
（2）因，在抛物线上，则，
设直线上的任意一点为，
则，，
则直线的方程为，
则，
则，即，
故直线的方程为.
（3）直线的方程为，直线的方程为，
联立，得，
则，则，同理可得，
则，，
则由（2）可得，直线的方程为，
，
又点到直线的距离为，
则
又直线与轴的交点为，则，则，
因及以上递推关系可知，，则，
则，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，故，
则，
故，
因，则当时，有最大值.
4．（1）由得，又是公差为的等差数列，故，即；
当时，，两式相减得，
累乘得：，
所以通项公式为：.
（2）由，代入得：，用错位相减法求：
，
，
两式相减得：，
整理后得：.
5．1）因为，，所以，
又的面积，所以，
所以.
（2）由正弦定理得，则，所以，
由余弦定理，，解得，
即，又的面积，
解得，即边上的高为.
6．
7．/
令，求出，构造函数利用函数导数求最值即可.
8．
9．ABD
10．AC
11．CD
12．B
13．C
14．B
15．D
16．B
17．D
18．C
19．D

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