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21专题训练四 特殊平行四边形
一、例题与变式
1.特殊平行四边形折叠
例1 如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
（1）判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
（2）若AB＝3，AD＝4，求FG的长．
变式1 已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝5，E是AD边上一点，且AE＝2，将△ABE沿直线BE翻折得到△A′BE，其中A的对应点是A′，连接A'C，则△A′BC的面积为 　 　 ．
2.特殊平行四边形辅助线的基本添加
例2 如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．
（1）求证：CG＝CE；
（2）如图2，连接FC、AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE．
（3）如图3，若G为DC中点，AB＝2，求EF的长．
变式2 如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF＝60°，则△BEF周长的最小值是（　　）
A．6 B．4 C．4 D．4+2
2.与特殊平行四边形结合的运动问题
例3 如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为（11，4），点D的坐标为（5，0），动点P在线段CB上以每秒1个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
（1）当t＝　 　 时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得四边形ODPQ是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在点P运动的过程中，线段PB上有一点M，且PM＝5，求四边形OAMP的周长最小值．
变式3 如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　）
A． B． C． D．
二、巩固练习
1．如图所示，把长方形ABCD沿EF折叠，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（　　）
A．110° B．115° C．120° D．130°
2．如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，AE＝1，点F是边AD上的动点，点P是线段BD上的动点，若EP+FP＝3，则线段EF的长为（　　）
A． B．2 C． D．
4．如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以2cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
5．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为 　 　 ．
6．G、H是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点，若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为 　 　 ．
7．学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为　 　 ．
8．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．点P为BC边上一定点且PC＝2，点Q为AD边上不与端点重合的一动点，将四边形PCDQ沿PQ翻折，使得点D的对应点E落在矩形的边上，连接BE，则BE的长为　 　 ．
9．如图1，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE＝CF，DE⊥AC，过点D作DG∥AC交BF的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEFG是矩形．
（2）如图2，连接DF，BE，当∠DFG＝∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．
10．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A，B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若△DEF的面积为6，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，请直接写出MN的长．
11．已知正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的顶点G、H分别在正方形ABCD的边CD、DA上，顶点E在射线AB上，AH＝2．
（1）如图1，当DG＝2时，求证；菱形EFGH是正方形；
（2）如图2，连接BF，当△FEB的面积等于1时，则AE的长为 　 　 ．
12．如图，平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC交于点E．OA，OC的长满足式子|OA﹣6|0．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直接写出点E的坐标，并求出直线AE的函数解析式；
（3）F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
21专题训练四 特殊平行四边形
一、例题与变式
1.特殊平行四边形折叠
例1 如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
（1）判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
（2）若AB＝3，AD＝4，求FG的长．
【分析】（1）根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；
（2）根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解
【解答】解：（1）四边形BFDG是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵∠EBD＝∠CBD，∠CBD＝∠FDB
∴∠FBD＝∠FDB，
∴DF＝BF，
∴四边形BFDG是菱形；
（2）∵AB＝3，AD＝4，
∴BD＝5．
∴OBBD．
假设DF＝BF＝x，
∴AF＝AD﹣DF＝4﹣x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2＝BF2，即32+（4﹣x）2＝x2，
解得x，
即BF，
∴FO，
∴FG＝2FO．
变式1 已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝5，E是AD边上一点，且AE＝2，将△ABE沿直线BE翻折得到△A′BE，其中A的对应点是A′，连接A'C，则△A′BC的面积为 　12　 ．
【分析】连接AA′交BE于F，连接DA'，作A′G⊥AD，利用勾股定理求得，利用三角形的面积求得，，推导出△BAF∽△AA′G，求得，进而求得S△AA'D＝3，S△ABA′+S△DCA′＝15，最后利用S△A'BC＝S矩形ABCD﹣S△AA′D﹣（S△ABA'+S△DCA'）代入数据解答即可．
【解答】解：如图，连接AA′交BE于F，连接DA'，作A′G⊥AD，
∵AA′关于BE对称，
∴AA′⊥BE，
∵AE＝2，AB＝6，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠GAA'+∠BAF＝90°，∠GAA'+∠AA'G＝90°，
∴∠BAF＝∠AA′G，
又∵∠AGA'＝∠BFA＝90°，
∴△BAF∽△AA′G，
∴，
∴，
∴，
∵S△AA'DAD A'G53，S△ABA′+S△DCA′AB AGDC DGAB（AG+DG）AB AD6×5＝15，
∴S△A'BC＝S矩形ABCD﹣S△AA′D﹣（S△ABA'+S△DCA'）＝6×5﹣3﹣15＝12．
故答案为：12．
2.特殊平行四边形辅助线的基本添加
例2 如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．
（1）求证：CG＝CE；
（2）如图2，连接FC、AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE．
（3）如图3，若G为DC中点，AB＝2，求EF的长．
【分析】（1）由ASA证得△BCG≌△DCE，即可得出结论；
（2）由等腰三角形三线合一得出DF＝EF，由CF是Rt△DCE的中线，得出CF＝EF，则∠E＝∠FCE，由角平分线的性质得出∠FBE∠DBE＝22.5°，推出∠E＝67.5°，则∠FCE＝67.5°，∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝67.5°，即可得出结论；
（3）由正方形的性质得出∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BDAB＝2，由G为DC中点，得CG＝1，在Rt△BCG中，由勾股定理得BG，设GF＝x，在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得（2）2﹣（x）2＝12﹣x2，解得x，求出DF，由（1）知△BCG≌△DCE，得BG＝DE，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥DE，
∴∠DFG＝∠BCG＝90°，
∵∠DGF＝∠BGC，
∴∠GBC＝∠EDC，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG＝CE；
（2）证明：∵BF平分∠DBE，BF⊥DE，
∴DF＝EF，
∴CF是Rt△DCE的中线，
∴CF＝EF，
∴∠E＝∠FCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBE＝∠ACB＝45°，
∵BF平分∠DBE，
∴∠FBE∠DBE＝22.5°，
∴∠E＝90°﹣∠FBE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠FCE＝67.5°，
∴∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠ACF＝∠FEC，
∴CF平分∠ACE；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BDAB＝2，
∵G为DC中点，
∴CG＝GDCD＝1，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG，
设GF＝x，
在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2﹣BF2＝DF2，DG2﹣GF2＝DF2，
∴（2）2﹣（x）2＝12﹣x2，
解得：x，
∴DF2＝12﹣（）2，
∴DF，
由（1）知：△BCG≌△DCE，
∴BG＝DE，
∴EF＝DE﹣DF．
方法2：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BDAB＝2，
∵G为DC中点，
∴CG＝GDCD＝1，
由（1）知：△BCG≌△DCE，
∴BG＝DE，
∵△BGD面积BC×DGDF×BG，
∴DF，
∴EF＝DE﹣DF．
变式2 如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF＝60°，则△BEF周长的最小值是（　　）
A．6 B．4 C．4 D．4+2
【分析】只要证明△DBE≌△DCF得出△DEF是等边三角形，因为△BEF的周长＝BE+BF+EF＝BF+CF+EF＝BC+EF＝4+EF，所以等边三角形DEF的边长最小时，△BEF的周长最小，只要求出△DEF的边长最小值即可．
【解答】解：连接BD，
∵菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴△ADB与△CDB是等边三角形，
∴∠DBE＝∠C＝∠60°，BD＝DC，
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠CDF，
在△BDE和△CDF中，，
∴△DBE≌△DCF，
∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，
∴∠EDF＝∠BDC＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∵△BEF的周长＝BE+BF+EF＝BF+CF+EF＝BC+EF＝4+EF，
∴等边三角形DEF的边长最小时，△BEF的周长最小，
当DE⊥AB时，DE最小＝2，
∴△BEF的周长最小值为4+2，
故选：D．
2.与特殊平行四边形结合的运动问题
例3 如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为（11，4），点D的坐标为（5，0），动点P在线段CB上以每秒1个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
（1）当t＝　6　 时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得四边形ODPQ是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在点P运动的过程中，线段PB上有一点M，且PM＝5，求四边形OAMP的周长最小值．
【分析】（1）四边形PODB是平行四边形，则DO＝PB，即5＝11﹣t，即可求解；
（2）四边形ODPQ是菱形，则PD＝DO，即5，解得t＝8或2，进而求解；
（3）作点A关于直线BC的对称点A′（11，8），将点A′向左平移5个单位得到点A″（6，8），连接A″O，交CB于点P，点P向右5个单位得到点M，此时，四边形OAMP的周长最小，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：CP＝t，则BP＝BC﹣CP＝11﹣t，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴DO＝PB，即5＝11﹣t，解得t＝6，
故答案为6；
（2）如图1，连接PD，过点P作PH⊥AO于点H，
则PH＝4，HD＝OD﹣OH＝OD﹣CP＝5﹣t，
PD，
∵四边形ODPQ是菱形，
∴PD＝DO，
即5，解得t＝8或2，
故点P的坐标为（8，4）或（2，4），
当点P的坐标为（2，4）时，点Q在点P的左侧5个单位的位置，
即点Q（﹣3，4）；
当点P的坐标为（8，4）时，点Q在点P的左侧5个单位的位置，
即点Q（3，4），
故点Q的坐标为（﹣3，4）或（3，4）；
（3）作点A关于直线BC的对称点A′（11，8），将点A′向左平移5个单位得到点A″（6，8），
连接A″O，交CB于点P，点P向右5个单位得到点M，此时，四边形OAMP的周长最小，
理由：四边形OAMP的周长＝AM+PM+OP+OA＝A′M+PM+OP+OA＝A″M+PM+OP+OA＝A″O+5+11＝A″O+16为最小，
由点A″的坐标得，OA″10，
则四边形OAMP的周长最小为10+16＝26．
变式3 如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，再利用AE＝t，CF＝2t，则BF＝BC﹣CF＝5﹣2t求出时间t的值．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADB∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠DEF＝60°，
又∵∠ADB＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，
∴t＝5﹣2t
∴t，
故选：D．
二、巩固练习
1．如图所示，把长方形ABCD沿EF折叠，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（　　）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【分析】先根据折叠的性质和平角的定义求出∠BFE＝65°，再根据平行线的性质即可得到∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．
【解答】解：由折叠的性质可得∠BFE＝∠GFE，
∵∠1＝50°，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．
故选：B．
2．如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】先根据翻折变换的性质得出EF＝AE＝5，在Rt△BEF中利用勾股定理求出BE的长，再根据AB＝AE+BE求出AB的长，再由矩形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△DEF由△DEA翻折而成，
∴EF＝AE＝5，
在Rt△BEF中，
∵EF＝5，BF＝3，
∴BE4，
∴AB＝AE+BE＝5+4＝9，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝9．
故选：C．
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，AE＝1，点F是边AD上的动点，点P是线段BD上的动点，若EP+FP＝3，则线段EF的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】根据EP+FP＝3，而正方形的边长也为3，于是可在找点E关于BD的对称点E′，结合正方形的性质可知点E′在边BC上，再点E′作BC的垂线，即可判断点P于点F的位置，最后根据勾股定理求出线段EF的长即可．
【解答】解：如图，在BC在截取一点E′，使得BE＝BE′，连接EE′交BD于点G，过点E′作PE⊥BC，交BD于点P，E′P的延长线交AD于点F，连接EF，
则四边形CDFE′和四边形ABE′F均为长方形，E′F＝3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵BE＝BE′，
∴△BEE′为等腰直角三角形，
又∵∠EBG＝∠E′BG，
∴EG＝E′G，BG⊥EE′，即BD垂直平分EE′，
∴PE＝PE′，
∴PE+PF＝PE′+PF＝E′F＝3，
∴AF＝BE′＝2，
在Rt△AEF中，EF．
故选：C．
4．如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以2cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
【分析】根据图象的三角形的面积可得矩形的长为2a，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD＝BC＝2a，即矩形的长是2a，
∴2a AB＝6a，
即AB＝6．
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB＝5×2＝10，
在Rt△ABD中，
AD2+AB2＝BD2，
∴（2a）2+62＝102，
解得a＝4．
故选：C．
5．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为 　　 ．
【分析】连接OP，先求得△AOD的面积，再由△AOD的面积＝△ODP的面积+△AOP的面积OA PEOD PF，即可求解．
【解答】解：如图，连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝90°，
∴OA＝OC＝OB＝OD，AC10，
∴OA＝OD＝5，
∵△AOD的面积矩形ABCD的面积8×6＝12，
即△ODP的面积+△AOP的面积＝12，
∴OA PEOD PF＝12，
∴5（PE+PF）＝12，
解得：PE+PF．
故答案为：．
6．G、H是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点，若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为 　　 ．
【分析】连接EF，交AC于点O，先证明四边形EHFG是矩形，再根据同高三角形面积的关系可得△EOG的面积，从而可得结论．
【解答】解：四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB和CD的中点，如图，连接EF，交AC于点O，
∴AB＝AD＝CD，AB∥CD，，，
∴AE＝CF＝DF，
∵AE∥DF，AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF＝AB，
∵∠EAD＝90°，
∴ AEFD是矩形，
∴∠AEF＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，AO＝OC，
∵AG＝CH，
∴AO﹣AG＝OC﹣CH，
即OG＝OH，
∴四边形EHFG是平行四边形；
又∵GH＝AB，EF＝AB，
∴GH＝EF，
∴四边形EHFG是矩形，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝GH＝EF＝4，
∴AE＝EO＝OG＝2，
在直角三角形AOE中，由勾股定理得：AO，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形EHFG的面积＝4×△EOG的面积．
故答案为：．
7．学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为　42　 ．
【分析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，由矩形的性质得出AB＝DE，由题意得CD2+CE2＝CA2+CB2，求出CE＝4，当C、D、E三点共线时，DE最小，得出AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝42．
【解答】解：以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示：
则AB＝DE，
由题意得：CD2+CE2＝CA2+CB2，
即22+CE2＝42+62，
解得：CE＝4，
当C、D、E三点共线时，DE最小，
∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝42；
故答案为：42．
8．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．点P为BC边上一定点且PC＝2，点Q为AD边上不与端点重合的一动点，将四边形PCDQ沿PQ翻折，使得点D的对应点E落在矩形的边上，连接BE，则BE的长为 　2或　 ．
【分析】分点E在边AD上，点E在边AB上，点E在边BC上三种情况讨论，并分别利用轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理即可求出BE的长．
【解答】解：分三种情况：
①点E在边AD上，如图，
由折叠可知：PQ⊥AD，QE＝QD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDQP是矩形，
∴QD＝PC＝2，
∴QE＝2，AE＝AD﹣QE﹣QD＝5﹣2﹣2＝1，
在Rt△ABE中，
由勾股定理，得BE，
②点E在边AB上，如图，连接DE，PD，PE，
由折叠可知，PQ是DE的垂直平分线，
∴PE＝PD，
在Rt△DPC中，
由勾股定理，得PD，
∴PE，
在Rt△PBE中，
由勾股定理，得BE2，
③点E在边BC上，
此时∵PE＝PD＞CD，即PE＞3，而PB＝BC﹣PC＝5﹣2＝3，
∴点E一定落在CB的延长线上，即点E不可能在边BC上，
综上，BE的长为：2或．
故答案为：2或．
9．如图1，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE＝CF，DE⊥AC，过点D作DG∥AC交BF的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEFG是矩形．
（2）如图2，连接DF，BE，当∠DFG＝∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD＝CB，AD∥CB，从而得出∠DAE＝∠BCF，推出△ADE≌△CBF（SAS），得到∠AED＝∠CFB．再证出DE∥GF，从而得到最后结果；
（2）先证得DEBF是平行四边形，得出DF∥BE，从而得出∠AFD＝∠BEF．进一步得出∠AFD＝∠DFG．最后可得出DEFG是正方形．
【解答】（1）证明：在 ABCD中，AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF．
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB．
∵∠AFG＝∠CFB，
∴∠AED＝∠AFG，
∴DE∥GF．
∵DG∥AC，
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°．
∴四边形DEFG是矩形．
（2）四边形DEFG是正方形．
理由：由（1）知DE∥BF，DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DF∥BE，
∴∠AFD＝∠BEF．
∵∠DFG＝∠BEF，
∴∠AFD＝∠DFG．
在矩形DEFG中，∠EFG＝∠DEF＝90°，
∴∠DFE＝∠EDF＝45°，
∴DE＝EF，
∴矩形DEFG是正方形．
10．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A，B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若△DEF的面积为6，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，请直接写出MN的长．
【分析】（1）先证明∠ADE＝∠BAE，进而依据“ASA”判定△ADE和△BAF全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）设AE＝BF＝a，则BE＝CF＝4﹣a，由三角形的面积公式得S△ADE＝2a，S△BEFa（4﹣a），S△CDF＝2（4﹣a），再由△DEF的面积为6，正方形ABCD的面积为16得S△ADE+S△BEF+S△CDF＝10，则2aa（4﹣a）+2（4﹣a）＝10，整理得（a﹣2）2＝0，由此得AE＝BF＝a＝2，然后再由勾股定理即可求出AF的长；
（3）连接AM，并延长交CD于点H，连接FH，证明△DMH和△EMA全等得DH＝AE＝2，由勾股定理得FH，证明MN是△AFH的中位线，再由三角形中位线定理即可得出MN的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠DAG＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠ADE+∠DAG＝90°，
∴∠ADE＝∠BAE，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）解：设AE＝BF＝a，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，
∴BE＝CF＝4﹣a，正方形ABCD的面积为16，
∵S△ADEAD AE＝2a，S△BEFBF BEa（4﹣a），S△CDFCD CF＝2（4﹣a），
又∴△DEF的面积为6，
∴S△ADE+S△BEF+S△CDF＝16﹣6，
∴2aa（4﹣a）+2（4﹣a）＝10，
整理得：a2﹣4a+4＝0，
∴（a﹣2）2＝0，
∴a＝2，
∴AE＝BF＝a＝2，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF；
（3）连接AM，并延长交CD于点H，连接FH，如图所示：
∵在（2）的条件下，
∴AE＝BF＝2，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠MDH＝∠MEA，∠MHD＝∠MAE，
∵点M是DE的中点，
∴DM＝EM，
在△DMH和△EMA中，
，
∴△DMH≌△EMA（AAS），
∴DH＝AE＝2，
∴CH＝CD﹣DH＝2，
又∵CF＝BC﹣BF＝2，
∴CH＝CF＝2，
在Rt△CFH中，由勾股定理得：FH，
∵点M是DE的中点，点N是AF的中点，
∴MN是△AFH的中位线，
∴MNFH．
11．已知正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的顶点G、H分别在正方形ABCD的边CD、DA上，顶点E在射线AB上，AH＝2．
（1）如图1，当DG＝2时，求证；菱形EFGH是正方形；
（2）如图2，连接BF，当△FEB的面积等于1时，则AE的长为 　或　 ．
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，而AH＝DG＝2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG＝∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG＝90°，易证四边形EFGH为正方形；
（2）分E点在正方形的AB边上和在正方形外两种情况讨论，证明△DGH≌△MEF，求出FM＝4，运用面积公式求出BE即可解答．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵菱形ABCD，
∴EH＝GH，
∵DG＝AH＝2，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG（HL），
∴∠DHG＝∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，∴∠DHG+∠AHE＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴菱形EFGH是正方形；
（2）解：当E点在正方形的．AB边上时，如图，过F作FM⊥AB，交AB的延长线于点M，连接GE，
∵CD∥AB，
∴∠DGE＝∠GEM，
∵EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∴∠DGH＝∠MEF，
在△DGH和△MEF中，
，
∴△DGH≌△MEF（AAS），
∴MF＝DH，
∵AD＝6．AH＝2．
∴DH＝AD﹣AH＝6﹣2＝4，
∴MF＝4．
设AE＝x，则EB＝6﹣x．
∴S△FEBEB FM（6﹣x）×4＝1，
解得x，
∴AE；
当点E在正方形外部时，如图，
∵BE FM＝1BE×4，
∴BE，
∴AE＝AB+BE＝6，
综上，AE的长为或．
12．如图，平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC交于点E．OA，OC的长满足式子|OA﹣6|0．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直接写出点E的坐标，并求出直线AE的函数解析式；
（3）F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质求出OA、OC的长，即可解决问题；
（2）首先证明EO＝EB，设EO＝EB＝x，在Rt△ECO中，EO2＝OC2+CE2，构建方程求出x，可得点E坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）由|OA﹣6|0．
可得OA＝6，OC＝3，
∴A（6，0），C（0，3）；
（2）∵OA∥BC，
∴∠CBO＝∠AOB，
根据翻折不变性可知：∠EOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴EO＝EB，
设EO＝EB＝x，
在Rt△ECO中，EO2＝OC2+CE2，
∴x2＝32+（6﹣x）2，
解得x，
∴CE＝BC﹣EB＝6，
∴E（，3），
设直线AE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AE的函数解析式为yx；
（3）如图，OB3．
①当OB为菱形的边时，OF1＝OB＝BP1＝3，故P1（6﹣3，3），
OF3＝P3F3＝BP3＝3，故P3（6+3，3）．
②当OB为菱形的对角线时，
∴OP2＝BP2，
∴CP2＝6﹣P2O，
在Rt△OP2C中，P2C2+OC2＝P2O2，
∴（6﹣P2O）2+32＝P2O2，解得P2O，
∴CP2＝6，
∴P2（，3），
③当OP4为对角线时，
∵AB⊥x轴，OP4＝OB，
∴P4（6，﹣3），
综上所述，满足条件的点P坐标为（6﹣3，3）或（6+3，3）或（ ，3）或（6，﹣3）．

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