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兴宁市宋声学校九年级二模数学试卷
一、选择题：本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某日凌晨测得某山顶的气温为-3℃，随着太阳升起，到中午时分气温上升了5℃，则中午时分该山顶的气温是（ ）
A．-8℃ B．-2℃ C．2℃ D．8℃
2．2025年8月，科学家们在研究微观粒子时发现，某种新型纳米材料的单个粒子的质量极小．经测量，该粒子的质量为0.0000000056千克．数据0.0000000056用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AB∥CD，将一把含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在CD上，延长AC到点E，则∠DCE的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．如图，这是由五个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果等于（ ）
A．2 B．x C． D．
6．如图，直线l：y=-2x+2与双曲线交于A，B两点．已知B（2，-2），点A的纵坐标为4，则不等式的解集为（ ）
A．-12 C．-12
7．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商店购进A种头盔40个和B种头盔50个共需资金5450元，A种头盔的单价比B种头盔的单价高8元．设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题意，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知若=4，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9.在装有氢气（H ）、氧气（O ）、氮气（N ）的三个容器中，若小琪随机抽取两瓶气体做化学实验，则她恰好选到两种气体能反应生成水（H O）（氢气和氧气混合点燃可生成水）的概率是（ ）
A． B． C． D．
10.如图，在△ACB中，AC=8，BC=6，∠C=90°，点D，E分别在AC，BC上，且BE=2，将△DCE沿着直线DE折叠得到△DE，点D到AB的距离为2，则tan∠ED的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题.
11．因式分解：______．
12．计算：______．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，2），点B（-3，-1），点C（-2，-2），平移△ABC，使点A落在点D（2，1）处，则点C的对应点F的坐标为______．
14．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为______．
15．如图，已知一次函数图象与坐标轴交于M，N两点．点P是x轴上一点，其横坐标为a（a>0），若△MNP的面积为S，则S与a的函数关系式为______．
三、解答题（一）：本大题共3小题．
16．解不等式组：
17．如图，AB为⊙O的直径，PQ与⊙O相切于点Q，GQ=GM．猜想OG与AB的位置关系，并证明你的结论．
18．如图，这是某座抛物线形拱桥的示意图，当桥下水面的宽度AB为20米时，拱高OC为5米．现在有一艘高度为3.5米的小船需要从桥下通过，为了安全通过，小船在桥下水面的宽度不能超过多少米
四、解答题（二）：本大题共3小题．
19．如图，四边形ABCD是菱形，B是AN的中点，连接DN交CB于点M．
（1）求证：CM=BM．
（2）连接DB，若DN⊥BC，DB=8，求DM的长.
20．某公司研发了甲、乙两款教育辅助产品，为了解其使用效果，对使用这两款产品的学生进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了使用这两款产品的学生各20名，对这两款产品的使用效果进行评分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为四组：A：60抽取的对甲款产品的所有评分数据：
65，69，74，77，77，79，86，86，86，86，87，88，89，89，95，96，97，97，98，99．
抽取的对乙款产品的评分数据中C组包含的所有数据：83，85，86，88，89，89，89，90．
抽取的对甲、乙两款产品的评分统计表 产品中位数众数方差甲86.5b92.2乙a8970.6
抽取的对乙款产品的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=______，b=______，m=______．
（2）若甲、乙两款教育辅助产品的平均数相等，根据以上数据，你认为哪款教育辅助产品更受学生欢迎 请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）若本次调查有600名学生对甲款教育辅助产品进行了评分，有800名学生对乙款教育辅助产品进行了评分，请估计其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意（9021．综合与实践．
【主题】探索锐角三角函数的应用．
【背景】广东吴川“飘色”起源于清代，是一种由色板上装饰着靠色梗支撑的固定姿势人物的传统民俗艺术，其人物造型依据戏剧人物设计，内容涵盖历史故事、神话传说及现代题材等．
【素材】如图，这是“飘色”的示意图，AB是“飘色”的支撑杆．小明站在C处，测得与支撑杆的距离BC=6米，借助测角仪观察，发现支撑杆AB上的点D的仰角∠DPQ=30°；小琪在观测点H处借助无人机技术进行测量，测得AH平行于水平线BC，支撑杆AB上的点T的俯角∠AHT=45°，点H，T之间的距离是4米，已知支撑杆AB=6．3米，小明的眼睛到地面的距离PC=1.5米．
【探究】（1）求支撑杆上DQ的长度．
（2）求支撑杆上DT的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：
五、解答题（三）：本大题共2小题．
22．已知四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=4．
（1）如图1，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形CGFE，连接AC，CF，AF，判定△ACF的形状，并说明理由；
（2）如图2，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形CGFE，若点F恰好落在AD的延长线上，CG与DF相交于点M，求△CMF的面积；
（3）如图3，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形CGFE，连接AE，取AE的中点H，连接DH，求线段DH长度的最大值和最小值．
23．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax-3a+3的图象与反比例函数的图象相交于A（3，b），B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，连接OA．
（1）求反比例函数的解析式和b的值．
（2）如图1，已知AE∥x轴，BE∥y轴，作射线OE交一次函数的图象于点T，求证：．
（3）①如图2，在Rt△ABO中，∠B=90°，∠O=30°，AB=2，用无刻度的直尺和圆规作∠O的平分线交AB于点C（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出
②设G为反比例函数的图象上的点，连接OG，若∠AOG=30°，请求出点G的坐标．（提示：如
参考答案及解析
一、选择题（共10小题）
题号 答案 简要解析
1 C ，故选2℃
2 A （小数点右移9位）
3 A ，，故
4 A
5 A
6 D 由交点，不等式等价于，解得或
7 C A单价，B单价，则
8 A 由相似比（若）
9 C 三瓶气体随机抽两瓶：，仅1组能生成水，概率3
10 D 折叠性质得，结合点到距离为2，推得
二、填空题（共5小题）
题号 答案 解析
11 平方差公式
12
13 平移向量：，故
14 7 由韦达定理：， 则
15
三、解答题（一）（共3小题）
16．解不等式组
解：由得；
由得，即。
不等式组的解集为。
17．猜想与证明
猜想：。
证明：连接，则（切线垂直半径）。
，
（SSS），
，即。
18．抛物线拱桥问题
解：以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点，设解析式为。
将代入得：，解得，
抛物线解析式为。
当小船高3.5米时，令，则：
水面宽度米。
答：小船在桥下水面的宽度不能超过米（约11.0米）。
四、解答题（二）（共3小题）
19．菱形综合
（1）证明：四边形是菱形，，。
又是中点，。
在中，为中点，，
是中位线，故为中点，即。
（2）解：菱形中，则，
为直角三角形，是中点，故。
由菱形性质，，，结合勾股定理可求得。
20．数据分析
（1）乙款数据共20个，C组8个，D组频率；
乙的中位数：排序后第10、11位平均，位于C组后半段，；
甲的众数：出现次数最多的是86，故。，，。
（2）乙款更受欢迎。理由：乙的方差更小（70.6<92.2），成绩更稳定；或乙的众数更高。
（3）甲非常满意人数：20人中90分以上有5人，占比，
人；乙非常满意人数：20人中90分以上有4人，占比20%，
人；总计人。
21．三角函数应用（1）求：过点作于，则米，米。
在中，，米，
米（精确值）。
（2）求：由，，米，得
米，米，
故米，
米。

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