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2026年春期九年级第一次模拟试卷
数学
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．
2.试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）.下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1.中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，-2026的相反数是（ ）．
A. B.2026 C. D.
2.ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
3.如图所示，关于甲、乙两城的位置信息正确的是（ ）．
A.乙城在甲城的东北方向300千米处
B.乙城在甲城的西北方向300千米处
C.甲城在乙城的西南方向900千米处
D.甲城在乙城的东北方向900千米处
4.小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：cm），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积.这个盒子的容积为（ ）．
A.6 B.8 C.10 D.15
5.已知排球队6名上场队员的身高（单位：cm）分别是：181，185，188，190，192，193，现用两名身高是186，193的队员分别换下场上身高为181，192的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ）．
A.平均数 B.众数 C.方差 D.中位数
6.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是（ ）．
A. B. C.0 D.1
7.我市组织的一次文旅活动中安排有猴戏表演，每场设有4个固定节目：
主办方每日随机抽取2个不同节目展演，每个节目被抽中的概率均等.则抽取的节目中恰好含节目与节目的概率是（ ）．
A. B. C. D.
8.如图，平行四边形的顶点、、在上，若点是圆周上任意一点且不与、、重合，则的度数为（ ）．
A.60° B.120° C.60°或120° D.30°或150°
9.如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在线段上，连结，.若点和点关于直线对称，则的值为（ ）．
A.1 B. C. D.
10.如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.单项式的系数是______．
12.若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为______．
13.石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料.下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第1个图形中有14个碳原子，第2个图形中有18个碳原子，第3个图形中有22个碳原子，按这样的规律，第个图形中碳原子的个数为______．（用含的式子表示）
14.如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为______．（结果保留）
15.如图，矩形中，，，点为轴上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点的对应点为点，当点落在轴上时，点的坐标为______．
三、解答题：（共75分）
16.（10分）（1）（5分）计算：
（2）（5分）化简：
17.（9分）为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动．
“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校1200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）：
××中学学生借阅图书情况调查报告
调查主题 ××中学学生借阅图书情况
调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生
数据的收集与整理 第一项 各类图书 借阅量统计
第二项学生 个人借阅量统计 图书借阅量/本 0 1 2 3 …
人数/名 11 20 81 30 …
调查结论 …
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整；
（2）估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名？
（3）在制定方案时，小兵给出的初步方案是随机抽取200名七年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计.小兵的方案合理吗？简要说明理由．
18.（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若点在轴上，且，求点坐标；
（3）若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离大于3，请根据图象直接写出的取值范围．
19.（9分）如图，过菱形的顶点，且切于点，的延长线交于点，且与的延长线交于点．
BAM0
（1）求证：为的切线；
（2）连接，若，，求的长．
20.（9分）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单．
课题 测量校园内一棵大树的高度
测量工具 测角仪、皮尺
测量图例
测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处；丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为.
测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角.
说明 点在同一水平直线上，，图中所有的点都在同一平面内.（参考数据：）
（1）请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹）
（2）根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米）
21.（9分）快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多200件.甲种型号机器人分拣10000件快递的时间与乙种型号机器人分拣8000件快递的时间相同．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？
（2）已知甲种型号机器人每台5万元，乙种型号机器人每台3万元.该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，且这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件.求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？
22.（10分）设二次函数（是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
（1）若时，求二次函数的表达式；
（2）当时，有最小值为，求的值；
（3）若，求证：．
23.（10分）综合与实践：
如图1，在中，，.点是外一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接．
（1）试证明：；
（2）如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，连接，求出与之间的数量关系；
（3）如图3，当时，点在的延长线上，连接，将线段绕点按逆时针向旋转120°，得到线段，连接，直接写出的值．
2026年春期九年级第一次模拟数学答案
1.B 2.C 3.C 4.A 5.D 6.D 7.A 8.C 9.D 10.B
11. 12. 13. 14. 15.或（对1个2分，对2个3分）
16.（10分）（1）（5分）解：原式
（2）（5分）解：原式
17.（9分）解：（1）借阅图书的总数量为：（本）；
类书籍的借阅量为：（本），类书籍的借阅量为：（本），补全统计图如下：
答：被调查的200名学生的借阅总量为720本.
（2）（名），
答：该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生大约有528名
（3）小兵的做法不合理，理由：
小兵仅随机抽取200名七年级学生的图书借阅量不具有代表性，这样的抽样调查的可靠性较低，所以小兵的做法不合理.
18.（9分）解：（1）一次函数的图象经过点，，反比例函数的图象经过，，反比例函数解析式为
（2）反比例函数经过点，点设一次函数与轴交于点，则点为，设点坐标为，，
，或，
点坐标为或
（3）或
19.（9分）证明：（1）如图，连接，，是的切线，，
四边形是菱形，，又
点在上，为的切线；
（2）四边形是菱形，
在中，
.
20.（9分）解：（1）如图，在的左侧作，交于点，则点即为所求.
（2）延长交于点，四边形是矩形，米.
由（1）知，，.
设米，则米，
米，米.
在中，，
解得，米.
答：这棵大树的高度约10米.
21.（9分）解：（1）设甲种型号机器人每小时分拣件快递，则乙种型号机器人每小时分拣件快递，根据题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意.
（件）
答：甲种型号机器人每小时分拣1000件快递，乙种型号机器人每小时分拣800件快递.
（2）设购买台甲种型号机器人，总费用为万元，根据题意得，
解得，总费用.
，随的增大面增大，又为整数，的最小值为3，此时最小值为：（万元）
答：购买3台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费用是36万元.
22.（10分）（1）解：当时，抛物线经过三点，
，，二次函数的表达式为
（2）解：抛物线经过两点
当或时，，抛物线的对称轴为直线，
当时，有最小值为，有两种情况
①若，当时，函数取得最小值，，的值为
②若，则或时，函数取得最小值，
综上得，的值为或
（3）证明：
即：
.10分
23.（10分）【探究发现】证明：线段旋转得到线段，旋转角为
又
【性质应用】：解：（或），连接，四边形为正方形，
由旋转得，
（两角相等的两个三角形相似），（相似三角形的对应边成比例）；
【拓展延伸】：

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