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吉林四平市2026年初中学业水平模拟考试数学试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将班级、姓名、考号填写在试卷左侧.
2．本次考试请直接在试卷（或答题卡）指定位置上作答.
数学试题包括三道大题，共22道小题.全卷满分120分，考试时间为120分钟.
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意.每小题3分，共18分）
1．下列温度中，比低的温度是（ ）
A. B. C. D.
2．计算的结果是（ ）
A.6 B. C. D.3
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点处，沿圆柱的侧面爬到点处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，平行四边形ABCD的对角线交点为原点.若，则点C的坐标是（ ）
A.(2，-1) B.(-2，1) C.(1，-2) D.(-1，-2)
6．如图，某地位于北纬（即），东经，南海海域某处位于北纬（即），东经.设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ）
A.（千米） B.（千米） C.（千米） D.（千米）
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．因式分解：_______________．
8．将函数的图象向下平移2个单位长度后，得到的新函数的图象对应的解析式为____________．
9．一副三角板如图1摆放，把三角板AOB绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为____________°．
10．如图，正八边形ABCDEFGH的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，在第一象限．点在反比例函数的图象上，若，则的值为___________．
11．如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留)
三、解答题（本题共11小题，共87分）
12．（6分）先化简：，再将从中选取一个使原式有意义的数代入求值.
13．（6分）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少？
14．（6分）人民广场是中心景观类环岛型交通广场.甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
15．（7分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，.
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
16．（7分）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出BC的中点；
（2）在图2中作出的重心.
17．（7分）学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88．
八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a 83
众数 84
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中____________，，；
（2）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？
18．（8分）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验过程 1．站在与教学楼底部同一水平地面的处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部处的仰角； 4．向后退至点处时，视线恰能看到校徽底部处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部处的仰角.
实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5．
备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据：；．
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．
19．（8分）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了．
（1）原长为的铜棒受热后升高，则该铜棒的伸长量为________.（用科学记数法表示）.
（2）铁的线膨胀系数为___________（）；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
20．（10分）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）.两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离（单位：km）与行驶时间（单位：）之间的函数关系图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中的值是_________，的值是_________；
（2）在货车从地返回地的过程中，求货车距出发地的距离（单位：km）与行驶时间（单位：）之间的函数解析式；
（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km．
21．（10分）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点C，T是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为．
（1）的值为_________；
（2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值；
（3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点和）．过M，N分别作轴的垂线，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为．求关于的函数解析式．
22．（12分）问题情境：如图1，在纸片中，，点在边AB上，．沿过点的直线折叠该纸片，使DB的对应线段与BC平行，且折痕与边BC交于点，得到，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由；
拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边AC交于点，然后展平．连接交边AC于点，连接．
①若，判断DE与的位置关系，并说明理由；
②若，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．
四平市2026年初中学业水平模拟考试
数学试题参考答案
评阅说明：
1．评卷采分最小单位为1分，每步标出的是累计分．
2．考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分.
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意.每小题3分，共18分）
1．A 2．A 3．C 4．B 5．C 6．D
二、填空题（每小题3分，共15分）
7． 8． 9．75 10． 11．．
三、解答题（本题共11小题，共87分）
12．解：
（4分）
∵分式要有意义，且，
∴当时，原式；
当时，原式． （6分）
评分说明：选出一个适合的数代入求值即可.
13．解：设学生有人，该书单价元， （1分）
根据题意得：， （4分）
解得：． （6分）
答：学生有7人，该书单价53元.
14．解：由题意得，可画树状图为：
（4分）
由树状图可知一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有3种，
（甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率）． （6分）
15．（1）证明：，
，即，
在和中，
（4分）
（2）解：，
由（1）可知：，
，
． （7分）
16．解：（1）如图1，点即为所求． （4分）
（2）如图2，点即为所求． （7分）
评分说明：画法不唯一
17．解：（1）（1）84，86，30 （3分）
（2）（人）， （7分）
估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分学生人数共是293人．
18．解：由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，
，
（2分）
∵在Rt中，，
， （4分）
在Rt中，，
， （6分）
， （8分）
答：校徽的高度约为2.02m.
19．解：（1）， （1分）
（2）， （3分）
设该铁棒温度的增加量为，
由题意得：，
解得：
故该铁棒温度的增加量为； （5分）
（3）设铜棒增加的温度为，则铁棒增加的温度为，设它们的长度均为，
由题意得，
整理得：，
解得：，
则，
即该铁棒温度的增加量为. （8分）
20．解：（1）300， 2． （2分）
（2）货车从C地出发再返回C地所用时间：，
，
货车到达B地的时间：，
， （4分）
设直线MN的解析式为，
将的坐标的坐标分别代入，
得
解得
答：在货车从B地返回C地的过程中，与的函数关系式是
． （7分）
（3）出轿车出发经过或或与货车相距40km． （10分）
21．解：（1）， （1分）
（2）由（1）可知：，
，
是抛物线上一动点，点的横坐标为，
，
； （4分）
（3）当时，，当时，，
，
由（2）可知：，对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点的坐标为，
在第四象限，，
当时，抛物线弧CP的最高点为，最低点为，
此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
，
当时，抛物线弧CP的最高点为，最低点为，
此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
，
当时，抛物线弧CP的最高点为，最低点为，
此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
，
综上：； （10分）
22．解：（1）四边形是菱形， （1分）
理由如下：由折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形； （4分）
（2）①， （5分）
理由如下：由（1）知四边形是菱形，
，
由折叠的性质得到，
，
，
，
，
，
，
； （8分）
②5或 （12分）

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