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2026年中考第一次模拟考试
数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数和负数.如果盈利50元记作“元”，那么亏损30元记作（ ）
A.元 B.元 C.元 D. 元
2.以下几何体的主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
4.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
5.如图①是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机，如图②，将该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直于地面，垂足为点D，，垂足为点C，设，则下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，直线与x轴、y轴分别相交于，B两点，，圆心P的坐标为，与y轴相切于原点O，若将沿x轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
7.如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A.图象经过点 B.y随x的增大而减小
C.图象在第一、三象限内 D.图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9.将多项式按字母x的降幂排列为______.
10.计算：______.
11.如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则的度数为______.
12.如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______.（结果保留）
13.如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为______.
14.2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都国际机场，并穿过象征民航最高礼仪的“水门”.如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图②，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面，喷水口A，B距地面均为.若两辆消防车同时后退，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面______m.
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15.（6分）先化简，再求值：，其中.
16.（6分）将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中.甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4.从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球.用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字不同的概率.
17.（6分）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种口味畅销的月饼.已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍.求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元.
18.（7分）如图，在四边形中，，且，连接对角线，已知.
（1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）猜想与证明：连接，判断四边形的形状，并说明理由.
19.（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上.在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法.
（1）如图①，_______；
（2）如图②，在上找一点F，使；
（3）如图③，在上找一点M，连接，，使.
20.（7分）为加强劳动教育，学校制订了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生.根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为A（），B（），C（），D（）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下.
两次调查数据统计表
时间 平均数 中位数 众数
学期初 2.8 2.9 2.8
学期末 3.5 3.6 3.6
（1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是______人，并补全条形图；
（2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数；
（3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高 结合统计数据说明理由.
21.（8分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（）关于已行驶路程x（）的函数图象.
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为时汽车已行驶的路程；当时，求的电量汽车能行驶的路程.
（2）当时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶时，蓄电池的剩余电量.
22.（9分）【感知】如图①，是等边的外接圆，点D是上一点（点D不与B，C重合），试探究，，的关系.
小明通过作如下的辅助线使得问题解决：延长至点E，使，连接.
，，的关系是_______________________________；
【探究】如图②，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，.若，求的值；
【应用】如图③，A，C是半径为2的上的两动点，以为直角边在内作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为______.
23.（10分）如图，在中，，，于点D，点M为的中点.点P从点A出发沿折线以每秒5个单位的速度向终点C运动（点P不与的顶点重合），作点P关于点M的对称点，取线段的中点Q，作.设点P的运动时间为.
（1）当点P在上时，连接，求证：；
（2）当点P在上，且点落在边上时，求t的值；
（3）当时，求的长；
（4）作和，当与相似时，直接写出t的值.
24.（12分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线对称轴为直线，与y轴交于点.点A，B是该抛物抛物线上不重合的两点（点A，B均不与点M重合），横坐标分别为m，，连接，以为边，以点M为对称中心作.
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当的一条边与坐标轴平行时，求m的值；
（3）当点A在点B的右侧，且的边与抛物线交于点N（点N不与点A，D重合），若的面积等于的面积的3倍，求m的值；
（4）当的顶点C，D恰好落在同一象限内时，直接写出m的取值范围.
2026年中考第一次模拟考试
数学试题参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.C 2.A 3.B 4.A 5.D 6.B 7.B 8.C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 10. 11. 12. 13.6 14.19
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15.原式
当时，原式
16.
所以P（摸出的两个球上的数字不同）
17.设乙种月饼的单价为x元，则甲种月饼的单价为元.
根据题意，得.
解得.
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴（元）.
答：甲种月饼的单价为7.5元，乙种月饼的单价为5元.
18.（1）解：如图所示，直线即为所求.
（2）四边形是菱形.理由如下：
由（1）可知点E为中点，
∵，
∴，
在中，，为边上的中线，
∴
∵
∴.
∵，，
∴四边形是平行四边形.
又∵，
∴平行四边形是菱形.
19.（1）
（2）或
（3）
备注：（2）（3）对一个给3分，对2个给5分.
20.（1）20
补全条形图如下：
（2）（人），
答：学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数约有340人.
（3）由表格信息可得，学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数、中位数、众数都增加了，所以该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高.
21.（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为时汽车行驶了.
可行驶（）.
（2）设（），把点，代入，
得，解得
∴.
当时，.
答：当时，函数表达式为；当汽车行驶时，蓄电池的剩余电量为.
22.【感知】
【探究】延长至点E，使，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴（），
∴，.
∴.
∴是等腰直角三角形.
∴.
∴.
即，
∴，
∴.
∴，
∴
∴.
∴
【应用】
23.（1）由对称可知，
∵点M为的中点，
∴.
∴，
∴
∴
∴
（2）当点P'在上时，
∴，∴，解得.
（3）当点P在上时，
解得，此时
当点P在上时，
（4），
24.（1）∵抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点
∴，
∴
∴抛物线对应的函数表达式为.
（2）∵，
∴，.
当且轴时，
解得， （舍去）.
当且轴时，，
解得（舍去），
综上可知，或
（3），则
解得，.
综上，，或
（4），或.

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