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2025-2026 学年第二学期九年级第一次模拟试题 18.（本题 10分）
（1）FG=___________m，NG=___________m；
数学学科答题卡
姓名：______________学 校：_________________
条 码 粘 贴 处
班级：______________准考证号：_________________ （正面朝上贴在此虚线框内）
一、选择题（请用 2B 铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A]
[B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B]
[C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] 19.（本题 10分）
[D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D]
二、填空题（请在各试题的答题区内作答）
11. 12. 13.
14. 15.
三、解答题（请在各试题的答题区内作答）
16.（本题 10分）
1
2026 1 x 3 x 4 4 x
2
（1） 1 27 tan 60 （2） 1
2 x x
20.（本题 12分）
17.（本题 10分）
（1）a =_____，b =_____，c =_____．
21.（本题 12分） 23.（本题 14分）
CA
（1） ，∴ = ，
CB
图 1 图 2 图 3
22.（本题 12分）2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟数学试题
(全卷满分150分,考试时间为120分钟)
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分.
1．今年春节小明的微信收入200元，记作＋200元．若小明购买数学书籍，他的微信支出80元，则支出80元可以记作
A．＋80元 B．元 C． －80元 D．－(－80)元
2．盼盼在公园散步时看到了如图所示的石凳，则该石凳的俯视图是
A. B. C. D.
3.“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．数据3600亿用科学记数法表示为
A．3.6×1010 B．3.6×1011 C．3.6×1012 D．0.36×1012
4.下列运算结果为的是
A． B． C． D．
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（-6，2）（-2，8），以原点O为位似中心，在原点的另一侧按2∶1的相似比将△OAB缩小，则点B的对应点B′的坐标是
A．（1，-4） B．（-1，4） C．（-2，4） D．（2，-4）
6．如图，从入口处进入，最后到达的是
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲、乙再经过x日相逢，可列方程为
A． B． C． D．
8． 若关于x的不等式组 的所有整数解的和是10，则m的取值范围是
A．4＜m＜5 B．4＜m≤5 C．4≤m＜5 D．4≤m≤5
9．如图，AB=AC，∠A=42°，O是△ABC的外接圆圆心，连接BO并延长，交AC于点D，则∠BDC的度数为
A．69° B．96° C．63° D．48°
10．已知某函数图像关于y轴对称，当－2≤x≤0， ；当＜－2时， ．若直线
与这个函数图像有且仅有四个不同交点，则实数的范围是
A． ＜＜0 B． ＜＜ C． ≤≤0 D． ≤ 或＞0
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11．写出一个使 有意义的x的值_____________．
12．小红妈妈的手机上共安装了四款 AI 工具“豆包”“千问”“元宝”和“文心”，若小红从中随机选择一款查阅资料，则她恰好选择“豆包”的概率是_____________．
13．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是一元二次方程的两个根，则这个直角三角形
的斜边长是_____________．
14．定义新运算：对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，例如：max{-3，1}=1．若max{x，-x}=，则x的值为___________．
15．如图， AC为正方形ABCD 的对角线，CE 平分∠ACB ，交AB 于点E ，把△CBE 绕点B逆时针方向
旋转90°得到△ABF ，延长CE 交AF 于点M ，连接DM ，交AC 于点N．给出下列结论：
①CM ⊥ AF；② CF = AF；③AE·DC=EC·AM；④∠CMD =45°；⑤ ．
以上结论正确的有 ．(填序号)
三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分10分）
（1）计算： （2）化简：
17．（本题满分10分）
为弘扬校园文化，某校开展了校园文化知识竞赛，现从初一、初二两个年级分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）
进行了收集、整理、描述、分析．竞赛成绩得分用x表示，数据分成5组：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100，其中80分及以上为“良好”，90分及以上为“优秀”，下面给出了部分信息：
①初一年级抽取学生成绩的频数分布直方图
②初一年级学生在80≤x＜90，这一组的成绩数据：81，82，83，85，85，87，88，89 ；
③初二年级20名学生成绩：65，69，70，75，80，82，83，85，86，88，88，90，91，92，93，94，95，96，98，100．
④初一、初二年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下：
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
初一 86 85 a b
初二 86 88 45%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的______________，______________，______________；
（2）你认为哪个年级的学生对校园文化知识的掌握较好？请说明理由．
（3）该校初一共有800名学生，初二共有900名学生，全部参加了此次知识竞赛，请估计初一、初二两个年级知识竞赛成
绩“良好”的学生人数一共有多少？
18.（本题满分10分）
某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下．
实验主题 测量校徽的高度 实验工具 测角仪，卷尺等
实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F、C、E三点在同一条直线上）； 2．测量A、D两点和B、D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N、C、M三点在同一条直线上），测量B、H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG．
实验图示 测量数据 1．AD 2．BD=10m 3．BH=13.5m 4．．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AE、CD、FB、NH均与地面垂直．参考数据： ，cos，．
请你根据以上实验过程和测量的数据，完成：
（1）FG =___________m，NG =___________m；
（2）计算校徽的高度EM．（结果保留整数）
19.（本题满分10分）
如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于
点A(m，－1)，且与y轴交于点B，第二象限内的点C在反比例函数图象上，
且以点C为圆心的圆与轴、y轴分别相切于点D 、B .
（1）求 和的值；
（2）根据图象，当y2 ＜y1＜0时，直接写出x的取值范围．
20.（本题满分12分）
春联承载着中国人对新一年的美好祝愿和期盼．2026年马年来临之前，小颖家的文具店计划购进200套春联，
“手写春联”进价12元/套，“印刷春联”进价10元/套．
（1）若小颖家购进这批春联共用了2300元，求“手写春联”和“印刷春联”各购进了多少套；
（2）若购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的1.5倍，且购进的总费用最低，应如何选购？
（3）若采取（2）中的选购方案，且均按16元/套的价格全部售出，请计算出此次盈利情况.
21.（本题满分12分）
如图，AC是⊙O的直径，⊙O交△ABC的边AB于点D，连接DC，已知∠DOC=2∠BCD，AC=6，CB=3．
（1）求证：CB是⊙O的切线．
（2）①用圆规和无刻度的直尺在图中作出∠DOC的角平分线交DC于点F，
保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
②在①的条件下，求OF的长．
22.（本题满分12分）
已知抛物线 （a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B、C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段 （m≤x≤n ）夹在两条均与x轴平行的直线l1、 l2之间．
若直线l1、 l2 之间的距离为16，求n－m最大值．
23.（本题满分14分）
在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D在边AB上，连接BE．
（1）如图1，求证：△BCE ∽△ACD；
将下列探究过程补充完整：
解：由旋转的性质可知，CA=CD，CB=CE， ，
∴= ，
∴ △ACD ∽△BCE
（2）如图2，当BE=4，BD=3时，求AC的长；
（3）如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，连接DF交BC于K．
①求证： ；
②当 时，直接写出 的值．2025-2026 学年第二学期九年级第一次模拟数学试题答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D B A A D A B C A
二、填空题
1
11. 3 (答案不唯一) 12. 13. 41
4
14. 5 2或－1 15. ①③④⑤（多选、错选、漏选均不得分）
三、解答题
16.（本题 10分）
1
1 12026（ ） 27 tan 60 1
2
解： 1 3 3 3 2
2 3 3 ……………………（5分）
2
（2 x 4 4 x）化简： x 3 1
x x
x 2 2 x
解：
x x 2 x 2 1
4

x 2 ……………………（10分）
17.（本题 10分）
（1）解：85，30％，88；……………………3分
（2）解：初二年级学生对校园文化知识的掌握较好．……………………4分
理由：∵初一、初二年级学生成绩的平均数都是 86分，
又∵初二年级学生成绩的众数和中位数都大于初一年级学生成绩的众数和中位
数，且初二年级学生成绩的优秀率也高于初一年级学生成绩的优秀率
∴初二年级学生对校园文化知识的掌握较好．……………………6分
（3）解：∵初一共有 800名学生，初二共有 900名学生，
∴初一、初二成绩“良好”的学生人数一共有 800 8 6 900 16 1280（人）．
20 20
……………………10分
18.（本题 10分）
（1）14；27.5 ……………………2分
（2）在Rt△EFG中， tan EFG
EG
，
FG
∴ tan 43
EG
0.93，
14
∴ EG 14 0.93 13.02 m ．……………………5分
在Rt MNG中， tan MNG
MG
，
NG
tan 21.8 MG∴ 0.40，
27.5
∴MG 27.5 0.40 11 m ，
∴EM=EG-MG=13.02-11=2.02≈2(m)，
所以校徽的高度为 2m．……………………10分
19.（本题 10分）
（1）连接 CB、CD，
∵⊙C 与 轴、 轴分别相切于点 D、B，
∴∠CBO=∠CDO=∠BOD=90°，BC=CD
∴四边形 BODC是正方形
∴BO=OD=DC=CB
当 =0时，y1 k1x 2 2
∴点 B的坐标是（0,2）
∴BO=OD=DC=CB=2，
∴C（-2,2）……………………2分
y k把 C k（-2,2）代入 2 2 ,得 2 2 ，x 2
解得 k2 4 ……………………4分
4
∴ y2 ,x
m 4 4把 A（ ，-1）代入 y2 ,得 1 ,x m
解得m 4
∴A（4，-1）
把 A（4，-1）代入 y1 k1x 2，得 1 4k1 2
解得 k 3 ……………………………6分1 4
8
（2） ＜ ＜4 ……………………………10分
3
20.（本题 12分）
（1）解：设“手写春联”购进了 x套，“印刷春联”购进了 y套，
x y 200
根据题意得： ，
12x 10y 2300
x 150
解得： ，
y 50
答：“手写春联”购进了150套，“印刷春联”购进了50套；……………………4分
（2）解：设“手写春联”购进了 m套，则“印刷春联”购进了(200－m)套，购进的总费用
为 w元，
由题意得：w 12m 10 200 m 2m 2000，
∵购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的1.5倍，
∴m 1.5 200 m ，解得：m 120，
∵ 2 0，
∴w随 m的增大而增大，
∴当 m=120时，w最小，
此时“手写春联”购进了 120套，“印刷春联”购进了 80套；……………………10分
（3）解：由（2）得：“手写春联”购进了 120套，“印刷春联”购进了 80套，
∴此次盈利 16 12 120 16 10 80
4 120 6 80
480 480
960（元），
答：此次盈利 960元．……………………12分
21.（本题满分 12分）
（1）证明：∵OA OD，
∴ OAD ADO，
∵∠DOC是△ADO的外角，
∴ DOC OAD ADO 2 OAD，
∵ DOC 2 BCD，
∴ OAD BCD，
∵AC是⊙O 的直径，
∴ ADC 90 ，
∴ OAD DCA 90 ，
∴ BCD DCA 90 ，
∴CB AC，
又∵AC是⊙O 的直径，
∴CB是⊙O 的切线． ……………………4分
（2）①如图，射线 OF即为所求：……………………8分
②解：∵ AC 6，CB 3， ACB 90 ，
∴ AB = 32 +62 = 3 5 ，
方法一：
∵OC=OD，OF平分∠DOC，
∴OF DC ，
∵ AD DC，
∴ AD∥OF，
∴ COF OAB，
∵ BC AC，
∴ OFC 90 ACB ，
∴ OFC∽ ACB，
OF OC
∴ 即 OF 3 ，AC AB 6 3 5
∴ OF 6 5 …………………………12分
5
其它解法，酌情给分。
22.（本题 12分）
2
（1）把（1,0）代入y x ax 5，得： 1 a 5 0 ，
解得： a 6；……………………2分
（2）由（1）知： y x2 ax 5 ，
6
∴对称轴为直线 x 32 ( 1) ，
∵点 A 0, t 在 y轴上，过点 A 0, t 与 x轴平行的直线交抛物线于 B、C两点，
∴B、C两点关于对称轴对称，B、C的纵坐标均为 t，
又∵点 B为线段 AC的中点，
∴ xC 2xB ，
xB xC 3∴ xB 3，2 2
∴ xB 2，
x 2 y x2∴ 代入 6x 5 2，得： 2 6 2 5 t ，
∴ t 3 ；……………………7分
2
（3）∵ y x 6x 5 ，
∴抛物线的顶点坐标（3,4），
当抛物线的一段 y x2 ax 5（m≤x≤n ）夹在两条均与 x轴平行的直线 l1、 l2 之间时，
m、n为直线与抛物线的交点，
∴要使 n-m最大，则，m、n为一条直线与抛物线的交点，x=m和 x=n关于对称轴对称，
又∵直线 l1、 l2之间的距离为 16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3,4）时，即：y 4 时，n－m最大，此时另一条直
线的解析式为 y 4 16 12，
如图：
∴当 y x2 6x 5 12 时，解得： x1 7, x2 1，
即：n = 7,m=－1，
∴n－m的最大值为：7－(－1)=8 ……………………12分
23.（本题 14分）
ACD BCE CD（1） ， ……………………2分
CE
（2）解：由（1）可知，△ACD∽△BCE ，
CA AD
CBE A， CB EB ，
又 A ABC 90 ，
ABC CBE 90 ，
DBE 90 ，
在直角 DBE 中，ED EB2 DB2 42 32 5 ，
AB ED 5，
AD AB BD 5 3 2
AC AD 2 1

BC EB 4 2 ，
BC 2AC，
在直角△ABC中，AC 2 BC 2 AB2 ，
AC 2 2AC 2 52
，
解得， AC 5；……………………6分
（3）①证明：由旋转的性质可知，CA CD，CB CE， ACB DCE 90 ，
CAD CDA，
E F ∥ A B ，
CFE CAD 180 ，
CDB CDA 180 ，
CDB CFE ，
BCF BCE ECF 90 ， DCE BCE BCD 90 ，
BCD ECF，
在 EFC 和 BDC 中，
ECF BCD

CFE CDB

CE CB ，
EFC≌ BDC AAS ，……………………10分
②解：如图，作 CG⊥AB，垂足为 G，延长 EF、BC交于点 H，设 AC=3x，
BC 4
AC 3，
4
BC AC 4x
3
在直角△ABC中，AB AC2 BC2 5x ，
CG AB，
AGC 90 ACB，
BAC CAG，
ACG∽ ABC，
AG AC

AC AB ，
AC 2 9x2 9
AG x
AB 5x 5 ，
CD CA，
∴ CDA 是等腰三角形，且CG AB ，
9
AG DG x
5 ，
BD AB AG DG 7 x
5 ，
EFC≌ BDC ，
BD FE 7 x ,CF CD CA
5 ，
E F ∥ A B ，
H ABC, AFH BAC，
在△ABC和 FHC中，
H ABC

AFH BAC

CF CA
ABC≌ FHC AAS ，
FH AB 5x，
E F ∥ A B ，
BDK∽ HFK，
7
DK BD x5 7
FK FH 5x 25 ．……………………14分2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟数学试题答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D B A A D A B C A
二、填空题
11. 3 (答案不唯一) 12. 13.
14. 或－1 15. ①③④⑤（多选、错选、漏选均不得分）
三、解答题
16.（本题10分）
（1）
解：
……………………（5分）
（2）化简：
解：
……………………（10分）
17.（本题10分）
（1）解：85，30％，88；……………………3分
（2）解：初二年级学生对校园文化知识的掌握较好．……………………4分
理由：∵初一、初二年级学生成绩的平均数都是86分，
又∵初二年级学生成绩的众数和中位数都大于初一年级学生成绩的众数和中位数，且初二年级学生成绩的优秀率也高于初一年级学生成绩的优秀率
∴初二年级学生对校园文化知识的掌握较好．……………………6分
（3）解：∵初一共有800名学生，初二共有900名学生，
∴初一、初二成绩“良好”的学生人数一共有 （人）．
……………………10分
18.（本题10分）
（1）14；27.5 ……………………2分
（2）在中，，
∴，
∴．……………………5分
在中，，
∴，
∴，
∴EM=EG-MG=13.02-11=2.02≈2(m)，
所以校徽的高度为2m．……………………10分
19.（本题10分）
（1）连接CB、CD，
∵⊙C与轴、 轴分别相切于点D、B，
∴∠CBO=∠CDO=∠BOD=90°，BC=CD
∴四边形BODC是正方形
∴BO=OD=DC=CB
当=0时，
∴点B的坐标是（0,2）
∴BO=OD=DC=CB=2，
∴C（-2,2）……………………2分
把C（-2,2）代入得，
解得 ……………………4分
∴
把A（，-1）代入得
解得
∴A（4，-1）
把A（4，-1）代入，得
解得 ……………………………6分
（2）＜＜4 ……………………………10分
20.（本题12分）
（1）解：设“手写春联”购进了x套，“印刷春联”购进了y套，
根据题意得：，
解得：，
答：“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套；……………………4分
（2）解：设“手写春联”购进了m套，则“印刷春联”购进了(200－m)套，购进的总费用
为w元，
由题意得：，
∵购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍，
∴，解得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=120时，w最小，
此时“手写春联”购进了120套，“印刷春联”购进了80套；……………………10分
（3）解：由（2）得：“手写春联”购进了120套，“印刷春联”购进了80套，
∴此次盈利
（元），
答：此次盈利960元．……………………12分
21.（本题满分12分）
（1）证明：∵ ，
∴，
∵∠DOC是△ADO的外角，
∴，
∵，
∴，
∵AC是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵AC是⊙O的直径，
∴CB是⊙O的切线． ……………………4分
（2）①如图，射线OF即为所求：……………………8分
②解：∵，，，
∴ ，
方法一：
∵OC=OD，OF平分∠DOC，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴ 即 ，
∴ …………………………12分
其它解法，酌情给分。
22.（本题12分）
（1）把（1,0）代入 ，得： ，
解得：；……………………2分
（2）由（1）知： ，
∴对称轴为直线 ，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B、C两点，
∴B、C两点关于对称轴对称，B、C的纵坐标均为，
又∵点B为线段AC中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入 ，得： ，
∴ ；……………………7分
（3）∵ ，
∴抛物线的顶点坐标（3,4），
当抛物线的一段 （m≤x≤n ）夹在两条均与x轴平行的直线l1、 l2之间时，
m、n为直线与抛物线的交点，
∴要使n-m最大，则，m、n为一条直线与抛物线的交点，x=m和x=n关于对称轴对称，
又∵直线l1、 l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3,4）时，即： 时，n－m最大，此时另一条直线的解析式为 ，
如图：
∴当 时，解得：，
即：n = 7,m=－1，
∴n－m的最大值为：7－(－1)=8 ……………………12分
23.（本题14分）
（1）， ……………………2分
（2）解：由（1）可知， ，
， ，
又，
，
，
在直角 中， ，
，
，
，
在直角△ABC中， ，
，
解得， ；……………………6分
（3）①证明：由旋转的性质可知， ， ， ，
，
，
，
，
，
，，
，
在 和 中，
，
，……………………10分
②解：如图，作CG⊥AB，垂足为G，延长EF、BC交于点H，设AC=3x，
，
在直角△ABC中， ，
，
，
，
，
，
，
，
∴ 是等腰三角形，且 ，
，
，
，
，
，
，
在△ABC和中，
，
，
，
，
．……………………14分 +2 7 5 7 5 +2
2025-2026 学年第二学期九年级第一次模拟数学试题 A． + = 1 B． + = 1 C． = 1 D．
7 5 +2 +2 =
x 1 7
5
3 2 ≤
(全卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟) 8． 若关于 x的不等式组 的所有整数解的和是 10，则 m的取值范围是
x m＜0
A．4＜m＜5 B．4＜m≤5 C．4≤m＜5 D．4≤m≤5
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 9．如图，AB=AC，∠A=42°，O是△ABC的外接圆圆心，连接 BO并延长，交 AC于点 D，则∠BDC的度
一、选择题：本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得 4 数为
分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分.
A．69° B．96° C．63° D．48°
1．今年春节小明的微信收入 200元，记作＋200元．若小明购买数学书籍，他的微信支出 80元，则支出 80元可以记作
10．已知某函数图像关于 y轴对称，当－2≤x≤0， y x2 2x ；当 ＜－2时， y 2x 4．若直线
A．＋80元 B．±80元 C． －80元 D．－(－80)元
2．盼盼在公园散步时看到了如图所示的石凳，则该石凳的俯视图是 y x b与这个函数图像有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是
1 9 1 1 1
A． ＜b＜0 B． ＜b＜ C． ≤b≤0 D．b ≤ 4或b＞04 4 4 4
A. B. C. D.
3.“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前北斗定位服务日均使
用量已超过 3600亿次．数据 3600亿用科学记数法表示为
A．3.6×1010 B．3.6×1011 C．3.6×1012 D．0.36×1012
4.下列运算结果为m5的是
第 5题图 第 9题图 第 15题图
A．m2 m3 B． m2 3 C．m2 m3 D 9 4．m m
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B的坐标分别为（-6，2）（-2，8），以原点 O为位似中心，在原点的另一侧按 第 II 卷（非选择题 共 110 分）
2∶1的相似比将△OAB缩小，则点 B的对应点 B′的坐标是
二、填空题：本大题共 5 小题，共 20 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分．
A．（1，-4） B．（-1，4） C．（-2，4） D．（2，-4） 3
11．写出一个使 x 2 有意义的 x的值_____________．
6．如图，从入口处进入，最后到达的是
12．小红妈妈的手机上共安装了四款 AI 工具“豆包”“千问”“元宝”和“文心”，若小红从中随机选择
“对角线互相平分 是 甲 一款查阅资料，则她恰好选择“豆包”的概率是_____________．
是 的四边形是矩形”
入口处 “一组对边平行，另一 否是真命题 乙 13．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是一元二次方程
2 7 + 4 = 0 的两个根，则这个直角三角形
组对边相等的四边形是 否 的斜边长是_____________．
平行四边形”是真命题 是“对角线互相垂直 丙
14．定义新运算：对于两个不相等的实数 a、b，我们规定符号 max{a，b}表示 a、b中较大的数，例如：max{-3，
的四边形是菱形”
否 2
是真命题 丁 1}=1．若 max{x，-x}= x 2x 1，则 x的值为___________．
2
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
15．如图， AC为正方形 ABCD 的对角线，CE 平分∠ACB ，交 AB 于点 E ，把△CBE 绕点 B逆时针方向
7．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长
旋转 90°得到△ABF ，延长 CE 交 AF 于点 M ，连接 DM ，交 AC 于点 N．给出下列结论：
安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发 2日，甲才从长安出发．问 AN
①CM ⊥ AF；② CF = AF；③AE·DC=EC·AM；④∠CMD =45°；⑤ 2 1．
CN
甲，乙再经过多少日相逢？设甲、乙再经过 x日相逢，可列方程为
以上结论正确的有 ．(填序号)
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三、解答题：本大题共 8 小题，共 90 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分 10分）
16．（本题满分 10分） 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下．
1
1 12026 27 tan 60 1 2
2
（ ）计算： （ ）化简： x 3
x 4 4 x
1 实验主题 测量校徽的高度 实验工具 测角仪，卷尺等
2 x x
1．站在与教学楼底部 A同一水平地面的 B处，由于大树 CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的
校徽顶部 E处（此时 F、C、E三点在同一条直线上）；
2．测量 A、D两点和 B、D两点间的距离；
实验过程 3．用测角仪测得从眼睛 F处看校徽顶部 E处的仰角∠EFG；
4．向后退至点 H处时，视线恰能看到校徽底部 M处（此时 N、C、M三点在同一条直线上），
17．（本题满分 10分）
测量 B、H两点间的距离；
为弘扬校园文化，某校开展了校园文化知识竞赛，现从初一、初二两个年级分别随机抽取 20名学生的竞赛成绩（百分制）
5．用测角仪测得从眼睛 N处看校徽底部 M处的仰角∠MNG．
进行了收集、整理、描述、分析．竞赛成绩得分用 x表示，数据分成 5组：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜
90，90≤x＜100，其中 80分及以上为“良好”，90分及以上为“优秀”，下面给出了部分信息： 1．AD 4m
①初一年级抽取学生成绩的频数分布直方图 2．BD=10m
实验图示 测量数据
3．BH=13.5m
4． EFG 43 ． MNG 21.8
1．图上所有点均在同一平面内；
备注 2．AE、CD、FB、NH均与地面垂直．参考数据：
②初一年级学生在 80≤x＜90，这一组的成绩数据：81，82，83，85，85，87，88，89 ；
sin21.8 0.37,cos21.8 0.93, tan21.8 0.40,sin43 0.68，cos43 0.73， tan43 0.93．
③初二年级 20名学生成绩：65，69，70，75，80，82，83，85，86，88，88，90，91，92，93，94，95，96，98，100．
请你根据以上实验过程和测量的数据，完成：
④初一、初二年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下：
（1）FG =___________m，NG =___________m；
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
（2）计算校徽的高度 EM．（结果保留整数）
初一 86 85 a b
19.（本题满分 10分） y
初二 86 c 88 45%
y k x 2 y k 2如图，已知一次函数 1 1 的图象与反比例函数 2 的图象交于x
点 A(m，－1)，且与 y轴交于点 B，第二象限内的点 C在反比例函数图象上，
根据以上信息，解答下列问题：
且以点 C为圆心的圆与 轴、y轴分别相切于点 D 、B .
（1）上述图表中的 a ______________，b ______________， c ______________；
2 （1）求 k（ ）你认为哪个年级的学生对校园文化知识的掌握较好？请说明理由． 1和 k2 的值；
（3）该校初一共有 800名学生，初二共有 900名学生，全部参加了此次知识竞赛，请估计初一、初二两个年级知识竞赛成 （2）根据图象，当 y2 ＜y1＜0时，直接写出 x的取值范围．
绩“良好”的学生人数一共有多少？
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20.（本题满分 12分） 23.（本题满分 14分）
春联承载着中国人对新一年的美好祝愿和期盼．2026年马年来临之前，小颖家的文具店计划购进 200套春联， 在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点 C旋转得到△DEC，点 A的对应点 D在边 AB上，连接 BE．
“手写春联”进价 12元/套，“印刷春联”进价 10元/套．
（1）若小颖家购进这批春联共用了 2300元，求“手写春联”和“印刷春联”各购进了多少套；
（2）若购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的 1.5倍，且购进的总费用最低，应如何选购？
（3）若采取（2）中的选购方案，且均按 16元/套的价格全部售出，请计算出此次盈利情况.
图 1 图 2
图 3
（1）如图 1，求证：△BCE ∽△ACD；
21.（本题满分 12分） 将下列探究过程补充完整：
如图，AC是⊙O的直径，⊙O交△ABC的边 AB于点 D，连接 DC，已知∠DOC=2∠BCD，AC=6，CB=3． 解：由旋转的性质可知，CA=CD，CB=CE， ，
（1）求证：CB是⊙O的切线． ∴ CA= ，
CB
（2）①用圆规和无刻度的直尺在图中作出∠DOC的角平分线交 DC于点 F，
∴ △ACD ∽△BCE
保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
（2）如图 2，当 BE=4，BD=3时，求 AC的长；
②在①的条件下，求 OF的长．
（3）如图 3，过点 E作 AB的平行线交 AC的延长线于点 F，连接 DF交 BC于 K．
①求证：△EFC≌△BDC；
BC 4 DK
②当 时，直接写出 的值．
AC 3 FK
22.（本题满分 12分）
已知抛物线 y x2 ax 5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求 a的值．
（2）过点 A(0,t)与 x轴平行的直线交抛物线于 B、C两点，且点 B为线段 AC的中点，求 t的值．
（3）设 m 3 n 2＜ ＜ ，抛物线的一段 y x ax 5（m≤x≤n ）夹在两条均与 x轴平行的直线 l1、 l2之间．
若直线 l1、 l2 之间的距离为 16，求 n－m最大值．
九年级数学试题 第 3 页 共 3 页

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