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七年级数学 20260423
一、单选题（本题8小题，每题3分，共24分）
1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．a a3＝a4 B．x2+x＝x3 C．m8÷m4＝m2 D．（2x）3＝6x3
3．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x+2a）（x﹣2a） B．
C． D．（x+2y）（﹣x+2y）
4．若a＝2﹣2，b＝﹣22，c＝22，d＝20，则它们的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b
5．如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（　　）
(
第8题
) (
第5题
)
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
6．若一个关于x的多项式4x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，则m的值为（　　）
A．m＝﹣5 B．m＝7
C．m＝13或m＝﹣11 D．m＝﹣5或m＝7
7．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b
8．如图，长方形ABCD中，AB＝5，第1次将长方形ABCD沿AB的方向向右平移4个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移4个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移4个单位长度，得到长方形AnBn nDn（n＞2）．若ABn的长度为2025，则n的值为（　　）
A．504 B．505 C．2021 D．2025
二、填空题（本题10小题，每题3分，共30分）
9．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维，的直径约为0.0000108m．数据0.0000108用科学记数法表示为　 　 ．
10．的值等于　 ．
11．已知方程（m﹣1）x|m|+ yn ＝3是关于x、y的二元一次方程，则m+n的值为　 　 ．
12．若是方程2x﹣3y﹣1＝0的一个解，则4a﹣6b的值为　 　 ．
13．已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+5的值为　 　 ．
14．把方程4x﹣3y﹣8＝0写成用含有y的代数式表示x的形式，得x＝　 ．
15．如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于　 　 ．
(
第16题
) (
第15题
)
16．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝8，AC＝6，BC＝9，则△APC周长的最小值是　 　 ．
17．定义运算a b＝a（2﹣b），下面给出了关于这种运算的四个结论：①1 （﹣3）＝5；②若3 x＝3x，则x＝1；③若a+b＝0，则（a a）+（b b）＝2ab；④若a b＝0，则a＝0．其中正确的结论有　 　．（填序号）
18．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
则（a+b）6展开式中所有项的系数和是　 　 ．
三、解答题（本题10小题，共96分）
19（8分）．计算：
（1）； （2）（﹣a2）3 （a3）5÷（a2）8．
20（8分）．先化简，再求值：m（2m+n）﹣（m+n）2，其中m＝﹣1，n＝2．
21（8分）．（1）已知2x+3y＝4，求4x 8y的值； （2）已知9b＝6，3a＝2，求33a+2b的值．
22（8分）．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是
点E、F．
（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；
（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH（点H为垂足）；
（3）若连接CD、AE，则这两条线段之间的关系是 　 ；
（4）△DEF的面积为 　 　 ．
23（10分）．如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是边BC上的一点，连接AD，
∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．
（1）求∠AFC的度数；
（2）若∠C＝30°，试证明：DE∥AC．
24（10分）．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出：（x﹣2）2﹣1的最小值为　 　 ．
（2）求出代数式x2﹣10x+30的最小值．
（3）比较代数式3x2﹣x+1和2x2﹣3x的大小．
25（10分）．如图1，在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．图2是货车盲区的部分分布图，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形．
（1）用含a，b的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）．
（2）若a+b＝3，ab＝2，求图中盲区的总面积．
26（10分）．如图，已知点P为△ABC边AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线：
（1）如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P．
（2）如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在BC上．（保留作图痕迹，不写作法）
27（12分）．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，直接写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的关系：　 　 ；
（2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：
①已知x+y＝7，xy＝6，则x﹣y的值为　 　 ；
②已知（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣6，求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值；
（3）两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放．边长分别为x，y，若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分的面积．
28（12分）．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：
（1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，把△OAB以O为中心顺时针旋转，至少要转 　 　 °，使得边OB落在边OC上；
（2）如图2，如果把图1所示的△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠AOA′为多少度时，射线OB′平分∠COD；
（3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，当两条斜边AB∥CD时，直接写出旋转的角度大小.《七年级数学20260423》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B B B C A B
9．1.08×10-5 ; 10．1 ; 11．0 ; 12. 2 ; 13．6 ;
14． ; 15．2 ; 16．14 ; 17．①②③ ; 18．64。
19．（1）解： ..............................4分
（2）解： ..............................4分
20.解：m（2m+n）﹣（m+n）2＝2m2+mn﹣m2﹣n2﹣2mn
＝m2﹣mn﹣n2， ..............................4分
当m＝﹣1，n＝2时，
原式＝（﹣1）2﹣（﹣1）×2﹣22＝﹣1． ..............................4分
21.（1）解：（1）4x 8y＝22x 23y＝22x+3y，
∵2x+3y＝4，∴原式＝24＝16； ..............................4分
（2）解：33a+2b＝33a×（32）b＝（3a）3×9b，
∵9b＝6，3a＝2，∴原式＝23×6＝48． .............................. 4分
22.解：（1）如图，△EFD即为所求； .............................. 2分
（2）如图，线段CH即为所求； .............................. 2分
（3）CD∥AE，CD＝AE（或平行且相等）； .............................. 2分
（4）△DEF的面积＝6×43×63×13×4＝7.5．
.............................. 2分
23.（1）解：∵将△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠BAD＝∠DAE＝30°，
∴∠AFB＝180°﹣（∠B+∠BAF）＝180°﹣（45°+30°+30°）＝75°；
∴∠AFC＝180°﹣∠AFB＝180°﹣75°＝105°； .........................5分
（2）证明：∵∠C＝30°，∠AFC＝105°，
∴∠FAC＝180°﹣∠C﹣∠AFC＝180°﹣30°﹣105°＝45°，
∵将△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠B＝∠E＝45°，
∴∠E＝∠FAC，
∴DE∥AC．(方法不唯一) .........................5分
24.（1）-1 .........................3分
（2）解：x2﹣10x+30＝（x﹣5）2+5，∵（x-5）2≥0，∴（x-5）2 +5≥5，
当x＝5时，则（x﹣5）2＝0，（x﹣5）2+5＝5，
∴代数式x2﹣10x+30的最小值是5； .........................3分
（3）解：原式＝3x2﹣x+1﹣（2x2﹣3x）＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∵（x+1）2≥0，
∴3x2﹣x+1≥2x2﹣3x． .........................4分
25.（1）解：（1）由图可得，
盲区的总面积为：2+（2b） （2b） 2a
＝4ab+6b2+4b2+10a2﹣4ab＝10a2+10b2； .........................5分
（2）∵a+b＝3，ab＝2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣2×2＝9﹣4＝5，
∴10a2+10b2＝10（a2+b2）＝10×5＝50，
即图中盲区的总面积为50． ........................5分
26．（1） .
.............................5分 .............................5分
27．（1）解：（1）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； ..........................2分
（2）① ±5（漏写一个答案扣2分）； ..............................3分
②∵（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣6，
∴（2024﹣x）2+（x﹣2025）2
＝[（2024﹣x）+（x﹣2025）]2﹣2（2024﹣x）（x﹣2025）
＝（﹣1）2﹣2×（﹣6）
＝1+12
＝13． ..............................3分
（3）∵BE＝2，∴x﹣y＝2．
由图可知△CDF的底为x，高为2，∴．
△BEF的底为2，高为y，∴，∴S阴影＝S△CDF+S△BEF＝x+y．
∵22+2xy＝34，∴xy＝15，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝34+2×15＝64，
∴x+y＝8（舍去负值），∴阴影部分面积和为8． ..............................4分
28.解：（1）75 ..............................2分
（2）当∠AOA'＝∠BOB'＝105°时，射线OB'平分∠COD。
∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA'B'，
∴∠AOA'＝∠BOB'，
∵∠COD＝60°，OB'平分∠COD，
∴∠COB'＝30°，
∴∠BOB'＝∠BOC+∠COB'＝75°+30°＝105°，
∴∠AOA'＝∠BOB'＝105°； ..............................4分
（3）105°或285°．（一个答案3分） ..............................6分七年级数学 20260423
一、单选题（本题 8 小题，每题 3 分，共 24 分）
1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的
图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a a3＝a4 B．x2+x＝x3 C．m8÷m4＝m2 D．（2x）3＝6x3
3．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A x+2a x 2a B (1 1．（ ）（ ﹣ ） ． a)( 1 1 a)
3 2 3 2
C．( + 1 )( 12 2 ) D．（x+2y）（﹣x+2y）
4 ﹣．若 a＝2 2，b＝﹣22，c＝22，d＝20，则它们的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b
5．如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可
能是（ ）
第 5题 第 8题
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
6．若一个关于 x的多项式 4x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，则 m的值为（ ）
A．m＝﹣5 B．m＝7
C．m＝13或 m＝﹣11 D．m＝﹣5或 m＝7
7．若 a，b是正整数，且满足2 + 2 + + 2 = 2 × 2 × × 2 ，则 a与 b的关系正确的是（ ）
︸ ︸
8个2 相加 8个2 相乘
A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b
8．如图，长方形 ABCD中，AB＝5，第 1次将长方形 ABCD沿 AB的方向向右平移 4个单位长度，得到长
方形 A1B1C1D1，第 2 次将长方形 A1B1C1D1 沿 A1B1 的方向向右平移 4 个单位长度，得到长方形
A2B2C2D2，…，第 n次将长方形 An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿 An﹣1Bn﹣1的方向向右平移 4个单位长度，得到长
方形 AnBn nDn（n＞2）．若 ABn的长度为 2025，则 n的值为（ ）
A．504 B．505 C．2021 D．2025
二、填空题（本题 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
9．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维，的直径约为
0.0000108m．数据 0.0000108用科学记数法表示为 ．
第 1页（共 4页）
10 82024 × ( 1． )20248 的值等于 ．
11．已知方程（m﹣1）x|m|+ yn ＝3是关于 x、y的二元一次方程，则 m+n的值为 ．
=
12．若 = 是方程 2x﹣3y﹣1＝0的一个解，则 4a﹣6b的值为 ．
13．已知 a+b＝1，则代数式 a2﹣b2+2b+5的值为 ．
14．把方程 4x﹣3y﹣8＝0写成用含有 y的代数式表示 x的形式，得 x＝ ．
15．如图，△ABC是等边三角形，点 P在△ABC内，PA＝2，将△PAB绕点 A逆时针旋转得到△QAC，则
PQ的长等于 ．
第 15题 第 16题
16．如图，直线 m是△ABC中 BC边的垂直平分线，点 P是直线 m上的一动点．若 AB＝8，AC＝6，BC
＝9，则△APC周长的最小值是 ．
17．定义运算 a b＝a（2﹣b），下面给出了关于这种运算的四个结论：①1 （﹣3）＝5；②若 3 x＝
3x，则 x＝1；③若 a+b＝0，则（a a）+（b b）＝2ab；④若 a b＝0，则 a＝0．其中正确的结论
有 ．（填序号）
18．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项
系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
则（a+b）6展开式中所有项的系数和是 ．
三、解答题（本题 10 小题，共 96 分）
19（8 分）．计算：
7 1
（1）( 3)2 + ( 8 )
0 + ( 2 22 ) ； （2）（﹣a ）
3 （a3）5÷（a2）8．
20（8 分）．先化简，再求值：m（2m+n）﹣（m+n）2，其中 m＝﹣1，n＝2．
21（8 分）．（1）已知 2x+3y＝4，求 4x 8y的值； （2）已知 9b＝6，3a＝2，求 33a+2b的值．
22（8 分）．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所
示．将△ABC平移，使点 C平移至点 D，点 A、B的对应点分别是
点 E、F．
（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；
（2）在图中画出△ABC的 AB边上的高 CH（点 H为垂足）；
（3）若连接 CD、AE，则这两条线段之间的关系是 ；
（4）△DEF的面积为 ．
第 2页（共 4页）
23（10 分）．如图，在△ABC中，∠B＝45°，点 D是边 BC上的一点，连接 AD，
∠BAD＝30°，将△ABD沿 AD折叠得到△AED，AE与 BC交于点 F．
（1）求∠AFC的度数；
（2）若∠C＝30°，试证明：DE∥AC．
24（10 分）．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：
求代数式 x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是 1，
∴x2+4x+5的最小值是 1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出：（x﹣2）2﹣1的最小值为 ．
（2）求出代数式 x2﹣10x+30的最小值．
（3）比较代数式 3x2﹣x+1和 2x2﹣3x的大小．
25（10 分）．如图 1，在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．图 2
是货车盲区的部分分布图，盲区 1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区 3是一个梯形，盲区
4是一个正方形．
（1）用含 a，b的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）．
（2）若 a+b＝3，ab＝2，求图中盲区的总面积．
26（10 分）．如图，已知点 P为△ABC边 AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线：
（1）如图①，作一条直线 l，使得点 B关于 l的对称点为 P．
（2）如图②，作一条过点 C的直线 m，使得点 P关于 m的对称点落在 BC上．（保留作图痕迹，不写
作法）
第 3页（共 4页）
27（12 分）．如图 1是一个长为 2m、宽为 2n的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，
然后按图 2形状拼成一个正方形．
（1）观察图 2，直接写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的关系： ；
（2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：
①已知 x+y＝7，xy＝6，则 x﹣y的值为 ；
②已知（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣6，求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值；
（3）两个正方形 ABCD、AEFG如图 3摆放．边长分别为 x，y，若 x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部
分的面积．
28（12 分）．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：
（1）如图 1，两个三角尺的直角边 OA、OD摆放在同一直线上，把△OAB以 O为中心顺时针旋转，至
少要转 °，使得边 OB落在边 OC上；
（2）如图 2，如果把图 1所示的△OAB以 O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠AOA′为多少度
时，射线 OB′平分∠COD；
（3）如图 3，两个三角尺的直角边 OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边 OB、OC也在同一条直
线上，如果把△OAB以 O为中心顺时针旋转一周，当两条斜边 AB∥CD时，直．接．写．出．旋转的角度大小.
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