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初三数学
亲爱的同学：
你好！答题前，请仔细阅读以下说明：
1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟．
2．不允许使用计算器．
希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
2．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是
A．与 B． 与 C．与 D．与
3．下列说法正确的是
A．对角线相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线垂直的矩形是正方形
D．有一组邻边互相垂直的矩形是正方形
4．一元二次方程的根的情况是
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
5．设，，，则a，b，c的大小关系是
A． B．
C． D．
6．如图，在ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线。添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是
A．AE=AF B．EF⊥AC
C．∠B=60 D．AC是∠EAF的平分线
7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，
化简：的结果是
A． B． C． D．
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，AC＝4，M是EF的中点，则CM最小值是
A． B．
C． D．2
9．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角面积公式为S=，已知△ABC三边分别是3，和，则△ABC的面积是
A． B． C． D．3
10．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB=2，∠EBC=30 ，则△ABF的面积为
A．4 B．2 C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果）
11．若式子有意义，则的取值范围是 ．
12．已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为 ．
13．已知关于的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是 ．
14．已知如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是BC和DC的中点，BF与AE交于点M，则 MF的长是 ．
15．将一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C落在AB边上的C'处，折痕为MN，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E.若BM=3，BC'=4，AC'=3，则DN= ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程）
16．（本题满分9分）
（1）计算：
（2）解方程:．
17．（本题满分8分）
已知 的整数部分为a，小数部分为b , 求的值
18．（本题满分8分）
关于x 的一元二次方程的一个根是-1 ，且a,b 满足,用配方法解关于y的方程
19．（本题满分8分）
关于y的方程有两个相等的实数根，求n和方程的根分别是多少？
20．（本题满分10分）
已知△ABC，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N。分别以MN为圆心，以大于MN线段长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D。分别以点A和D为圆心，以大于AD线段长为半径画弧，两弧分别交于点G和点H。作直线GH，交AB于点E，交AC于点F。连接ED、FD，试判断四边形AEDF的形状并证明。
21．（本题满分10分）
菱形AECF的两边AF与CE位于四边形ABCD上，其中AB∥CD,四边形ABCD对角线相交于点O，EF=OC=，BE=3，AB=4,求四边形ABCD的面积？
22．（本题满分10分）
阅读下面材料，完成问题。
在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简。
(1)因式分解
（2）倒数转化
求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果。
已知，求代数式的值。
解：先求倒数：
代入：
所以
（3）灵活运用
请运用上述方法，解答下列问题：
问题1：因式分解：
问题2：已知，求代数式的值。
问题3：化简：
23．（本题满分12分)
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．
（1）【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，连接BD，CD′，则CD′与BD的数量关系是　 　 ；∠AD′C与∠ADB的数量关系是　 　 ；
（2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE′是正方形；
（3）【深度探究】在矩形ABCD中，AC与BD交于点O点，E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE′，连接OE′，若AD＝3，AB，
①当∠BAE=30°,OE′与AC的位置关系是　 　 ；
②求DE′的最小值．初三数学答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）BCCCD CCAAC
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．；12． ；13． ；14． ；15． ．
三、解答题（共75分）
16．（9分）
解：（1）原式 3分
． 5分
（2）原式 7分
． 8分
， 9分
17．（8分）
解：原式
3分
， 6分
8分
18．（8分）
解：由题意，得， 1分
3分
4分
解:
7分
8分
19．（8分）
解：，，． 1分
∵有两个相等的实数根．
∴ 2分
∴．
．
∴，． 4分
∵n＜4．
∴． 5分
∴． 6分
． 7分
∴． 8分
20．（10分）
解：四边形AEDF是菱形． 1分
根据作图痕迹可知：AD平分∠BAC，EF垂直平分线段AD． 4分
∴∠EAD=∠FAD, AE=ED, AF=FD． 6分
∵EF⊥AD．
∴∠AEF=∠AFE． 7分
(
A
E
D
F
C
B
M
N
P
G
H
)∴AE=AF． 8分
∴AE=ED =AF=FD． 9分
∴四边形AEDF是菱形． 10分
(
A
B
C
D
F
E
O
)
21．（10分）
解：∵菱形AECF．
∴AF∥CE，AC⊥EF，，， 1分
∴．
∴AE=EC=5． 3分
∴BC=BE+EC=8． 4分
∵, ．
∴．
∴∠B=90°． 7分
∵AF∥CE,AB∥CD．
∴ABCD是平行四边形． 8分
∵∠B=90°
∴ABCD是矩形． 9分
∴ABCD的面积= 10分
22.（本题10分）
问题1： 2分
问题2：
(
4分
) (
3分
) (
5分
)
问题3：
(
7分
)
设：，，
则原式，
(
8分
) (
9分
)
(
10分
)
22.（本题10分）
问题1： 3分
问题2：
(
5分
) (
4分
) (
6分
)
问题3：
(
7分
)
设：，，
则原式，
(
8分
) (
9分
)
(
10分
)
23.（本题12分）
（1）相等（或CD′＝BD）；相等（或∠AD′C＝∠ADB）； 2分
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，BC＝DC．
∵CE绕点C逆时针旋转90°得到CE′，
∴∠ECE′＝90°，CE＝CE′．
(
3
分
)∵∠DCB＝∠ECE′＝90°，
∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECE′﹣∠BCE
(
4分
)即∠DCE＝∠BCE′．
∴△BCE′≌△DCE（SAS）．
∴∠BE′C＝∠DEC＝90°．
∵∠CED+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝90°，
∴∠BE′C＝∠ECE′＝∠CEF＝90°．
(
5分
)∴四边形CEFE′是矩形．
(
6分
)又∵CE＝CE′，
∴四边形CEFE′是正方形；
（3）①垂直
②解：如图，连接E′D
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AO＝OB，
∴AC＝BD=，
(
8分
)∴AO＝OB＝AB=，
∴△AOB是等边三角形，则∠OAB＝60°，
∵线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE'，
∴AE＝AE'，∠EAE'＝60°，
∴∠OAB＝∠EAE'＝60°，
∴∠OAB﹣∠OAE＝∠EAE'﹣∠OAE，即∠E'AO＝∠EAB，
又∵OA＝BA，E'A＝EA，
(
10分
)∴△E'AO≌△EAB（SAS），
∴∠AOE'＝∠ABE＝90°，
(
11分
)∴E'在OE'上运动，且E'O⊥AC，
∴当DE′⊥OE'时，DE'取得最小值，
∵∠AOB＝60°， (
9分
)
∴∠AOD＝120°，
又∵∠AOE'＝90°，
∴∠E'OD＝30，
(
12分
)∴当DE'⊥OE'时，．

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