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2025—2026 学年度第二学期期中学业水平检测
初 二 数 学 试 题
一、选择题（本题共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每小题所给出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．下列说法正确的是（ ）
A．投掷三枚硬币正好三个都正面朝上是不可能事件
B．打开电视正在播新闻联播是随机事件
C．随机投掷一枚硬币正面朝上概率是 50%，指将一枚硬币随机投掷 10次，一定有 5次正面朝上
D．必然事件的发生概率大于 0而小于 1
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
x y 4 2a 3b 11 x2 9 x y 8A. B. C. D.
2x 3y 7 5b 4c 6

y 2x
x2 y 4
3．A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个△ABC，在他们中间放一个木凳，
谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点
4．已知一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象经过点 M（1，2），且 y随 x的增大而增大．若点 N在该
函数的图象上，则点 N的坐标可以是（ ）
A．（﹣2，2） B．（3，4） C．（﹣1，3） D．（2，1）
5. 若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，则 x+y的平方根是（ ）
A．8 B．±8 C．±2 2 D．2 2
6．不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并
搅匀，这样重复摸了 100次，其中摸到红球 90次．下列说法正确的是（ ）
A．袋中红球有 90个 B．第 101次摸到红球的可能性较大
C．第 101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 90%
7．如图，已知 MN∥PQ，点 B在 MN上，点 C在 PQ上，点 A在 MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：
2，点 E在 BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式
子一定可以表示为（ ）
A．2α B．72° + 25
C．108° 35 D．90°﹣α
初二数学试题 第 1 页 共 4 页
学校：_____ 班级：_________ 姓名：__________ 考场：_________ 座位号：_________
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8．我们定义：若整式 M与 N满足：M+N＝k（k为整数），我们称 M与 N为关于 k的平衡整式，例
如，若 M+N＝1，我们称 M与 N为关于 1的平衡整式．若 3x﹣10与 y为关于 2的平衡整式，2x与
5y+10为关于 5的平衡整式，求 x+y的值为（ ）．
A．2 B．-5 C．12 D．26
9．一个一次函数的图象经过点 A（0，﹣3），且和 x轴交于点 B，如果该函数图象与坐标轴围成的三
角形的面积为 6，那么该一次函数的表达式为（ ）
A y= 3 3． 4x﹣3 B．y= 2x﹣3
C．y= 34x﹣3或 y=
3
4x﹣3 D．y=
3
2x﹣3
3
或 y= 2x﹣3
10．将一副三角板如图所示摆放，∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板 ABC保持不动，将三角板 DEF
绕点 E以每秒 15°的速度顺时针旋转，设旋转时间为 t秒（0＜t＜12），当斜边 DF与三角板 ABC
的一条边平行时，则所有满足条件的 t的值为 （ ）
A．2或 5 B．3或 4或 5
C．2或 5或 9 D．3或 5或 9
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 4分，共计 20分．不需写出解答过程，请把最
后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11 ﹣．若关于 x，y的方程（k﹣2）x|k 1|+y+1＝0是二元一次方程，则 k＝ ．
12．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷
跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸 ”如果这四个小朋友中只有一个
人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的：____________
甲：“是乙不小心闯的祸.” 乙：“是丙闯的祸.”
丙：“乙说的不是实话.” 丁：“反正不是我闯的祸.”
13．请将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果…，那么…”的形式： ．
1 2
14．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 a，b．如图，将甲纸条的 与乙纸条的 叠合在一起，
3 5
形成长为 81的纸条，则 a+b＝ ．
1 + 1 = 1 = 1 3 ( +1) + 2 ( 1) = 4 15．已知方程组 + = 的解是 = 2，则方程组
1 1 1
2 2 2 3 2( +1) + 2
的解是
2( 1) = 4 2
_________________.
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三、解答题（本题共 8小题，共计 90分，请把解答过程写在答题纸上）
16．解方程组：
10 + 3 = 17 3 2 = 7
（1） 8 3 = 1 ． （2） + + 2 6 = 1
．
17．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）求证：∠AFE＝∠ACB；
（2）若 CE平分∠ACB，且∠1＝82°，∠3＝50°，求∠AFE的度数．
18．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙两人有钱若干，若甲给
1
乙 10钱，则甲的钱是乙的 2倍；若乙给甲 5钱，则乙的钱是甲的 ．则甲和乙原有多少钱？
3
19．一个不透明的袋中装有 5个黄球，13个黑球和 22个红球，它们除颜色外都相同．
（1）小明和小红玩摸球游戏，规定每人摸球后再将摸到的球放回去为一次游戏．若摸到黑球小
明获胜，摸到黄球小红获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由；
（2）现在裁判想从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，使得这个游戏对双方公平，
问取出了多少黑球？
20．某市地铁二号线某工段需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方 700m3，现决定向一大型机械
租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共 13台,恰好完成每小时的挖掘量,则甲、乙两种型号的挖掘机
各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过 1200元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有哪几种不同的
租用方案？
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21．一次函数 y＝ 图象过点 A（2，4）,B（0，3）,题目中的矩形部分是一段因墨水污染无法
辨认的文字．
（1）根据现有的信息，请求出题中的一次函数的解析式．
（2）根据关系式画出这个函数图象，
（3）过点 A作直线 AC将△ABO（O为坐标原点）分成面积比
为 1：2的两部分，请画出该直线，并求出所对应的函数关系式．
22．阅读与思考：形如 x+ky＝b与 kx+y＝b的两个关于 x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中
+ =
k≠1．由这两个方程组成的方程组 + = ，叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”．
（1）直接写出方程 + 32 = 5 的“共轭二元一次方程”，并求出它们组成的“共轭方程组”的解．
+ (2 5 ) = 4
（2）若关于 x,y的二元一次方程组 (1 2 ) + = 5 ，为“共轭方程组”,求此“共轭方程组”
的共轭系数．
23．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数 t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，
则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q
是∠P的“5系数补角”．
【概念理解】（1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“3系数补角”
是 ；
【初步认识】（2）在平面内，AB∥CD，点 E为直线 AB上一点，点 F为直线 CD上一点．如图 1，
点 G为平面内一点，连接 GE，GF，∠DFG＝50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠
BEG的大小．
【问题解决】（3）连接 EF．点 M、N为直线 AB与 CD间的动点(点 M、N不在直线 EF上)，∠
1 1
AEN＝ ∠AEM，∠CFN＝ ∠CFM．∠EMF是∠ENF的“2系数补角”.
3 3
①若点 M、N在直线 EF异侧时，如图 2，求∠ENF的度数；
②若点 M、N在线段 EF同侧，其他条件不变，在备用图中画出对应的图形直接写出∠ENF的度
数为 ．
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期中学业水平检测试题参考答案
一．选择题（10小题，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A B C B B A C D
二．填空题（5小题，共20分）
11. 0 12. 丁 13. 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行。
14. 99 15.
三．解答题（8小题，共90分）
16.（1） ，
①+②得18x＝18，即x＝1，....................................................2分
把x＝1代入①得：y＝ ， ...................................................4分
则方程组的解为 ；...........................................................5分
（2）
化简得
②×2，得4x+2y＝6③，
①+③，得7x＝13，
x＝ ， ....................................................2分
把x＝ 代入③，得y＝ ，...................................................4分
所以方程组的解为 ．........................................................5分
17.（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠FDE＝180°，
∴∠FDE＝∠2，
∵∠3+∠FEC+∠FDE＝180°，∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠B＝∠3，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ACB；........................................................5分
（2）解：∵∠1＝82°，∠3＝50°，
∴∠FEC＝∠1﹣∠3＝32°，
∵∠FEC＝∠ECB，
∴∠ECB＝32°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ECB＝64°，
∴∠AFE＝∠ACB＝64°．.......................................................10分
18.解：根据题意得： ，........................................5分
．
.......................................................10分
答：甲有130钱，乙有50钱．
19.解：（1）不公平．........................................1分
∵不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，摸到黑球小明获胜，摸到黄球小红获胜，
∴小明获胜的概率为： ，小红获胜的概率为： ＝ ；........................................5分
（2）由题意可得：设取出了x个黑球，则
13﹣x＝5+x，
解得：x＝4．
答：取出4个黑球．.......................................................10分
20.解：（1）设甲种型号的挖掘机需要x台，乙种型号的挖掘机需要y台，
+ = 13
依题意得： 50 + 60 = 700，...............................................3分
解得： = 8 = 5． ...............................................6分
答：甲种型号的挖掘机需要8台，乙种型号的挖掘机需要5台．.
（2）设租用a台甲种型号的挖掘机，b台乙种型号的挖掘机，
依题意得：50a+60b＝700，
∴a＝14 65b．
又∵a，b均为正整数，
∴ = 8或 = 2 = 5 = 10．...............................................9分
当a＝8，b＝5时，每小时支付的租金为90×8+100×5＝1220（元），1220＞1200，超出限额，舍去；
当a＝2，b＝10时，每小时支付的租金为900×2+100×10＝1180（元），1180＜1200，符合题意．
∴共有1种租用方案，即租用2台甲种型号的挖掘机和10台乙种型号的挖掘机．...........................12分
21.解：（1）设一次函数的解析式是y＝kx+b，
把A（2，4）、B（0，3）代入得： 4 = 2 + 3 = ，
解得：k＝0.5，b＝3，
∴一次函数的解析式是y＝0.5x+3．........................................3分
（2）画出函数图象如图：
．..........................................6分
（3）解：能，有两条，直线AC1和AC2都符合题意，如图：
.........................................8分
∵A（2，4）、B（0，3），
∴S 1△ABO=2 ×2×3＝3，
当C1（0，2）时，S 1△ABC1=2 ×1×2＝1，S =
1
△AOC1 2 ×2×2＝2，
∴S△ABC1：S△AOC1＝1：2，
此时由A（2，4）、C1（0，2）得直线AC1为：y＝x+2， ..........................................10分
当C2（0，1）时，S△ABC2=12 ×2×2＝2，S
1
△AOC2=2 ×2×2＝1，
∴S△AOC2：S△ABC2＝1：2，
此时由A（2，4）、C2（0，1）直线AC 32为：y=2x+1，
综上所述，过点A能画出直线AC将△ABO分成面积比为1：2的两部分，可以画出2条，它们所对应的函数关
系式是y＝x+2或y=32x+1． ..........................................12分
22.解：（1）由题意列“共轭方程组”得 ，
解得 ； ......................................................6分
（2）由二元一次方程组 为“共轭方程组”，
得 ，
解得 ， ....................................................10分
∴2﹣5a＝﹣3，﹣b﹣4＝﹣6．
∴此“共轭方程组” 的共轭系数为﹣3，﹣6．.........................12分
23.解：（1）设∠P的“3系数补角”是x，
∵∠P＝90°，
∴∠P+3x＝180°，即90°+3x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠P的“3系数补角”是∠3＝30°，
故答案为：∠3； .........................3分
（2）如图，过G作GH∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠BEG＝∠HGE，∠HGF＝∠DFG，
∴∠EGF＝∠BEG+∠DFG，
∵∠BEG＝m，∠EGF＝n，
∴n＝m+50°①，
由条件可知∠EGF+6∠BEG＝180°，即n+6m＝180°②，
联立①②得， ，
解得 ，
∴∠BEG＝（ ）°； ............... .................................8分
（3）由题可知∠ENF+2∠EMF＝180°，
设∠AEN＝x，∠CFN＝y，则∠AEM＝3x，∠CFM＝3y，
当点M、N在直线EF异侧时，
此时∠BEM＝180°﹣3x，∠DFM＝180°﹣3y，
同（2）中方法可得∠ENF＝∠AEN+∠CFN＝x+y，∠EMF＝∠BEM+∠DFM＝360°﹣3（x+y），
∵∠ENF+2∠EMF＝180°，
∴x+y+2[360°﹣3（x+y）]＝180°，
解得x+y＝108°，
∴∠ENF＝108°； .......... ......................................11分
当点M、N在线段EF同侧时，
同理可知∠ENF＝∠AEN+∠CFN＝x+y，∠EMF＝∠AEM+∠CFM＝3（x+y），
∵∠ENF+2∠EMF＝180°，
∴x+y+6（x+y）＝180°，
解得x+y＝（ ）°，
∴∠ENF＝（ ）°．
故答案为：108°，（ ）°． ............ ...................................14分

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