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新巴中27届八下期中模拟一
学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________
一、单选题（共40分）
1．（本题4分）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题4分）下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15
3．（本题4分）如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题4分）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题4分）估计的值在（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
6．（本题4分）如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：
①若，则四边形为矩形；
②若，则四边形为菱形；
③若四边形是平行四边形，则与互相平分；
④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（本题4分）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．9
8．（本题4分）国庆假期，小文与小德两家人打算自驾游从重庆出发行驶至成都，小文开甲车，小德开乙车．两车离开重庆的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．甲车的速度是
B．当时，乙追上甲
C．乙追上甲的时候，两车距终点还有
D．甲乙两车相距时，或
9．（本题4分）如图，点M为正方形内一点，且满足，连接，过点A作交的延长线于点N，连接，若，，则的长为（）
A． B． C．2 D．
10．（本题4分）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点，下列说法：
①若点P为“整点”且在第二象限，则点P的个数为5个；
②若点P为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在直线上；
③若点P为“超整点”，则点P的个数为2个．
其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（共24分）
11．（本题4分）代数式中x的取值范围是______ ．
12．（本题4分）已知点，都在直线上，则___________（填“>”或“=”或“<”）
13．（本题4分）若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______．
14．（本题4分）在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______．
15．（本题4分）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________．
16．（本题4分）任意一个个位数字不为的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，．则________．若（，是整数），（，是整数），若能被整除，求满足条件的的最大值是________．
三、解答题（共86分）
17．（本题8分）计算：
(1)
(2)
18．（本题8分）如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，交于点F．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，若，求证：四边形为矩形．（请完成下面的填空）
证明：∵，，
∴，，
∴①______，
在和中，
，
∴，
∴③______，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴④______，
∴四边形是矩形；
19．（本题10分）先化简，再从1、、和中选一个你认为合适的数作为的值代入求值．
20．（本题10分）如图，直线与直线交于点，且分别与轴交于、两点，已知，若，回答下列问题：
(1)求、两点的坐标及直线的解析式；
(2)在直线上能否找到点，使得？若能，求出点的坐标，若不能，说明理由．
21．（本题10分）如图，四边形是菱形，连接、交于点，点为上方一点，且满足，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)过点作，交于点，交于点，若，，，求的面积．
22．（本题10分）如图，某公园有①，②，③三条步道．经勘测：B在A北偏东的方向上，米，C在B的东南方向，D在A的正南方向300米处，E在D的正东方向，．（参考数据：，）
(1)求的长度（结果保留根号）；
(2)小华和小南同时从A出发，小华选择步道①，小南选择步道③，若小华和小南的速度相同，则谁先到达C，请通过计算说明．（结果精确到0.1）
23．（本题10分）如图，在等腰中，，，点为边上的中点，连接，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，到达点时停止运动．设点运动的时间为秒（），的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的面积大于6时，的取值范围．
24．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点在轴的正半轴上，且．
(1)求直线的表达式；
(2)点是线段上一动点，点为轴上一动点，连接，，，当面积为时，求的最小值及点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，过作于点，点为直线上一动点，当时，直接写出满足条件的点的坐标．
25．（本题10分）已知在正方形中，点E是对角线上一点．
(1)如图1连接，若，，求出的长．
(2)如图2，过点E作于点E，交于点F，点G、H分别在，上（不与端点重合），连接，，若，，求证：．
(3)如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点M，当的值取得最小时，直接写出的值．新巴中27届八下期中模拟一答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D A B A B D A B
1．A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．
【详解】解：选项A：，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，满足最简二次根式的条件．
选项B：，被开方数含分母2，需化简为，不满足条件②．
选项C：，0.2可写为，被开方数含分母5，需化简为，不满足条件②．
选项D：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，不满足条件①．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键．
【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意；
B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意；
C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意；
D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】根据位似图形的性质可得，且相似比为，再由相似三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，
∴，
根据位似图形的性质，位似比（即相似比）等于对应顶点到位似中心的距离之比，
∵，
∴相似比为，
∴与的面积比是．
4．A
【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，
∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意．
5．B
【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算化简后无理数的范围，即可得到结果．
【详解】解：，
又，
∴，
不等式两边同时减2，可得，即，
因此原式的值在1到2之间．
6．A
【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答．
【详解】解：∵点分别是四边形边的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
①若，则，
∴四边形为菱形，即①错误；
②若，则，即，
∴四边形为矩形，即②错误；
③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误；
④若四边形是正方形，则，，
∴，，即与互相垂直且相等，故④正确，
故正确的个数是1个．
故选：A．
7．B
【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可．
【详解】解：四边形是菱形，，
，，
，，
，
，
菱形的面积，
故选B．
8．D
【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象和性质，分类讨论，是解题的关键．
计算甲车的速度是，判断A；求出甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，联立两个函数解析式求得，判断B、C；当两车相距时，分乙出发前，乙出发后，乙到达成都后，三种情况讨论，判断D即可．
【详解】解：A、∵甲车的速度是，
∴该选项正确，不符合题意；
B、设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，
由函数图象得，将代入到甲的函数关系式中，，代入到乙的函数关系式中，
∴，，
解得，，
∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，
乙追上甲的时候，，联立两个函数解析式得，
解得，
∴乙车在追上甲车，
∴该选项正确，不符合题意；
C、此时，两车距终点还有，
∴该选项正确，不符合题意；
D、当两车相距时，
乙出发前，甲行驶，
，
解得；
乙出发后，甲乙行驶中相距，
，
即，
解得；
或，
即，
解得；
乙到达成都后，甲距成都，
，
解得．
∴或或或．
∴该选项错误，符合题意．
故选：D．
9．A
【分析】作于点E，作于点F，证明得，．由三线合一得，，求出，可证，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作于点E，作于点F，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴，．
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
10．B
【分析】本题考查一次函数，结合新定义“整点”“超整点”，考查象限内点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，分式整除性质，只需逐个判断三个说法的正确性即可．
【详解】解：逐一判断三个说法：
对于①：∵点为整点且在第二象限，
∴，
解得
∵为整点，
∴和均为整数，可得为整数，
∴的取值为，，，，，共个，即点的个数为个，故①正确；
对于②：把代入直线，
得：，与点的纵坐标相等，
∴所有满足条件的整点都在直线上，故②正确；
对于③：∵点为超整点，
∴，
∴，
∴，
∴为整数，
∵结果为整数，
∴为整数，点为整数
∴为整数，即为整数
∴是的整数因数
∵的整数因数为，，
∴当时，；当时，；当时，；当时，；
∴，共个符合条件的点，故③错误，
综上，正确的说法共个，
故选：B．
11．且
【分析】根据同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零列不等式组求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，解得：且．
∴代数式中x的取值范围是且．
12．
【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到与的大小关系．
【详解】解：直线是一次函数，解析式中一次项系数，
根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，
已知两点横坐标分别为和，可得，
因此．
13．
5
【分析】根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用任意多边形外角和为即可求出边数．
【详解】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为．
由多边形内角与相邻外角和为，得：
解得：
则外角为．
任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等，
该多边形边数为．
14．
【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解．
【详解】解：如图，过点C作，使，连接、，
，，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
（），
，
，
当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，
的最小值为．
15．
【分析】利用矩形和折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得；连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解．
【详解】解：当与重合时，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
由折叠可得，，，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴．
如图，连接，
当四边形为正方形时，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
16．
【分析】本题考查了新定义问题，求代数式的值与变量整数值之间的关系，对整除概念的理解，综合性较强，理解的含义，并结合所学知识灵活应用是解题关键．
【详解】解：由题意可得：；
∵（，是整数），
∴，
∵（，是整数），
∴，
∴，
∵被整除，由可知，和都是的倍数，
∴无论，取何值，总能被整除；
∴该条件对，的取值没有限制，
∵要取最大值，
∴的值应最小，
∵，
∴时，有最大值，；
故答案为：①；②．
17．(1)
(2)
【分析】（1）分别计算算术平方根、立方根，再计算加减；
（2）按照实数以及二次根式的加减混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)作图见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，分别以该两点为圆心，大于该两点距离的一半为半径在下方画弧，两弧交于一点，最后连接点D和该点，与交点F，则点F为的垂足；
（2）利用已知条件证明，得到，再结合平行四边形的性质证得，从而得证结论．
【详解】（1）解：如图所示，垂线即为所求：
（2）证明：∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形．
19．
【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后分解因式约分化成最简分式，再从所给数值中选一个使分式有意义的数代入求值．
【详解】解：
=，
=，
=，
∵，
∴，
∴原式=．
20．(1)，，
(2)能，点坐标为或
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，直线围成的三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）先求出点和点的坐标，结合，求出的值，再将点代入，求出的值；
（2）分为点在点的左侧和右侧两类讨论，根据，，之间的关系，求出点的坐标．
【详解】（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴点的坐标为，
将，，代入，得，
，
解得，，
∴直线的解析式为；
（2）解：假设存在，设点坐标为，
∵，
∴点在线段外，
①当点在延长线上时，
∵，
∴，
解得，，此时点坐标为，
②当点在延长线上时，
同理①可得，，
∵，
∴，
解得，，此时点坐标为．
综上所述，假设成立，点坐标为或．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，．结合题干可得，，且，则四边形是平行四边形．又因为，因此命题得证；
（2）作，垂足为，由角平分线定理可得，．使用勾股定理计算出和，根据的面积构造方程，求出，进而求出的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，作，垂足为，设，
在直角中，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，
，，
，
∵，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，角平分线定理以及勾股定理，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
22．(1)步道的长度为米；
(2)小南先到C处，见解析．
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）过点B作，垂足为F．在中，，．则，由勾股定理得，在中，，则，最后再由勾股定理得；
（2）过点E作，垂足为G．步道①的长度为，，可得，在中，，由勾股定理得，则，故步道③的长度为．再比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点B作，垂足为F．
由B在A北偏东的方向上，可得．
在中，，．
∴，
∴．
在中，，
∴．
∴．
答：步道BC的长度为米．
（2）解：如图，过点E作，垂足为G．
由（1）可知，，
∴步道①的长度为，
由（1）可知，，．
∴
∵E在D的正东方向，D在A的正南方向，．
∴，．
∵
∴
在中，，．
∴，即，
∴，
∴．
∴步道③的长度为．
∵小华和小南的速度相同，且，
∴小南先到C处．
答：小南先到C处．
23．(1)
(2)见解析；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
(3)
【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据题意进行分类讨论：①当点P在上时，②当点P在上时；
（2）根据（1）中得出的函数表达式，列表，画出图象即可，结合图象即可写出性质；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：∵，，点为边上的中点，
∴，，
∴，
①当点P在上时，即时，
∴，
∴；
②当点P在上时，过点C作于点E，
∵，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
综上：；
（2）解：列表如下：
x 3 4
6 12
6
函数图象如图所示：
由图可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
（3）解：由图象可得，当的面积大于6时，的取值范围．
24．(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）先求点、坐标，进而代入直线解析式求解即可；
（2）先根据图形得出，可得点，再根据将军饮马即可求出最小值；
（3）先求得点的坐标；导角可得，则，再分类讨论，当点在点上方时，易证，根据勾股定理建立方程，即可得解；当点在点下方时，则与关于点对称，据此求解．
【详解】（1）解：对于，令，得，
，即，
，
，
当时，，
，
将点、代入中得，
，
解得，
直线的表达式为；
（2）对于，令，得，
，，
，
，
，
此时，
，
；
如图，作关于轴对称点，
此时，当且仅当、、三点共线时取等，
此时最小值为，
综上，点坐标为，最小值为；
（3），
又，
，
，
，
当点在点上方时，则，
，
联立
解得：
∴
设
∵
∴
∴
解得：
∴
当点在点下方时，此时与关于点对称，
，，
；
综上，点的坐标为或．
25．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，可求得和的长，进而得出和的长，进而得出的长，进一步得出结果；
（2）延长，交于，连接，，可证得，从而，进而证明，从而，从而得出，进一步得出结论；
（3）作，作于，作于，交于，作于，可推出，从而，从而得出当点在处时，最小，可得出，进而得出，设，则，，从而得出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，连接，
四边形是正方形，
∴，，，，，
，
，，，
，
；
（2）证明：如图2，延长，交于，连接，，
，
，
由（1）知：，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，
作，作于，作于，交于，作于，
，
，
当点在处时，最小，
，，
，
，
设，则，，
，
，
当的值取得最小时，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．

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