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一、集合与常用逻辑用语
题型一 集合间的基本关系及应用
1.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系；
2.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系；
【例1】（1）（2023·新课标Ⅱ卷T2）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；
【易错提醒】注意集合中元素的互异性
若，解得，此时，，符合题意；综上所述：，故选B.
（2）已知集合，，其中为实常数．若，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】当时，集合满足；
【易错提醒】当题目中有条件B A时，不要忽略B＝ 的情况.
当时，要使得，则需满足，即满足此种情况的的取值范围为；
综上，当时，实数的取值范围为．
题型二 集合运算问题的解决策略
1.集合运算问题的常用解法：①若集合中的元素是离散的，则常用Venn图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴求解，此时要注意端点值的取舍.
2.已知集合的运算结果求参数值（或范围）：根据集合运算的结果，利用集合运算的定义和数轴建立关于参数的方程（不等式）求解，注意对空集的讨论.
【例3】（1）（2025·天津卷·T1）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则，
集合，故，故选：D.
（2）已知集合，则的真子集个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【解析】集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合，
【易错提醒】集合A，B是点集，其中的元素是曲线上的点
在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，
【点拨】做出图象，两图像交点个数就是的元素个数

观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点，
所以有3个元素，共有个真子集.，故选C
（3）设集合A＝{x｜x≤a}，B＝{x｜x≥2}，（ RB）∪A＝A，则a的取值范围为（　　）
A.（2，＋∞） B.（－∞，2）
C.[2，＋∞） D.（－∞，2]
【答案】C
【思路导引】求→转化为→结合集合间的包含关系求解.
【解析】 由集合B＝{x｜x≥2}，可得 RB＝{x｜x＜2}，集合A＝{x｜x≤a}，
要使得A∪（ RB）＝A，可得（ RB） A，
【易错点拨】把集合的运算转化为两个集合的关系，此时要注意端点值的取舍.
则满足a≥2.故选C.
（特殊值法） 取特值，当a＝2时，集合A＝{x｜x≤2}，因为集合B＝{x｜x≥2}，则可得 RB＝{x｜x＜2}，所以（ RB）∪A＝A，满足题意，故排除A、B.当a＝0时，集合A＝{x｜x≤0}， RB＝{x｜x＜2}，所以（ RB）∪A＝{x｜x＜2}，不满足题意，故排除D.故选C.
题型三 充分条件与必要条件的判断及应用
（1）充分、必要条件的判断方法：①定义法：根据p q，q p是否成立进行判断；②集合法：根据p，q成立与对应的集合间的关系进行判断.
（2）根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键：①把充分、必要条件转化为集合之间的关系；②根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.
【例3】（1）（2025天津卷T2）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】由，则“”是“”的充分条件；
又当时，，可知，
故“”不是“”的必要条件，
综上可知，“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
（2）（2025·重庆三模）命题“存在x＞0，使得mx2＋2x－1＞0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A.m＞－2 B.m＞－1
C.m＞0 D.m＞1
【答案】CD　
【思路导引】分离参数→→利用二次函数求的最小值→确定的取值范围→结合充分不必要条件的定义确定选项.
【解析】存在x＞0，使得mx2＋2x－1＞0，即m＞＝（ ）2－2×＝（ －1）2－1，
【点拨】巧用分离参数，将问题转化为求二次函数的最值问题.
当－1＝0时，即x＝1时，的最小值为－1，故m＞－1.所以命题“存在x＞0，使得mx2＋2x－1＞0”为真命题的充分不必要条件是{m｜m＞－1}的真子集，结合选项可得，C和D项符合条件.故选C、D.
（3）（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【思维探究】
看到什么 想到什么
集合A，B 解一元二次不等式
是的必要不充分条件 转化为是的真子集
【答案】B
【解析】，
，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集,
可得，等号不同时成立，结合，解得，
所以的取值范围为，故选B
【解后反思】注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【通关训练】
1.（2025·全国Ⅱ卷）设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【解析】因为，所以， 中的元素个数为.故选C．
2.（2024·北京卷）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得.故选C.
3.（2024·全国甲卷）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
则， 故选D
4．（2024·天津卷T2）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
5.（2025·枣庄期末）已知命题p： x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q： x∈N，∈N，则（　　）
A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题
【答案】B
【解析】当x＝－1时，｜x＋1｜＝0＜1，故命题p为假命题，命题 p为真命题；当x＝0时，＝1∈N，故命题q为真命题，命题 q为假命题；故 p和q都是真命题.故选B.
6.（2025·北京卷T7）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
7.已知命题“存在x∈{x｜0＜x＜3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是（　　）
A.{m｜m≤0或m≥6} B.{m｜m＜0或m＞6}
C.{m｜m＜0或m≥6} D.{m｜m≤0或m＞6}
【答案】A
【解析】法一 命题“存在x∈{x｜0＜x＜3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，即 （0，3），所以≤0或≥3，解得m≤0或m≥6，即实数m的取值范围是{m｜m≤0或m≥6}.故选A.
法二 当m＝0时，满足题意，故排除B、C；当m＝6时，也满
【小妙招】观察选项，发现0和6是解题突破口，可以排除错误选项
足题意，故排除D.故选A.
8.（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件，故选B
9.（2025·云南玉溪·模拟）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【解析】集合，集合，则，
由韦恩图得或.
故选：D
10.（2025·重庆九龙坡二模）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由可得
得，
故,A错误，
,B正确，
，C正确，
，D正确，
故选：BCD
11.（多选）（2025·南昌模拟）下列说法正确的是（　　）
A.命题： x∈（－1，1]，x2＋2x－3＜0的否定是： x∈（－1，1]，x2＋2x－3≥0
B.α＝＋2kπ，k∈Z是sin α＝的充要条件
C.a＞1是＜1的充分不必要条件
D.a∈[－2，2]是命题： x∈R，x2－ax＋1＞0恒成立的充分不必要条件
【答案】AC
【解析】对A， x∈（－1，1]，x2＋2x－3＜0的否定是： x∈（－1，1]，x2＋2x－3≥0，A正确；对B，sin α＝ α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z，故α＝＋2kπ，k∈Z是sin α＝的充分不必要条件，故B错误；对C，＜1 a＜0或a＞1，所以a＞1是＜1的充分不必要条件，故C正确；对D， x∈R，x2－ax＋1＞0恒成立的充要条件为a2－4＜0 －2＜a＜2，所以a∈[－2，2]是命题： x∈R，x2－ax＋1＞0恒成立的必要不充分条件.故选A、C.
12.设全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x≤4}，B＝{x｜x＜2}，则A∩（ UB）＝　　　　.
【答案】[2，4]　
【解析】因为B＝{x｜x＜2}，所以 UB＝{x｜x≥2}，所以A∩（ UB）＝[2，4].
13.已知函数f（x）＝，集合A为函数f（x）的定义域，集合B为函数f（x）的值域，若定义A－B＝{x｜x∈A，且x B}，A B＝（A－B）∪（B－A），则A B＝　　　　.
【答案】［－，0）∪（ ，1］　
【解析】要使函数f（x）＝有意义，则1－4x2≥0，解得－≤x≤，所以A＝{x｜－≤x≤}.函数f（x）＝的值域B＝{x｜0≤x≤1}，A－B＝{x｜x∈A，且x B}＝{x}，B－A＝{x｜x∈B，且x A}＝{x}.A B＝（A－B）∪（B－A）＝{x≤x＜0}∪{x＜x≤1}＝［－，0）∪（ ，1］.
14.函数，，若，使成立，求的取值范围
【解】由以及可得；
再由以及可得；
若，使成立可得，
即，解得；又，因此的取值范围是.
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