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二、不等式
题型一 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值
1.配凑法:将代数式进行适当变形,通过添项拆项、变系数等方法,配凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.
2.常数代换法:将已知式通过变形转化为右侧为“1”的等式,然后将所求最值表达式与“1”的表达式相乘或相除,转化为和为定值或积为定值的形式,再利用基本不等式求最值
【例1】（配凑法）函数的最小值 ．
【答案】
【解析】，
令，在时是单调递增的，．
故函数的最小值是．
【易错点拨】使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件即才能取等号．上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的．
【例2】（2025·山东日照·一模）点在直线上，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】因为点在直线上，可得.
则
【技巧】“1”的代换的优势在于避免了当多次使用基本不等式时，因讨论取等条件而产
生的错误.因，则，当且仅当时等号成立.
【易错提醒】一定验证等号成立的条件即
即当时，取得最小值为.，故选C.
【解后反思】应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
题型二 含参一元二次不等式解法
解含参数的一元二次不等式的步骤
（1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
（2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
（3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.
【例2】解关于的不等式：．
【解】将不等式变形为．
【突破点】因不确定大小，令解得或，确定讨论的依据
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或
综上所述，当或时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为．
题型三 不等式的恒成立问题
解决不等式中的恒成立问题常用以下方法：
1.分离参数法
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值（范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，a≥f（x）恒成立时，应有a≥f（x）max，a≤f（x）恒成立时，应有a≤f（x）min.
2.主参换位法
如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数
3.数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于轴)关系求解.
此外，若涉及的不等式能转化为一元二次不等式，则可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
【例4】（2025·浙江绍兴一模）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为
A．9 B．6 C． D．5
【解题指导】分离参数→在区间上有解→基本不等式求解
【答案】D
【解析】关于的不等式在区间上有解，
等价于在区间上有解，
即在区间上有解，
【易错点拨】函数在区间上有解是求的最小值，函数区间上恒成立是求的最大值
又，当且仅当时，取最小值6．
故，可得，则实数的最小值为5，故选D．
【例5】（主参换位法）若不等式，当时恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】不等式可化为，
由已知可得
令，
【易错提醒】注意条件，把x看做参数为自变量的一次函数
可得
∴ 或，故选D.
【例6】（数形结合法）已知函数f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R）.当x＞2时，不等式f（x）≥－1恒成立，则m的取值范围 .
【思维探究】
看到什么 想到什么
f（x）＝x2－mx＋2m－4 参数出现在两项中，分离参数比较麻烦，也无法对参数进行分类讨论，利用二次函数的图象分析解题.
m≤4，m＞4 分情况画出二次函数的图象，求出m的取值范围
【答案】{m｜m≤6}
【解】f（x）≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2时恒成立，
令g（x）＝x2－mx＋2m－3，
①若，即m≤4，如图1，只需g（2）≥0，
即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立，
∴m≤4满足题意；
②若，即m＞4，如图2，
只需Δ＝m2－4（2m－3）≤0，则（m－2）（m－6）≤0，∴4＜m≤6.
综上所述，m的取值范围为{m｜m≤6}.
【解后反思】1.ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是
2.ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是
【通关训练】
1.（2025新高考Ⅱ卷T2）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】即为即，故，解集为，故选C.
2.（2025·北京T6）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A,当时，，故A错误；
对于BD，取，此时，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得，故C正确，故选C.
3．（2025·湖南浏阳·三模）已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，且有，所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
4．（2025·哈尔滨一模）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为对任意的，都有恒成立，
∴对任意的恒成立．
设，
，，
当，即时，，
∴实数a的取值范围是.故选：D.
5．（2025·广东深圳二模）对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】A
【解析】依题意，对任意的实数，不等式恒成立，
整理得，令，
则，解得或，故选A
6．（2025·江西·临川一中模拟）要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
【答案】C
【解析】设长方体底面边长分别为，则，
所以容器总造价为，
由基本不等式得，，
当且仅当底面为边长为的正方形时，总造价最低，选C.
7．（多选）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，，因为，
所以，即，所以，故A正确；
对于B，取，此时，故B错误；
对于C，取，则，故C错误，
对于D，若，则显然成立，
若，则成立，
若，则成立，
综上所述，只要，就一定有，故D正确.故选AD.
8.（多选）已知实数x，y满足4x2－4xy＋4y2＝1，则x－2y的值可能是（　　）
A.2 B.1
C.－1 D.－2
【答案】BC　
【解析】法一 令x－2y＝t，则x＝t＋2y，故由4x2－4xy＋4y2
【小妙招】利用换元法，把双变量问题转化为单变量问题
＝1得4（t＋2y）2－4（t＋2y）y＋4y2＝1，即12y2＋12ty＋4t2－1＝0，由于y∈R，故Δ＝（12t）2－4×12（4t2－1）≥0，即得－1≤t≤1，结合选项可知x－2y的值可能是1，－1，故选B、C.
法二 若x－2y＝2，则2y＝x－2，所以4x2－4xy＋4y2＝4x2－2x（x－2）＋（x－2）2＝3x2＋4≠1，排除A；若x－2y＝－2，则2y＝x＋2，所以4x2－4xy＋4y2＝4x2－2x（x＋2）＋（x＋2）2＝3x2＋4≠1，排除D.由于本题是多选题，故选B、C.
【指点迷津】把选项的值代入，判断已知等式是否成立
9.(2025·苏州质检)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1A.x1＋x2＋2＝0 B.－3C.|x1－x2|>4 D.x1x2＋3<0
【答案】ACD
【解析】由题知a(x－1)(x＋3)＋2＝ax2＋2ax－3a＋2>0的解集为(x1，x2)，
所以a<0，且
所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝<0，故A，D正确；
原不等式可化为f(x)＝a(x－1)(x＋3)>－2的解集为(x1，x2)，而f(x)的零点分别为－3，1且f(x)的图象开口向下，
又x1由图知，x1<－3<14，故B错误，C正确.
10.已知，且，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
11.（2025·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先得到，并根据得到，从而求出.
【详解】因为，故，
由得，解得，
故.
12.（名师原创题）已知不等式＋≥9对任意x∈（0，1）恒成立，则满足条件的正实数a的取值范围是　　　　.
【答案】[4，＋∞）　
【解析】已知式可化为＋＝[x＋（1－x）]·（＋）＝1＋a＋＋≥1＋a＋2
【定策略】从题型上分析，显然是和为定值的最值问题，因而采用整体代换策略
＝1＋a＋2，当且仅当＝，即x＝时等号成立，所以要使＋≥9对任意的x∈（0，1）恒
【避陷阱】此处容易忽视对·正负的考虑与等号成立条件的判断
成立，只需要最小值1＋a＋2≥9，即a＋2－8≥0，得（＋4）（－2）≥0，解得≤－4（舍去）或≥2，得a≥4，故正实数a的取值范围是[4，＋∞）.
13.（2025·河南洛阳1寂寞）（1）已知，，，求证：；
（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.
【解】（1）
，
当且仅当时等号成立，
所以.
（2），
当且仅当时等号成立，
因为a，b，c为不全相等的正实数，
所以.
14．（2025·江西九江·开学考试）已知二次函数．
(1)若的解集为，分别求a，b的值；
(2)解关于x的不等式．
【解】（1）由的解集为，则1，b是方程的根，且，
由，解得；由，解得，
所以.
（2）由二次函数，知，
不等式整理得，即，
当时，不等式等价于，
当，即时，解得或；
当，即时，解得或；
当，即时，解集为或；
当时，不等式等价于，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
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