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三、函数的概念及其性质
题型一 函数的单调性及应用
1.判断函数单调性(单调区间)的常用方法
（1）定义法：先求定义域,再通过取值、作差变形、定号的步骤得结论；
（2）图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间；
（3）复合函数法：根据“同增异减”判断，即内外层函数的单调性相同时，为增函数，单调性不同时为减函数；
（4）导数法：先求导,再利用导数的正负,确定函数的单调性（区间）；
（5）性质法：在公共定义域内，增＋增＝增,减＋减＝减,增－减＝增,减－增＝减.
2.函数单调性的应用
（1）比较大小：将自变量转化到同一个单调区间内,利用函数的单调性比较大小;
（2）解不等式：可以依据函数单调性的定义和性质，将“”去掉,列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时需注意函数的定义域;
（3）已知函数的单调性求参数范围：①将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；②运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围.
【例1】（2023·新课标Ⅰ卷T4）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，
【技巧】复合函数的单调性遵循“同增异减”原则
因此，解得，
【点拨】对称轴在区间端点右侧，保证严格单调
所以的取值范围是，故选D
【例2】（2025·河北邯郸一模）已知奇函数是定义在上的减函数，且满足不等式，则不等式解集 ．
【答案】（2， ）
【解析】因为是奇函数，
所以不等式等价为，
又是定义在上的减函数，
所以，即，解得，
【易错点播】运用函数奇函数与单调性时，注意理解函数的定义域.
即不等式的解集为
题型二 奇偶性的判断及应用
1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
2.函数奇偶性的应用
（1）利用函数奇偶性求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式（组），从而得到f（x）的解析式；
（2）利用函数奇偶性求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
（3）利用函数奇偶性求参数：①定义域的区间端点含参数，利用奇偶函数的定义域关于原点对称，列出关于参数的方程求解；②一般化策略：对x取定义域内的任意一个值，利用f(－x)与f(x)的关系恒成立来确定参数的值；
③特殊化策略：取定义域内关于原点对称的两个自变量，列出对应函数值的关系式，然后求解，这种方法求出的参数值要代入解析式检验,看是否满足条件，不满足的要舍去.
【例3】（2023·全国甲卷T13）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
【点拨】赋值法，令，容易求出
利用则，故，
此时，
所以，
【易错提醒】求出的实数需检验
又定义域为，故为偶函数，所以.
【例4】（2025·四川达州一模）函数，且，则的值为 .
【答案】0
【解题指导】构造→为奇函数→→→.
【解析】令，
定义域为或且，关于原点对称，
则，
故为奇函数，
又，故，解得.
题型三 函数的对称性、周期性及应用
1.函数图象对称性的常用结论
（1）函数y＝f(x)关于直线x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x)，或f(2a＋x)＝f(－x).
（2）函数y＝f(x)关于点(a，b)对称 f(2a－x)＋f(x)＝2b，或f(a－x)＋f(a＋x)＝2b.
（3）函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.
（4）若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称
（5）若函数y＝f（x）满足f（x）＋f（2a－x）＝2b，则y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称
2.函数的对称性与周期性的关系
（1）若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，x＝b，则其周期为T＝2|b－a|.
（2）若函数y＝f(x)的对称中心为(a，0)，(b，0)，则其周期为T＝2|b－a|.
（3）若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，对称中心为(b，0)，则其周期为T＝4|b－a|.
【例5】（2025·安徽合肥二模）定义在上的函数满足，且当时，.当时，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，当时，故，
当时，故，
可得在区间上，，
【易错提醒】根据在前两个区间上的解析式，总结在区间上的解析式
作函数的图象，如图所示，

所以当时，
【点拨】从这个区间开始，后边所有区间上的最大值都小于
当时，由，则，
所以的最小值为，故选B
【例6】（2022年新高考Ⅱ卷T8）已知函数的定义域为R,且,则（ ）
B. C. 0 D. 1
【思维探究】
看到什么 想到什么
赋值法，令，
函数为偶函数
利用函数的周期性及求和
【答案】A
【解析】因为，
令可得，，所以，
【突破点】解决抽数问题的第一步是利用赋值法找到特殊点对应的函数值，如等.
令可得，，即，所以函数为偶函数，
令得，，
即有，
从而可知，，故，
即，所以函数的一个周期为．
【卡克点】反复赋值代换，直到得到(为非零常数)的形式
因为，，，，，
所以一个周期内的．由于22除以6余4，
所以，故选A．
【构造特殊函数法】构造函数，
【构造技巧】，联想到余弦函数和差化积公式
，可设.
则
所以符合条件，
因此的周期，，
且，
所以，由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【通关训练】
1.（2020·新课标1卷）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数，故选C
2．若函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．10 C．4 D．2
【答案】B
【解析】由，得，∴函数是周期函数，且4是它的一个周期.
又当时，，∴，故选B.
3.已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】由得关于对称，
而也关于对称，
∴对于每一组对称点，
∴，故选B．
法二：由得
不妨设因为，与函数的交点为
∴当时，，故选B．
法三：设，则，故为奇函数.
设，则，故为奇函数.
∴对于每一组对称点.
将，代入，即得
∴，故选B．
4.（2024·天津T4）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，设，函数定义域为，
但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，，
，则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，
因为，且不恒为0，
则不是偶函数，故D错误，故选B.
5.（2025新高考I卷T5）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知对一切成立，
于是.故选：A
6.（2024·新课标1卷T6）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，即a的范围是，故选B.
7.（2025·海淀质检）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝若函数f（x）在区间[0，2]上的最大值比最小值大，则a的值为（　　）
A.或2 B.或2
C.2或 D.或
【答案】D　
【解析】 ①当0＜a＜1时，函数f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，2]上也单调递减.∵f（0）＝a0＝1＞－1＋a，∴函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为f（0）＝1，最小值为f（2）＝－2＋a，∴－2＋a＋＝1，解得a＝∈（0，1），符合题意.②当a＞1时，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在（1，2]上单调递减.∵f（1）＝a＞－1＋a，∴函数f（x）的最大值为f（1）＝a，而f（2）＝－2＋a，f（0）＝a0＝1，当a∈（1，3）时，－2＋a＜1，此时函数f（x）的最小值为f（2）＝－2＋a，因此有－2＋a＋＝a，无解；当a∈[3，＋∞）时，－2＋a≥1，
【关键】需要比较f（2）与f（0）的大小
此时函数f（x）的最小值为f（0）＝1，因此有1＋＝a，解得a＝∈[3，＋∞），符合题意.综上所述，实数a的值为或.故选D.
法二 当a＝2时，f（x）＝画出f（x）的图象，如图所示，此时f（x）在[0，2]上的最大值为f（1）＝2，最小值为f（2）＝0，所以函数f（x）在区间[0，2]上的最大值比最小值大2－0＝2，不符合题意，排除选项A、B、C.故选D.
8．（多选）（2025·湖南·模拟预测）若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】ABD
【解析】函数的定义域都为，
对于A，因为，所以是偶函数，故A正确；
对于B，因为为奇函数，所以，则是偶函数，故B正确；
对于C，因为偶函数，则，即是偶函数，故C错误；
对于D，因，则为偶函数，又因为为奇函数，则是奇函数，故D正确.
故选：ABD.
9．（多选）（2025·湖南郴州·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．是增函数
C．不等式的解集为
D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为
【答案】CD
【解析】的大致图象如图所示：
由图象可知：的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；
在定义域内不单调，故B错误；
若，则或，即不等式的解集为，故C正确；
令，则，
原题意等价于与有2个交点，则，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：CD.
10.（多选）（名师原创题）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1－x）－f（x－1）＝0，且f（x）在（－∞，0]上单调递增，则（　　）
A.f（3）＞f（π） B.f（ ｜x＋｜）≤f（4）
C.f（1.5）＜f（－log23） D.f（0.490.51）＞f（0.510.49）
【答案】ABD　
【解析】因为f（1－x）－f（x－1）＝0，所以函数f（x）的图象关于y轴对称，即f（x）为偶函数.由f（x）在（－∞，0]上单调递增，可得函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减.对于A，因为π＞3＞0，所以f（3）＞f（π），所以A正确；对于B，因为y＝x＋的值域为（－∞，－4]∪[4，＋∞），所以｜x＋｜≥4，则f（ ｜x＋｜）≤f（4），所以B正确；
【指点迷津】事实上，｜x＋｜＝｜x｜＋≥2＝4，当且仅当｜x｜＝1时等号成立
对于C，因为＝log2＝log2＜log23，所以f（ ）＞f（log23）＝f（－log23），所以C错误；对于D，因为指数函数y＝0.49x单调递减，所以0.490.51＜0.490.49，又幂函数y＝x0.49在（0，＋∞）上单调递增，所以0.490.49＜0.510.49，则0＜0.490.51＜0.510.49，得f（0.490.51）＞f（0.510.49），所以D正确.故选A、B、D.
11．（2025·山东烟台·三模）已知函数，若，则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【解析】已知，其中和均为单调递增函数，且定义域为，
所以在上单调递增，且，
可得，可得，解得，
12．（2025·广东广州二模）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则 ．
【答案】
【解析】令，则，；
令，，则，又，；
令，则，关于直线对称；
令，则，
不恒成立，恒成立，为奇函数，
，，
是周期为的周期函数，.
13.设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当时，．
（1）当时，求的解析式；
（2）计算的值．
【解】（1）因为，所以．
所以是周期为4的周期函数．
当时，，由已知得，
又是奇函数，所以，所以．
当时，，所以，
又是周期为4的周期函数，
所以．
故当时，．
（2），，，，
又是周期为4的周期函数，
所以
，
所以．
14.设函数的定义域为，且对任意的正实数，，均有恒成立.已知，且当时，.
（1）求的值，
（2）试判断在上的单调性，并加以证明；
【解】（1）令，得.
令，，得.
（2）在上单调递增.
任取，，设，则，故.
在已知式中令，，得：，即，
所以，在上单调递增.
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