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四．基本初等函数、函数与方程
题型一 指、对、幂比较大小
比较指、对、幂的大小,一般是先尝试转化为同底或同指的形式,利用函数单调性解决.
利用上述方法不能解决的问题,可以尝试以下两个方法:
1.中间量法：先将各式与“0”或“1"这类中间量进行比较，显然负数小于0、1之间的数,而0、1之间的数必小于比1大的数,
2.构造法：根据需要构造适当的函数或代数式,利用“幂、指、对”等函数的性质进行比较.
【例1】（2025·江苏盐城一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，
【易错提醒】与都大于1，再寻找中间量
因此．故选C．
【例2】（2025·山东泰安二模）已知，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
【易错提醒】转化，由数字的结构构造统一函数
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
又，所以，所以，所以，故选B.
题型二 指数型与对数型复合函数问题
求解与指数函数或对数函数有关的复合函数问题,首先,要熟知指、对数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,一般要借助“同增异减”分析判断函数单调性,最终将问题归纳为与内层函数相关的问题加以解决.
【例3】（2025·天津南开·一模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，因为且，所以函数为单调递增函数，
要使得函数在上单调递减，
【易错提醒】保证函数单调递增，且真数大于0
则满足，解得，所以实数的取值范围为，故选A.
2．（2025·河南洛阳二模）函数在的值域为 ．
【答案】
【解析】，
设，当时，
【易错提醒】容易忽视指数函数.
所以，
所以在的值域为．
题型三 函数图象的应用
【例5】（2024全国甲卷T7）函数在区间的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
【技巧】偶函数的图象关于轴对称
又，
故可排除D，故选B.
【例6】（2025·河北保定联考）已知是定义在上的奇函数，且当时，.若，，则的取值范围为（ ）
B． C． D．
【解题指导】分类讨论，和→画出和图象→数形结合列不等式→的取值范围
【答案】D
【解析】当时，显然恒成立.
当时，可以理解为将的图象向右平移个单位长度后，
得到的的图象始终在的图象的下方（部分重合）.
当时，由的图象：可知，，解得;
【技巧】借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题
当时，由的图象：的图象始终在的图象的下方，
故a的取值范围为，故选D
题型四 函数零点问题
1.函数零点所在区间的判断方法
（1）定理法：利用函数零点存在定理进行判断，适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形；
（2）图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，适用于容易画出函数图象的情形.
2.判断函数零点个数的3种方法
（1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少个解，则f（x）就有多少个零点；
（2）定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
（3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
3.利用函数零点求参数的方法
【例5】（2024·新课标Ⅱ卷T6）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【思维探究】
看到什么 想到什么
两曲线恰有一个交点 列方程求解
分析两侧函数的奇偶性
交点在y轴上 令求并验证
【答案】D
【解析】令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
均为偶函数，交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
【易错提醒】注意三角函数的有界性，，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
（法二）令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选D.
【例6】（2025·四川绵阳二模）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是
【答案】
【解题指导】作出的图象→在内有两个不等实根→结合二次方程根的分布列不等式求得m的范围.
【详解】作出的图象，
令，则方程，即为，
有4个不同的实数根，
则在内有两个不等实根，
【易错提醒】换元后，注意新变量的取值范围
所以，解得，
所以实数m的取值范围为.
【通关训练】
1.（2025·北京卷T4）为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
【答案】A
【解析】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，故选：A.
2.（2021·新高考全国Ⅱ卷T7）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，即，故选C.
3.（2025·天津卷T3）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合，故选D
4.（2025·天津卷T7）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于，故选B
5．若函数是奇函数，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】，需满足或，
由于为奇函数，故定义域关于原点对称，故，解得，
当时，，
满足是奇函数，故，故选C
6.（2025·北京卷T9）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ）
A．2 B．4 C．20 D．40
【答案】B
【解析】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意，，
，
，
因为，所以，
所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
7.（2025·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是，故选B
8.（2025·全国一卷T8）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，故选B．
9．（多选）（2025·吉林长春二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增
B．函数值域为
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
【答案】ABD
【解析】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；
，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：ABD
10．（多选）（2025·福建泉州一模）已知函数满足，，且当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．的周期为2 B．当时，
C．在上为增函数 D．的图象关于直线对称
【答案】AB
【解析】由得为奇函数，
由得，
所以的周期为2，故选项A正确；
由得的图象关于点对称.
故的部分图象如下：

由图象可得时，显然成立，故选项B正确；
在上为先减后增的函数，故选项C错误
的图象关于点成中心对称，不关于直线对称，故选项D错误.
故选：AB
11.关于函数f（x）＝ln（e2x＋1）－x，下列说法正确的有（　　）
A.f（x）在R上是增函数
B.f（x）为偶函数
C.f（x）的最小值为ln 2，无最大值
D.对 x1，x2∈（0，＋∞），都有f（ ）≥
【答案】BC　
【解析】由题设f（x）＝ln（e2x＋1）－x＝ln（e2x＋1）－ln ex＝ln＝ln（ex＋e－x）.对于A选项，
法一 t＝ex（t＞0）在R上单调递增，g（t）＝t＋在t∈（0，1）上单调递减，在t∈（1，＋∞）上单调递增，所以μ＝ex＋在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，又y＝ln μ在定义域上单调递增，所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，故A错误.
法二 设h（x）＝ex＋e－x，则h'（x）＝ex－e－x＝，令h'（x）＝0，则x＝0，当x∈（－∞，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，＋∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，由复合函数单调性判断法则可知，f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，故A错误.
法三 f'（x）＝＝，令f'（x）＝0，则x＝0，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故A错误.对于B选项，由题知f（x）的定义域为R，且f（－x）＝ln（e－x＋ex）＝f（x），则f（x）为偶函数，故B正确.对于C选项，μ＝ex＋≥2，当且仅当x＝0时，等号成立，则f（x）min＝f（0）＝ln 2，无最大值，故C正确.对于D选项，f″（x）＝＞0恒成立，f（x）为凹函数，在（0，＋∞）上任意取两点x1，x2，都有f（ ）＜，故D错误.故选B、C.
11.（2025·重庆·模拟）设且，则的最大值为
【答案】
【解析】因为且，则，
解得：，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，
则，
即的最大值为
12.（2024·全国甲卷T6）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
13.（2025·江西宜春期末）已知函数．

(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间；
(2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围．
【解】（1）因为的图象是由的图象向下平移2个单位长度而得的，
而的图象是由的图象保留轴上方的图象，
再将轴下方的图象沿着轴向上翻折而得的，所以的大致图象如图，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）因为函数的图象与轴有两个不同的交点，
所以有两个根，即与的图象有两个交点，如图，

结合图象可知，，解得，即实数的取值范围为．
14.（2025·河南南阳二模）已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
【解】（1）因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，，
，
所以，即.
（2），
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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