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六、 利用导数研究不等式
题型一 利用导数研究不等式恒（能）成立问题
1.恒(能)成立问题的转化策略一般有：参数讨论法，参变分离法，先特殊后一般法等
2.常用的转化方法
（1）若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f（x）max；
（2）若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min.
（3）若存在x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；
（4）若存在x0∈D，使a＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.
3.“双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换有：
（1） x1，x2∈D，f（x1）＞g（x2） f（x）min＞g（x）max；
（2） x1∈D1， x2∈D2，f（x1）＞g（x2） f（x）min＞g（x）min；
（3） x1∈D1， x2∈D2，f（x1）＞g（x2） f（x）max＞g（x）max.
【例1】（2024全国甲（理）卷T21）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
【解题指导】（1）代入→求导→的单调性→的极值
（2）求导→构造新函数→求导，分类讨论→确定新函数的单调性→新函数的最值→的取值范围
【解】（1）当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2），
第1步构造新函数并求导
设，
则，
第2步分类讨论，比较与0的大小关系
当时，，故在上为增函数，
【疑难解惑】因为分界点未知，结合联想到利用必要性探路得出a的分界点再进行分类讨论故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍.
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
第3步得出结论
综上，.
题型二 利用导数证明不等式
1直接构造函数法：证明不等式(或)转化为证明(或)，构造辅助函数，只需证明(或).
(2)先放缩后构造法：首先根据已知条件（或常用结论）适当放缩,然后构造函数，转化为求函数最值问题；有时也会利用上一间的结论进行放缩。
【例2】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【思维探究】
看到什么 想到什么
讨论的单调性 联想到通过求导确定导函数的符号来判断函数的单调性
将恒成立问题转化为最值问题，比较大小，想到作差，构建适当的函数求最值
【解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）作差构造法
第1步：作差或变形；
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
第2步：构造新函数g（x）；
令，则，
第3步：利用导数研究g（x）的单调性或最值；
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
第4步：根据单调性及最值，得到所证不等式.
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
适当放缩法：第一步：整体审题，找到简单的不等关系．
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
第二步：利用ex≥1＋x合理放缩．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
第三步：化简不等式，得出结论．
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
【解后反思】适当放缩法证明不等式常见的放缩技巧
（1）利用基本不等式进行放缩，如：a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；a＋b≥2（a≥0，b≥0）；
（2）ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；
（3）ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号.
【通关训练】
1．（2025·湖北武汉·模拟）已知函数（）.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围.
【解】（1）当时，，则且，
由，得或；，得；
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题知，令，则，
因当时，恒成立，且，
则必有，即，
另一方面，时，，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，满足题设，
综上，a的取值范围为.
2．（2025·山东聊城·三模）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．
【解】（1）因为函数的定义域为，
当时，恒成立，
当时，，所以此时不恒成立，
当时，求导得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，
即不等式恒成立，等价于，
综上，的取值范围为.
（2）（i）当时，，则，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，
（ii）由，则要证明，只需要证明，
构造，则，
所以在上单调递增，
即，所以有，
即成立．
3．（2025·广东肇庆二模）已知函数．
(1)若，求的零点；
(2)若，讨论的单调性；
(3)若，证明：．
【解】（1）时，，
令可得，解得，所以的零点为e．
（2）因为，
所以．
若，则令，解得，，
①若，即时，
当时，，当时，，
故在区间上单调递增，在区间，上单调递减．
②若，即时，，故在上单调递减．
③若，即时，
当时，，当时，，
故在区间上单调递增，在，上单调递减．
综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时， 在上单调递减；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．
（3）要证，
因为，则只证，故只需证明，
设，则，
所以当时，，故在区间上单调递增，
所以，原式得证．
4．（2025·福建龙岩三模）已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【解】（1）由，，
得.
令，解得.
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）因为对任意，均存在，使得，
所以，
当时，取得最大值，最大值为0.
由（1）得，当时，在]上单调递增，
即当时，取得最大值，
所以，解得，即.
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值.
设，
则，单调递增，
所以成立，所以无解.
综上所述，的取值范围为.
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