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七、 利用导数研究函数零点
题型一 证明或求解零点个数
【例1】（2025·浙江温州·一模）已知（）.
(1)求导函数的最值；
(2)试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由.
【解题指导】（1）函数求导→令→再求导→利用导数确定单调性得最值；
（2）方程变形为→令→对求导→确定单调性→依据函数值域确定根的个数．
【详解】（1）
∵，记
∴，解得：
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值等于.
（2）【分离参数法】由，即，即.
令，∴，由解得：
∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且
所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.
【分类讨论法】由，即，即.
令，，∴，由解得：
∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且
所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.
【构造函数法】由，即，两边取对数得：，即.
令，所以由，解得
当时，，单调递增，当时，，单调递减
所以
当，即时，方程无解；
当，即时，方程有1个解；
当，即时，方程有2个解.
【解后反思】在研究较复杂函数的零点（求较复杂方程的根）时，需构造出相应的函数，依据该函数的性质（单调性、极值等）求出函数的零点（方程的根），或利用零点（方程的根）求参数的取值范围.
题型二 已知零点个数求参数范围
【例2】【例2】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】第1步：分离参数（a＝g（x））后，将原问题转化为y＝g（x）的值域（最值）问题或转化为直线y＝a与y＝g（x）的图象的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解令，即，
第2步：利用零点存在定理构建不等式求解
令
则，
令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
第3步：转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以.
【例3】（2025·四川绵阳模拟）已知函数.
(1)当时，求证：最大值小于；
(2)若有两个零点，求实数k的取值范围.
【思维探究】
看到什么 想到什么
指数不等式和对数不等式
同构变形
有两个零点 直线与函数有两个交点
【详解】（1）当时，，
先证明：，令，其中，
则，当时， ，
所以 在上单调递增，
即，
则不等式在上恒成立，
再证明：，令，其中，
则，
则当时， ，当时， ，
所以在上递增，在上递减，
即，
则不等式在上恒成立，
所以有，证毕；
（2）第二步：指对同构
由得：，
第二步：构造函数，求导分析函数的单调性
构造函数，由，因为，所以，
即函数在上单调递增，
由，根据单调性可得：
第三步：二次构造函数，新函数求导分析单调性
再构造，则，
则当时， ，当时， ，
所以在上递减，在上递增，即
当时，由，可知，
当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知，
第四步：结合图象求解.
而函数有两个零点等价于直线与函数有两个交点，
根据数形结合可得：.
【解后反思】在借助函数图象研究函数零点问题时，要准确画出函数的图象，不仅要研究函数的单调性与极值的情况，还要关注函数值的正负以及变化趋势，把函数图象与x轴有无交点，哪一区间在x轴上方，哪一区间在x轴下方等情况分析清楚，这样才能准确地研究直线与图象交点的个数情况.
【通关训练】
1．（2025·山东泰安·模拟）已知函数在处有极小值.
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【解】（1）因为
，
由已知，即，或，
当时，，
所以当时，当时，当时，
∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
时有极小值，符合题意.
当时，，
所以当时，当时，当时，
∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
时有极大值，不符合题意，故舍去.
；
（2）由已知有三个不同零点，
即的图像与直线有三个不同的交点，
由（1）知在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
故当时，有极大值，即，
当时，有极小值，即 ，
所以 ，.
2．（2025·安徽阜阳二模）已知函数，曲线在处的切线斜率为0．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若，判断函数的零点个数．
【解】（1）依题意，，
因为曲线在处的切线斜率为0，
所以，即．
所以，
故函数在上单调递增．
（2）由（1）得，所以
故，设，
则，设，则，
当时，，所以单调递减，
因为，所以当时，从而函数即单调递减，
又，
从而存在唯一，使得，
且当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
而，
故存在唯一，使得．
因为是奇函数，且，
所以函数有3个零点．
3．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数．
(1)若，讨论函数在的单调性；
(2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值．
【解】（1）由条件，
则，
由，所以，
令，则，得或，
令，则，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由，则，
令，则，
所以当时，单调递增，
又，所以，
，
所以在上单调递增，，
由题意，，解得，
所以a的最小值为1．
4．（2025·湖南郴州·三模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)当时，讨论的零点个数.
【解】（1）当时，，定义域为，
则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，，
令，则，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以在上单调递减，所以当时，.
（3）令，得，即，
所以.
令，则，即①，
当时，由，得在上恒成立，
所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数.
令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
，当时，，且当时，.
因为，所以.
当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2；
当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为
，即时，方程①无解，的零点个数为0.
综上，当时，的零点个数为2；
当或时，的零点个数为1；
当时，的零点个数为0.
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