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微专题1 函数中的构造问题
题型一 通过变量构造具体函数
根据所给代数式（等式、不等式）中数学运算的相同点或者结构形式的相同点，构造具体的函数，利用导数研究函数的性质并解决问题.
【例1】若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，可得，
令，则在上单调递增，且，
所以，即，由于，
故．
【例2】（2025江苏宿迁二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【思维探究】
看到什么 想到什么
，， 对b,c取对数，加负号，转化为结构相同
函数求导，分析单调性，比较大小
【解析】第一步：观察式子，化为含有相同数的式子．
，，，所以，．
，．
第二步：构造函数，判断单调性．
令，其中，则．
当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
第三步：利用单调性比大小．
因为在上单调递减，且，所以，所以，即，．
第四步：得出结论．
又函数在上单调递增，所以．故．故选D．
题型二 抽象函数的构造
1.根据条件中关于f′(x)的不等式结构，逆用导数的运算法则构造原函数，进而利用其单调性.
2.熟悉知识拓展抽象函数的构造技巧，以便于构造原函数.
【例3】（2025·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式等价于，即，
构造函数，所以，
因为时，，所以对恒成立，
所以在单调递减，
又因为，
所以不等式等价于，所以，
即的解集为.
故选：A.
【例4】（2025福建厦门二模）已知偶函数在上单调递增，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】第一步：观察式子，化为相同结构．
，．
【技巧】这里之所以将转化为，是因为构造函数后，发现自变量不在同一单调区间，需将其转化到同一单调区间内
第二步：构造函数，判断单调性．
设，则．
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
第三步：利用单调性比大小．
因为在上单调递减，且，
所以，即，故．
第四步：得出结论．
因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减．
【解后反思】奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反
，因为，
所以，即．故选C．
题型二 指对同构
1.积型：
2.商型：
3.和差型：
【例5】（2025江苏扬州中学模拟）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】第一步：观察式子，化为相同结构．
对已知不等式变形可得：．
【技巧】观察不等式，发现要想将左、右两边化为相同的形式，需要将右边变形，根据对数的运算性质，可得
第二步：构造函数，判断单调性．
令，．
易知函数与在上均为增函数，
所以函数在上为增函数．
第三步：利用函数的单调性比大小．
即，根据函数在上为增函数，可得，则．
【提醒】根据对数的真数部分大于0，可知a与2b均大于0，处在同一单调递增区间内
第四步：得出结论．
因为，所以，则，A错，B对．
无法确定与1的大小，故无法确定与0的大小，CD都错．故选B．
【例6】（2025湖南长沙模拟）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思维探究】
看到什么 想到什么
想到指对同构
将恒成立问题转化为最值问题
函数求导，利用单调性求最值
【解析】因为，不等式成立，
即成立，即，
进而转化为恒成立，
【卡壳点】巧用同构
构造函数，可得，
当，，单调递增，
则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，
进而转化为恒成立，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当，函数取得最大值，最大值为，
所以，即实数m的取值范围是.
【例7】（2025·广东珠海二模）高不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．
【解析】由，
【卡壳点】巧用同构
当x＋lnx＋1≤0时，原不等式恒成立，
当x＋lnx＋1＞0时，，
由于，当且仅当x＋lnx＝1等号成立，
所以，故．
【提醒】忽视a自身的范围要求
【通关训练】
1.设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，又分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，即为奇函数，
当，有，所以在上单调递减，
由奇函数的性质，在上单调递减，且，
由，则，即，
综上，上，上，
所以不等式的解集是，故选A
2.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可令，
所以在上单调递增，则原不等式等价于，
由，解之得．
故选：B．
3.（2025·济南二模）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
构造函数，，则，
当时，；当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
由于，，且，
则，即，
又，∴.故选A.
4.（2025·山东潍坊·三模）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
所以在上单调递减，
因为，
所以不等式可变为，即，
所以，即，
所以不等式的解集为，故选：D.
5.已知，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
.
令，则易知在上单调递增，，
令，问题转化为求 在的最小值.
因为，当时，（当且仅当时取“”）.
所以在上单调递增，.
所以的最大值为，故选A
5.（2025·四川德阳·三模）已知，，，则把、、从小到大排列的顺序是 .
【答案】
【解析】设，则，时，，单调递减，
所以，即，，
设，则，时，，单调递减，
因此，即，，
综上，，
6.（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围
【答案】D
【解析】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①
因为函数为偶函数，则，②
联立①②可得，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数，
故当时，，所以，函数在上为减函数，
由可得，
所以，，整理可得，解得或
实数a的取值范围是
6．（2025·山东泰安一模）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数a的取值范围.
【解】（1）.
当时，，
所以在单调递增.
当时，令，可得；
令，可得，
所以在单调递增，在单调递减.
综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）因为当时，，所以，
即，
即，
即.
令，则有对恒成立.
因为，所以在单调递增，
故只需，
即对恒成立.
令，
则，
令，得.
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以.
因此，所以.
8．（2025·江西赣州二模）已知函数.
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝e，证明：当x>0时，.
【解】（1）由题意知，.
因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，，即恒成立．
令（），则，时，，时，，
g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1，
所以，即.
故实数a的取值范围是；.
（2）证明：若a＝e，要证，
只需证，即.
令（x>0），则，
易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则，
所以.
再令（），则，时，，时，，
易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
则，所以.
因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以，故原不等式成立．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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