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微专题2 隐零点问题
导数的零点很多时候无法直接求解或者猜测出来，我们称之为“隐零点”（即能确定零点存但无法用显性数字表达），这类问题对学生的综合能力要求比较高，是考查的难点解决.
“隐零点”问题的基本思路如下:
（1）形式上虚设变量为时，设零点为；
（2）运算上代换，对于含有隐零点的恒等式，根据需要通过移项将含有的一项或几项移在等号一边代换到另外式子中；
（3）数值上估算，估算零点所在的区间；
（4）策略上等价转化，运用充要条件等价转化或恒等变形；
（5）方法上分离参数，零点用数学式子表示出来；
（6）技巧上反客为主，零点作为主变量，其他变量作为参变量.
【例1】（2025·山东聊城·一模）已知函数，，.
(1)求的单调递增区间；
(2)求的最小值；
(3)设，讨论函数的零点个数.
【解题指导】（1）函数求导→令→求单增区间
（2）求导→构造函数→再次求导→分析新函数的单调性→虚设零点→，使→→构造函数，→由函数单调性求最小值.
（3）函数的零点个数→为的实数根的个数→的单调性讨论可得.
【解】（1），令，可得，
故的单调递增区间为；
第一步：分析题干，转化问题，找零点．
，
令，
则，
由，故恒成立，
故在上单调递增，
又，，
第二步：设零点，得出零点满足的关系式．
故存在，使，即，
即在上单调递减，在上单调递增，
故，
第三步：根据零点所满足的等量关系，“设而不求”，转化为不含参数的函数的最值问题
由，则，
【会代换】整体代换要向着解决问题的方向去靠，如本题两边同除，形式上接近，便易于求解了
令，则有，
，当时，恒成立，
故在上单调递增，
故，即，
则，
即的最小值为；
（3）令，
即有，
即函数的零点个数为的实数根的个数，
【技巧】含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．
由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，且，
又当时，，当时，，
故当，即时，有唯一实数根，
当，即时，有两实数根，
当，即时，无实数根，
即当时，函数有一个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数无零点.
【例2】（2025·江西萍乡·模拟）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若=0，求的值；
(3)证明：.
【思维探究】
看到什么 想到什么
求导后，对分类讨论，研究函数的单调
虚设零点，结合单调性求解
移项构造函数，
利用隐零点，用代数法证明不等式
【解】（1）由得且，
若，则恒成立，即在上单调递增；
若，令，则；令，则，
所以函数在单调递减，在单调递增；
综上，，在上单调递增；当时，函数在单调递减，在单调递增.
（2）由，所以，即，
令，则，所以，
由（1）可知，当时，在单调递增，
所以，所以；
（3）第一步：构造函数求导，判断导函数的单调性
记，则，
因为，所以在单调递减，
第二步：借助导函数“隐零点”，判断函数的单调性
由（2）可知，则.
所以若，；若，，
所以可知函数在单调递增，在单调递减，
所以，
第三步：用代数法证明不等式
又，，，
所以，所以.
【通关训练】
1．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数．
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）记，若，试讨论在上的零点个数．
【解】（1），所以，又，
所以的图象在处的切线方程为．
（2）由已知得，所以，
令，则．
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减．
当时，，
所以存在，使得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
因为，故函数在上无零点，
又因为，由零点存在定理可得在上有且只有一个零点．
综上所述，当时，函数在上的零点个数为1．
2.（2025·吉林白城二模）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：函数的图象在x轴上方.
【解】（1），
令则.
当时，，∴函数在上单调递增；
当时，，∴函数在上单调递减.
即的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2），
，易知单调递增，
又，，
∴在上存在一个，
使得：，即：，且，
当，有单调递减；
当，有单调递增.
∴，
∴，
∴函数的图象在x轴上方.
3.（2025·山东枣庄三模）已知函数
（1）若求的极值；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围.
【解】（1）当，
令，解得，
则当单调递减，当单调递增，
故的极小值为，无极大值；
（2）由题意可得
令则
当时，则时，，不合题意；
当时，设，
，，
所以存在时，，
因为，所以在上单调递增，
所以当，；当，，
则当，；当，，
则在单调递减，在单调递增，
所以
因为，所以，即
故解得
综上所述，实数a的取值范围
4（2025·重庆南岸二模）已知函数，．
（1）若，判断的单调性；
（2）若，求a的值；
（3）已知，．若，证明：．
【解】（1）由题意有：，因为，
令，解得：，所以当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上递减；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减．
若，则，即，
代入可得：，
令，（），则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，且，
所以，即，
当时，恒成立，即在上单调递增，
又，所以当，，不恒成立，故不成立.
综上所述，；
（3）令，，
所以，令，，
所以在上单调递增，因为，，
所以在上存在唯一零点，令，则，
令，所以；令，所以；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，所以，
所以，得证.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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