资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
八、三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可实现角α的弦切互化
2.sin α，cos α的齐次式的应用
（1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解；
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
3.同角三角函数关系式的常见变形
（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cos α）（1－cos α）；
（2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sin α）（1－sin α）；
（3）（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α；
（4）sin α＝tan αcos α（α≠＋kπ，k∈Z）；
（5）sin2α＝＝，cos2α＝＝.
【例1】(2025·江苏南通二模)已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由，得，解得，B错误；
由，得，则，A正确；
，D错误；
【易错点拨】因，
，则，C正确，故选AC
【例2】（2021·新高考全国Ⅰ卷T6）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题指导】1用sin2α＋cos2α替换→化简→齐次式法求解.
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．故选C．
【解惑答疑】分子与分母同除以，将分式的分子与分母化为关于的式子
题型二 三角函数式的化简与求值
1.三角函数式化简的原则
2.三角函数式化简的方法
化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.
3.三角恒等变换常用结论
（1）sin2α＝，cos2α＝；
（2）1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α；
tan α±tan β＝tan（α±β）（1 tan αtan β）.
【例3】（2024·新课标Ⅰ卷T4）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【思维探究】
看到什么 想到什么
根据和角公式联想到可以将公式展开
找到与和角公式之间的关联，建立起方程
观察表达式，联想到两角差的余弦公式
【答案】A
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，故选：A.
【解后反思】使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.
【例4】（多选）（2025·河南郑州一模）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】由已知，得，，
两式分别平方相加，得，
【解惑答疑】结合，巧用方程的思想.
，
整理得，∴，∴A正确；
同理由，，两式分别平方相加，易得，∴B正确；
由，，两式分别平方相加，易得．
∵，∴，∴，
∴，∴C正确，D错误，故选ABC．
【易错提醒】若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
【例5】（2025·海南海口三模）设为锐角，若，则的值为 .
【答案】
【解析】由为锐角，得，又，则，
因此，，
所以
【技巧】互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等
.
【解后反思】给值（式）求值问题的解题策略
（1）此类问题的解法规律是将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行恒等变换，使其转化为所求函数式能够使用的条件，然后用代入法求出三角函数式的值，也可以将所求的函数式经过适当的变形，再利用条件求值；
（2）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示.
【通关训练】
1.（2023·新课标Ⅱ卷T7）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，而为锐角，
解得：．故选D．
2.（2025·福建·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，等式两边不成立，故，
对等式进行变形可得，
因为在和上单调递增，故，故选A.
3.（2024·全国甲卷T8）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，，
所以，故选B.
4.（2025·荆州模拟）已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋4，x∈R，且f（2 025）＝3，则f（2 026）＝（　　）
A.3　 B.4 C.5　 D.6
【答案】C
【解析】由f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋4，得f（2 025）＝asin（2 025π＋α）＋bcos（2 025π＋β）＋4＝－asin α－bcos β＋4＝3，即asin α＋bcos β＝1，则f（2 026）＝asin（2 026π＋α）＋bcos（2 026π＋β）＋4＝asin α＋bcos β＋4＝1＋4＝5.故选C.
5.（2025·全国二卷T8）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，则，则，
则，故选D.
6．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以
．故选：C．
7．（2025·广东广州·三模）设是方程的两根，则（ ）
A．p B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是方程的两根，
由韦达定理可得，
且，故选D
8.（多选）（2025·黑龙江大庆·模拟）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为，所以，
由得，
解得舍去，或，所以，
所以，，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
9．（多选）（2025·江苏南京·一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由，且，则，故A错误；
由，故B正确；
由，故C正确；
由，故D错误.
故选：BC.
10．（多选）（2025·山东日照模拟）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为，，其中，为锐角，故
所以：，故A正确；
因为，
所以
，故B错误；
可得，故C正确；
可得，所以，故D错误．
故选:AC
11.（2023·全国乙卷T14）若θ∈（0，），tan θ＝，则sin θ－cos θ＝　　.
【答案】－
【解析】由tan2θ＝＝＝，得cos2θ＝.因为θ∈（0，），
所以cos θ＝，则sin θ＝＝，所以sin θ－cos θ＝－.
12.（2024·新课标Ⅱ卷T13）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【解析】由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
13.（2025·甘肃白银·二模）已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则 .
【答案】
【解析】因为①，
所以
由题意可化简②，
①-②可得，所以.
又③，④，
③+④可得，即.
14.（知识交汇）若函数对恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为在上恒成立.
设，，则在恒成立.
则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑