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九、三角函数的图象与性质
题型一 图象变换
函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种途径
【例1】（2025江苏扬州一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）个单位.
A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移
【解析】令可得，令可得，
因为，所以选C.
【易错提醒】前面有负号时，先把负号拿到括号里面，再来找最高点.
【另解】，
，对比两个解析式发现在中将x
换成可以得到，故选C.
【解后反思】对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度．
题型二 图象与解析式
求函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）解析式的方法：
（1）最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝；
（2）T定ω：由周期的求解公式T＝，可得｜ω｜＝；
（3）点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.
【例3】（2024·新课标Ⅰ卷T 7）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【思维探究】
看到什么 想到什么
与 联想到求函数的最小正周期
函数图象的交点个数 在同一个平面直角坐标系中结合五点法画出两个函数的图象观察图象的交点情况
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点，故选C
【例2】已知函数的部分图像如图所示，若，则函数的零点所构成的集合
B． C． D．
【答案】B
【解析】如图可知，，∴．
∵，∴，
【易错提醒】求的值，一般选取最高点或最低点的位置代入，常可避免增解，若图象中只有平衡点的坐标是已知的，带入这个点的坐标，要数形结合，并关注的取值范围，否则会掉入命题人的陷阱，产生增根致误。所以；
令，则，因为，所以，
所以或或，即或或，
所以函数的零点所构成的集合为.
【易错提醒】写成集合的形式
题型三 三角函数的性质
1.三角函数的单调性
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”
(2)求形如y＝Asin（ωx＋φ）＋B或y＝Acos（ωx＋φ）＋B(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解，如果ω<0，那么一定要先借助诱导公式将x的系数化为正数
(3)已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
2.三角函数的奇偶性相关的结论
（1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；
（2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；
（3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）.
3.三角函数图象的对称轴和对称中心的求法　
求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）＋b或y＝Acos（ωx＋φ）＋b的形式，再把（ωx＋φ）整体看成一个变量.
（1）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x；
（2）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x.
【例4】（多选题）（2024·新课标Ⅱ卷T9）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【【思维探究】
看到什么 想到什么
相同的零点 令求零点
相同的最大值 三角函数的有界性
相同的最小正周期 求周期公式
相同的对称轴 把整体看成一个变量
【答案】C
【答案】BC
【解析】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
【易错点拨】对于函数y＝sin（ωx＋φ），y＝cos（ωx＋φ）及y＝tan（ωx＋φ）的图象的对称问题，应将ωx＋φ看作一个整体，利用整体思想求解.
显然图像的对称轴不同，D选项错误，故选BC
【例5】（多选）1．（2025·山东临沂·三模）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是的一条对称轴
C．函数在上单调递增
D．函数图象与直线有3个交点
【答案】ABD
【解题指导】三角恒等变换得到→最小正周期→代入验证得到B正确→验证→同一坐标系内画出两函数图象数形结合得到答案.
【解析】A选项，
，
【技巧】先将y＝f（x）化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，再借助y＝Asin（ωx＋φ）的性质（如周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
故的最小正周期为，A正确；
B选项，，故是的一条对称轴，B正确；
C选项，，，
由于在上不单调，故在上不单调，C错误；
D选项，同一坐标系内画出与，如下：
可以看出两函数有3个交点，D正确.故选：ABD
【解惑答疑】解决三角函数中的零点（方程根）问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决.
【通关训练】
1.（2021·全国乙卷T7）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
2.（2021·新高考全国Ⅰ卷T4）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
3．（2025·甘肃金昌二模）当时，曲线与的公共点个数为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．11
【答案】A
【解析】在同一个直角坐标系中结合五点法画出两函数在上的图象，如图所示．
由图可知，两函数的图象有9个公共点．故选：A.
4．函数是上的偶函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】是上的偶函数，即关于对称，则，
则，则，解得.
，则，故选D.
5.（2024·天津卷T7）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以，
即，当时，，
所以当，即时，，故选D
6.（2025·黑龙江·二模）已知函数的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线关于对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，得，则.
由，即，
得，解得.故选：D.
7.（2025·辽宁大连·三模）如图，函数 的图象与坐标轴交于点，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，点是的一个对称中心，
又直线交的图象于点，利用对称性可知两点关于点对称；
不妨设，
由重心坐标公式可得，又，即可得；
由最小正周期公式可得，解得，即；
将代入可得，又，所以；
即，
所以，故选：C
8．（多选）（2025·陕西西安二模）已知函数，则（ ）
A．的最大值为2
B．函数的图象关于点对称
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数在区间上单调递增
【答案】ABD
【解析】函数，
对于A，的最大值为2，A正确；
对于BC，，函数的图象关于点对称，直线不是其对称轴，B正确，C错误；
对于D，当时，，而函数在上单调递增，
因此函数在区间上单调递增，D正确.
故选：ABD
9.（多选）（2025·广东汕尾·三模）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．当时，的图象与轴有2个交点
【答案】ABD
【解析】由图像可得，故，故，故A正确；
故，而，故，
故，而，故，故B正确；
因为，故为偶函数，故C错误；
故，当时，，
因为在上的零点为，
故在上有两个不同的零点，故D正确，故选ABD.
10.（2023·新课标Ⅱ卷T16）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

【答案】
【解析】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
11.（2025·海南·模拟预测）已知函数在上有两个不同的零点，，则 ．
【答案】
【解析】由，得，
则在上有两个不同的零点，
，可知是一条对称轴，
所以关于对称，即，
即．所以，
所以
.
12.（2025·河北保定·一模）函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且点在轴上，圆的半径为，则

【答案】
【解析】观察图形知，函数的周期，则，
由，得，而，则，即，
又圆的圆心，点在圆上，则，又，解得，
因此，所以.
13．（2025·全国二卷T15）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
【解】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
14.（2021·浙江卷T18）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
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