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十、解三角形
题型一 正、余弦定理
1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径）.变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
3.三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
【例1】（2024全国Ⅰ卷T16）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【思维探究】
看到什么 想到什么
对已知信息分析，已知三角形内两边及其夹角，对比余弦定理公式，求出的值
，求B 由的值可得C，由已知得，进而求B.
若的面积为 由(1)得B，C的值,通过正弦定理得到边长之间的关系
求c 由已知边角关系分析，要想求边c，可借助三角形的面积公式进行转化
【解】（1）由余弦定理有，对比已知，
【点拨】观察联想，如看到a2＋c2－b2应联想到a2＋c2－b2＝2accos B.
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
【点拨】注意到，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
题型二 最值范围问题
解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤
（1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的范围；
（2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数；
（3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值.
【例2】（2025·湖南雅礼中学模拟）设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题指导】由B=2A两边取正弦函数二倍角化简求得b=4cosA→另一面锐角三角形且B=2A→确定A的取值范围→确定cosA的范围
【解析】在锐角三角形中， ，即，且，则，
即，综上，
【易错提醒】解三角形问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败．
则，
因为，，
所以由正弦定理得，得，
【点拨】若，函数单调递减。
因为，
所以，所以，
所以b的取值范围为.故选C.
【例3】（2024全国Ⅰ卷T15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【思维探究】
看到什么 想到什么
根据所给条件中的角包含2B，联想利用二倍角公式进行计算整合
，求B 由所化式子，借助特殊角的三角函数值进行转换求解
的最小值 由求最值问题,联想到转化为函数问题求解，由三边平方的比值形式，联想正弦定理转化为三角函数
【解】（1）因为，
即，
而，所以；
（2）由（1）知，，
所以，而，
所以，即有，所以
【技巧】巧用三角形中的三角函数关系：sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；sin ＝cos
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
【易错提醒】利用基本不等式求最值，要注明等号成立的条件．
题型三 多边形问题
利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略
（1）将所给平面多边形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行求解；
（2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解；
（3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用；
（4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解.
【例4】（2023·新课标Ⅱ卷T17）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【思维探究】
看到什么 想到什么
为中点，且 对已知信息进行整合、关联,，以面积列方程
求 联想，要求只需求或
表达式给出了的数量关系，由表达式的次数特征联想余弦定理
求 根据已有结论，选择合适的包含的三角形进行求解
【解析】（1）在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
（2）第1步：在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形
在与中，由余弦定理得，
第2步：寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件
整理得，而，则，
第3步：结合面积公式进行化简.
又，解得，
而，于是，所以.
【另解】在中，因为为中点，
则，又，
于是，
即，解得，又，
解得，而，于是
所以.
【通关训练】
1．（2025·云南昆明·一模）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，，且．
(1)证明：；
(2)当时，求．
【解】（1）证明：由及正弦定理得，
．
因为，，
所以，即，
因为，所以，因为在区间上单调递减，
所以.
（2）由题意，当时，根据正弦定理得，
即，即，
因为，所以，
因为，所以.
2．（2025·江苏镇江·模拟）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，且，求的面积.
【解】（1）解：因为，
由正弦定理，可得
因为，可得，所以，所以.
（2）解：由，
可得，即，
因为，可得，所以，即，
又，所以，解得，
又因为，可得
由正弦定理，可得，
所以.
3．（2025·湖南湘潭一模）在锐角中，内角的对边分别是，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
【解】（1）因为，则，
则，
因为，所以；
（2）因为，所以，则，
由正弦定理，得，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
所以，所以，
所以，即的取值范围为.
4．（2025·河北秦皇岛二模）在平面四边形中，，，，.

(1)求的长.
(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
【解】（1）在中，，，则
，
由正弦定理得，，
所以，
因为
，
所以；
（2）因为，，所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
即，解得，
在中，由正弦定理得，
则
，
所以
，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
即.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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