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十一、平面向量与复数
题型一 平面向量线性运算的解题策略
1.先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决.
2.复杂的向量问题可建立坐标系，借助向量的坐标运算，也可灵活地选取基底利用平面向量基本定理及相关的向量知识进行求解
【例1】（2022·新高考Ⅰ卷T3）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（　　）
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
【思维探究】
看到什么 想到什么
点D在边AB上，BD＝2DA 联系已知和所求，利用向量共线定理，将几何条件BD＝2DA转化为向量条件＝3
＝m，＝n，求 联想到平面向量基本定理、三角形法则
【答案】B　
【解析】因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋
3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
法二（作图法）　如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B.
【例2】（2025·湖南九校联盟联考）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题指导】由→→，→出→利用、、三点共线求出的值.
【解析】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为、、三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
【技巧】(λ,μ为实数),若点A,B,C共线(O不在直线BC上),则λ+μ=1.
所以，，，故，因此，，故选C.
【易错提醒】证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点.
题型二 平面向量的数量积及应用
1.求平面向量的模的两种方法
2.求平面向量的夹角的方法
3.有关向量垂直的两类题型
【例3】（2024·新课标Ⅱ卷T3）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【思维探究】
看到什么 想到什么
对已知信息进行整合、关联,联想到处理向量的模的一般思路是“见模先平方”
联想两向量垂直的充要条件、向量数量积的运算
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
【技巧】两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 ｜a－b｜＝｜a＋b｜（其中a≠0，b≠0）.
又因为，所以，从而，故选：B.
【例4】（2023·全国甲卷T4）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【思维探究】
看到什么 想到什么
对已知信息进行整合、关联，观察模的特点， 由，两边平方运算后可得.
联想向量夹角余弦公式，要求夹角余弦需要先求.
【答案】D
【解析】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
同理
而
，故选D.
（方法二）由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
，故选D.
【易错提醒】如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．
【例5】（2024天津卷T14）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
【解析】因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
【解后反思】求向量数量积的最值（范围）问题的关键
（1）会计算向量的数量积，有关向量数量积的计算通常有两种方法：数量积的定义及坐标运算；
（2）会求目标代数式，通过引入参数求出向量的数量积，转化为关于参数的函数，此时，常利用函数的单调性、配方法、基本不等式等方法求出向量数量积的最值（范围）.
法二：坐标法：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
法三：等和线法 如下图，连接AC，AC与BE交于P点，因，
故，由等和线定理可得，以下同解法一
题型三 复数的四则运算及几何意义
1.进行复数运算时常用的几个结论
1.（1±i）2＝±2i， ＝i， ＝－i.
2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N*）.
3.z·＝｜z｜2＝｜｜2，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，｜｜＝， ｜zn｜＝｜z｜n.
2.设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）在复平面内对应的点分别是A（a，b），B（c，d）则
（1）｜z1－z2｜＝｜AB｜＝，则｜z1－z2｜的几何意义是复平面内复数z1，z2对应的点A，B的距离.
（2）设复数z对应的点是Z，
①若｜z－z1｜＝r，r＞0，则点Z的轨迹为圆；
②若r1＜｜z－z1｜＜r2（0＜r1＜r2），则点Z的轨迹为圆环，但不包括边界；
③若｜z－z1｜＝｜z－z2｜，则点Z的轨迹为线段AB的垂直平分线；
【例6】（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【解析】由可得，，所以，故选B.
【例7】（2025·江苏南通·三模）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ）
A．若则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【解题指导】由复数不能比较大小判断A→由复数的模长公式即判断BC→举出反例判断D.
【解析】，如，，此时与无大小关系，A错．
，，，，，B对．
，，，
即，
则，，C对．
设，，此时
但，D错，故选BC．
【易错提醒】由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系。但解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【通关训练】
1.（2025新高考1卷T1）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【解析】因为，所以其虚部为1，故选：C.
2.（2023·新课标Ⅱ卷T1）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限，故选A.
3.（2024·新课标Ⅰ卷T2）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，故选C.
4.（2024·新高考Ⅰ卷T3）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　D　）
A.－2　 B.－1
C.1　 D.2
解析：（1）法一 因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
法二 因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.
5.（2023·全国甲卷T5）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，，
所以，故选B.
6（2025·湖北·模拟预测）已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上的投影向量为，故选A.
7．（2025·河南许昌·三模）已知向量与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，
，
，所以．故选：C．
8.（2025北京卷T10）已知平面直角坐标系中，，，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，故选：D.
9．（多选）（2025·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设，.
对于A选项，，
所以，
，A对；
对于B选项，取，，则，
，则，即，B错；
对于C选项，，，
，，
，所以C错误；
对于D选项，，
，，
所以，故D正确.
故选：AD
10.（多选）（2025·云南·模拟预测）已知向量满足，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．在方向上的投影向量为
D．若，则与的夹角为
【答案】ABD
【解析】对于A：因为，
所以，故A正确；
对于B：因为，所以，
因为，故B正确；
对于C：在方向上的投影向量为，故C错误；
对于D：因为，
所以，
因为，所以与的夹角为，故D正确.
故选：ABD.
11.（2025·全国二卷T12）已知平面向量若，则
【答案】
【解析】，因为，则，
则，解得.则，则.
12.（2025·天津卷T15）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
【答案】；
【解析】如图，
因为，所以，所以．
因为D为线段的中点，所以；
又因为，所以，
，所以
所以，
所以
．
13.（2025·山西大同·二模）如图，已知的三个角所对的边分别为.动点在边上且不与点重合，动点在边上，.向量.
(1)试用及表示下列各式：
（i）当时，；
（ii）；
(2)当时依据（ii）求解，若已知，，求.
【解】（1）（i）当时，与反向，即与的夹角为.
因为，所以.
（ii）由题意，，，.
所以.①
（2）当时，①式化简为②.
将代入②，得.
又因为，所以，所以.
14.（2025·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点.
（1）若，设为线段上的动点，求的最小值；
（2）若，向量，向量，求的最小值.
【解】（1）已知点的坐标为，为线段上的动点，设，
因为，且，，
则，
所以，
所以，
所以当时，最小，最小值为.
（2）因为，且，的坐标为，
则，则，
又，
则，
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值1，
则取得最小值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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