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十二、数列的概念及表示
题型一 利用an与Sn的关系求通项公式
1.Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.
（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
2.已知Sn求an的3个步骤
（1）先利用a1＝S1求出a1；
（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）即可求出当n≥2时an的表达式；
（3）注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
【例1】（2025·山东菏泽三模）已知数列的前项和为，若满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题指导】将化为→构造等比数列→利用等比数列的通项公式求解
【解析】当时，，，得，
当时，，，，
【技巧】用替换
，又，
【技法】观察的特点，待定系数法求解
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，，故选C
【例2】（2025·湖北武汉三模）已知数列的前项和为，，且．则数列的通项
【解题指导】将中的n用n－1替换→作差得→求首项，求公比→等比数列的通项公式求解
【解析】当时，，∴，
当时，由①，
得②，
【技巧】用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式
①－②得，
，∴，
∴，又，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴．
题型二 利用递推关系求数列的通项公式
1.形如an+1-an=f(n)的数列，利用累加法求an.
2.形如=f(n)的数列，利用累乘法求an.
3.若数列{an}满足an+1=pan+q(p≠0，1；q≠0)，构造an+1+λ=p(an+λ).
4.形如an+1=(p，q≠0)的数列，取倒数构造等差数列求通项.
5.若数列{an}满足an＋1＝p（p＞0，an＞0），利用取对数法求an.
【例3】（2025·四川绵阳模拟）已知数列满足，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题指导】累加法→分组求和→等差、等比前n项和公式求解
【解析】由题设，
【技巧】an＋1an=f(n)的数列可利用累加法求通项
即，且，
所以，
由满足上式，故，故选B
【易错提醒】由求时，数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步容易忘记，切记！
【例4】（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【解题指导】由与的关系→→累乘法→求得的值
【解析】数列中，满足，当时，可得，
两式相减，可得，即，
【技巧】an＋1＝anf(n)的数列可利用累乘法求通项
所以，又由，
则.故选：B.
【例5】（2025·东北育才学校三模）已知数列满足且，其前项和为，则满足不等式的最小整数为______．
【解题指导】待定系数法→数列为等比数列→该数列的首项和公比→求得→分组求和法得→解不等式求.
【详解】因为，
【技巧】an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0)的数列可用待定系数法
所以，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，，
所以
【技巧】若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
因此不等式，即，即，
因为，故满足不等式的最小整数为．
【例6】（2025·厦门双十中学三模）已知数列满足，，则的通项公式.
【解题指导】两边取对数→→根据等比数列求通项→解方程可解.
【解析】取以10为底的对数可得，
即，
【技巧】把看作整体，待定系数法求解
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以
即，即.
【例7】（2025·陕西西安二模）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n．
【思维探究】
看到什么 想到什么
对递推式两边取倒数得
，为等比数列 待定系数法，根据等比数列定义证明
分组求和思想求和后结合函数单调性解不等式
【解】（1）∵，
【技巧】an＋1＝ (A，B，C为常数)的数列可用倒数构造法
∴，
可得，
又由，所以，则数列表示首项为，公比为的等比数列．
【易错提醒】构造新数列后，新数列的公比也发生变化，不要盲目认为是数列的首项.
（2）由（1）可得，所以．
设数列的前n项和为，
则，
若，即，因为函数为单调递增函数，
【技巧】若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
所以满足的最大整数n的值为2024．
【通关训练】
1．（2025·四川成都·一模）已知数列的前项和为．若，则（ ）
A．512 B．510 C．256 D．254
【答案】C
【解析】由，
所以数列是以2为首项，2为公式的等比数列，于是，故选：C
2．（2025·河北唐山·一模）若等比数列的前项和，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为等比数列的前项和，所以当时，，
所以该等比数列的公比,所以，解得，故选A.
3．（2025·江西赣州·一模）已知数列的前n项和为，满足，则=（ ）
A．11 B．31 C．61 D．121
【答案】D
【解析】令，得，得，由，
当时，，两式相减得，
，即，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故选D.
4．（2025·山东济南二模）在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．
故选：A
5．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知数列中，，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】∵，∴，∴．
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴，∴．∴，
∴数列的前10项和．
故选C．
6．（2025·四川资阳·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，即，而，
所以
，满足上式，
所以所求通项公式为，故选：C
7．（2025·山东青岛三模）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【解析】依题意，数列满足，，
，所以
，也符合，所以，是单调递增数列，
由，解得，
所以的最大值为，故选B
8．（多选）（2025·云南·一模）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．
D．数列的前项和为
【答案】ACD
【解析】A选项，，
其中，所以是公比为2的等比数列，A正确；
C选项，由A知，，所以，C正确；
B选项，当时，，
当时，，
显然满足，故，B错误；
D选项，，故，
即为公比为的等比数列，且，
所以的前项和为，D正确，故选ACD
9．（2025·江西·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为，所以，解得，故A错误；当时，
，
则，且也符合，故B正确；
，故C正确；
，则，故D正确.
故选：BCD
10．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】由题意，
当时，，两式相减得，
，解得，
在中，令，可得，故也满足，
综上所述，所求即为.
11．（2025·甘肃白银·三模）已知数列满足，若，则 .
【答案】
【解析】，
，
将这个式子的左右两边分别相加可得，
，.
12．（19-20高二上·河南开封·期中）在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为 ．
【答案】
【解析】由有，且，
故数列为首项为，公比为的等比数列，可得，
不等式可化为，令，
当时；当时，．
故有当时，，
则，
当时，，即，
此时，数列单调递减，
综上所述，，可得实数的最小值为．
13．（2022·福建南平·三模）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，．设为数列的前n项和，求．
【解】（1）因为，，
所以当时，，则，即，
当时，也成立，所以．
（2）由（1），，
则，
则
．
14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解】（1）因为，，所以，
所以， 故，
又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故.
（2）由（1）得，
所以
.
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