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十三、等差、等比数列
题型一 等差、等比数列的基本运算（含性质）
1.等差数列、等比数列的基本公式（n∈N*）
（1）等差数列的通项公式：an＝a1＋（n－1）d；
（2）等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1；
（3）等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋；
（4）等比数列的前n项和公式：Sn＝
2.等差数列、等比数列的性质
（1）通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k（m，n，p，q，k∈N*），则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；对于等比数列有aman＝apaq＝；
（2）前n项和性质：对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列（q＝－1且m为偶数情况除外）.
【例1】（2023·全国甲卷T5）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．故选C.
（法二），，
【技巧】利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分.
所以，，
从而，于是，
所以．故选C.
【例2】（2023·新课标Ⅱ卷T8）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【思维探究】
看到什么 想到什么
为等比数列的前n项和 联想等比数列的前项和公式，条件中未对公比的取值范围做限定，考虑对特殊情况进行讨论处理
， 将等比数列的前项和公式代入，两个方程、两个未知数，联立方程组求出基本量
求 将求得的代入等比数列前项和公式
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
【易错提醒】在用等比数列的前n项和公式时，一定要分公比q＝1和q≠1两种情况进行讨论.
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以，故选C．
（法二）设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．故选C．
【例3】（多选）（2025·新课标Ⅱ卷T9记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题指导】通项公式→前项和公式得→方程组解出→求
【答案】AD
【解析】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；
对B，则，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，，
则，故D正确；故选AD.
题型二 等差、等比数列的判定与证明
等差数列 等比数列
定义法 an＋1－an＝d ＝q(q≠0)
通项法 an＝a1＋(n－1)d an＝a1·qn－1
中项法 2an＝an－1＋an＋1(n≥2) a＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)
前n项和法 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0，1)
【例4】（2025·河北石家庄·三模）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为等差数列
B．当且仅当时，取得最大值
C．
D．是等比数列
【答案】ACD
【解题指导】由结论判断A→二次函数的最值判断B→降标作差判断C→等比数列的定义判断D.
【解析】由，为等差数列，故A正确；
【技巧】若Sn＝an2＋bn(a，b为常数)，可知为等差数列
因二次函数的对称轴为，且开口朝下，
则当或时，取得最大值，故B错误；
当时，，
则，
又，符合上式，故，故C正确；
令，则，则是等比数列（定义法），故D正确.
故选：ACD
【例5】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项，且满足
(1)求证：为等比数列；
(2)设，记的前项和，求满足的最小正整数．
【解题指导】（1）数列的递推公式两边取倒数→等比数列的定义证明
（2）由（1）求→分组求和→等比数列的前项和公式求→为递增数列→由求解.
【详解】（1）
是以1为首项，为公比的等比数列；
【易错提醒】指出数列的首项，公比是得分点，易忽视
（2）由（1）得，即，
所以，
所以，
因为，
所以为递增数列，又.
【易错提醒】忽视致误
所以满足的最小正整数为10.
题型三 等差、等比数列最值问题
求数列和式最值、范围的基本方法
(1)利用不等式组(n≥2)确定和式的最大值；
利用不等式组(n≥2)确定和式的最小值.
(2)利用和式的单调性.
(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.
【例6】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解题指导】（1）→→n－1替换Sn中的n作差→得证；
（2）由等比中项的性质求出→的通项公式→前项和→二次函数的性质计算．
【解析】（1）因为，即①，
当时，②，
【技巧】用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
【易错提醒】用求函数最值的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值．
【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【通关训练】
1.（2024·全国甲卷T4）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则，
则等差数列的公差，故，故选B.
2．（2022·全国乙卷T8）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，则，解得，
所以，故选D.
3.（2025·新高考Ⅱ卷·T7）记为等差数列的前n项和，若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d，则由题可得 ，
所以，故选：B.
4.（2021·北京卷T6）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64 B．96 C．128 D．160
【答案】C
【解析】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以，故选C.
5．（2025·海南儋州·模拟预测）已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，且，则，
所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，则，，
所以.故选：C
6．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得为方程的两个解，则，
解得，易知，故选B.
7．（2025·福建福州二模）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，有，
由函数单调递增，且，可得.
有，由数列单调递减，
所以取得最大值时的值为9，故选B.
8．（多选）（2025·云南大理一模）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．
D．数列的前项和为
【答案】ACD
【解析】A选项，，
其中，所以是公比为2的等比数列，A正确；
C选项，由A知，，所以，C正确；
B选项，当时，，
当时，，
显然满足，故，B错误；
D选项，，故，
即为公比为的等比数列，且，
所以的前项和为，D正确.
故选：ACD
9.（多选）（2025·内蒙古赤峰·三模）已知抛物线的焦点为，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则（ ）
A． B．数列是等差数列
C．点的坐标为 D．
【答案】ABD
【解析】因为抛物线的焦点为，C选项错误；
因为是等差数列设公差为，且，，则，所以，A选项正确；
，，所以数列是等差数列，B选项正确；
，D选项正确；
故选：ABD.
10.（2025·新课标1卷T13）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
【答案】
【解析】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
当时，，即，则，显然不成立，舍去；
当时，则，
两式相除得，即，
则，所以，所以该等比数列公比为2.
法二：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
所以，
，
所以，则，所以，所以该等比数列公比为2.
法三：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
因为，
又，
所以，所以，所以该等比数列公比为.
11.（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列满足：，，，且，则数列的前100项和为
【答案】4950
【解析】由，得，而，
则数列是首项为1，公比为2的等比数列，因此，，
所以数列的前100项和为.
12.（2025·江西赣州二模）已知各项均为正数的数列{an}满足(n∈N*，且n≥2)，a1=1，a2=2，则a30=　　　　　　.
【答案】
【解析】因为，
由等差中项的定义可知，数列是首项，公差的等差数列，
所以+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2，由此可知=3×30-2=88，
又因为an>0，所以
13．（2023·新课标Ⅰ卷T20）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
14.（2025·河北沧州二模）已知正项数列的前n项之积为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求的前2n项和.
【解】（1）依题意，，当时，
得，则，
由，得，则，即，
当时，，于是，解得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）得，
则，
所以
.
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