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数列求和
题型一 分组、并项求和
分组转化法求和的常见类型
【例1】（2025·山东潍坊二模）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【思维导引】（1）设公差为→列方程求出→求出的通项公式→根据→作差得数列为等比数列→的通项公式
（2）→分组求和法求出→令→利用作差法判断的单调性→求出→解的对数不等式→的取值范围.
【解析】（1）设等差数列的公差为，且成等比数列，
，即，解得或（舍去），
所以.
数列的前项和，
当时，，
当时，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，.
（2）由（1）可得，
【技巧】若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
.
令，，
单调递增，.
，，.
【易错提醒】只考虑数列求和对实数的要求，忽视对数函数的要求
（法二）令，
因，单调递增，.
，，.
题型二 错位相减法求和
如果数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和
利用错位相减法求和的基本流程
【例2】（2025·新课标1卷T16）设数列满足，
证明：为等差数列；
设，求．
【解题指导】（1）化简→→为等差数列
（2）求的通项公式→代入函数并求导→错位相减求和→导函数表达式→
【解】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，
即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）第一步：根据（1）得到数列的通项
由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
第二步：求出函数的导函数
在中，
，
第三步：利用错位相减法求和
∴，
当且时，
∴，
∴
【易错提醒】用错位相减法求和时，应注意：
(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)作差后所得等比数列的项数；(3)最后一项的符号.
第四步：代入，求
∴
.
题型三 裂项相消法求和
裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数
，
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
，
(3)分母含无理式＝－.
【例3】（2022·新高考全国Ⅰ卷T17）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【思维探究】
看到什么 想到什么
， 联想和与项之间的关系根据等差数列的通项公式转化为与的关系
求的通项公式 ①利用消去，得的递推关系②消去得的递推关系；③构造常数列 ④列举的方法，找规律然后证明
根据通项公式的结构形式用裂项的方法进行求和
【解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
【易错提醒】不要忽视时验证
∴的通项公式；
（2）
∴
【解后反思】裂项相消法求和的步骤
【易错提醒】消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
【通关训练】
1.（2024·全国甲卷T17）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
2．（2025·重庆三模）已知为数列的前项和，且满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值.
【解析】（1）当时，，解得：.
当时，，
所以，即，
所以
所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，所以，
.
所以时，即，所以，所以的最大值为.
3.（2024全国甲卷数学（理））记为数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为．
解：（1）当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.
,所以故所以
，.
4.（2025·山东临沂二模）已知正项数列的前n项和为，对任意，点在过原点且与直线．垂直的直线上．数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)若，求数列的前n项和．
【解】（1）与直线垂直的直线斜率为1，过原点且与直线垂直的直线为，
又因为点在直线上，所以，所以；
（2）数列的前n项和为，且，
当时，，
当时，，符合上式，所以，
又因为，
所以数列是等差数列
（3）因为，所以，
设数列的前n项和为，
，
所以，
所以，
设，
，
所以，
，
，
所以；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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