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十五、空间几何体的结构特征、表面积与体积
题型一 空间几何体表面积与体积的求解方法
1.空间几何体表面积的求解方法
（1）求多面体的表面积时,把各个面的面积相加即可.
（2）求简单旋转体的表面积时,代入公式直接求解.
（3）求组合体的表面积时,注意重合部分的处理
2.求空间几何体的体积的三种方法
【例1】（2024·新课标Ⅰ卷T5）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【思维探究】
看到什么 想到什么
圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 联想圆柱的侧面积公式，圆锥的侧面积公式
圆锥的体积 联想到圆锥的体积公式
【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，所以即，
故，故圆锥的体积为，故选B.
【易错提醒】1.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
2.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【例2】（2024·天津卷T9）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】因为AD,BE,CF两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以看作底面边长为1的正三棱柱的一部分,然后分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,如图,其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形,
故该五面体的体积V=×1××1+××=,故选C.
法二：将几何体补形为如图所示一个三棱柱，
该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，
.故选C.
【解后反思】求空间几何体的体积的三种方法
题型二 与球有关的切、接问题
1、正方体与球
（1）内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a.
（2）棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长a.
（3）外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长a.
2.长方体与球
外接球：外接球直径2R＝体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)．
3.正棱锥与球
（1）内切球：V正棱锥＝S表·r＝S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高．
（2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱锥外接球半径为R，高为h)．
　
4.求解空间几何体的外接球问题的策略
（1）定球心：球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
【例3】已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面．若，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解题指导】在中求→确定位置关系→补形为长方体→外接球半径→球的体积公式.
【答案】C
【解析】第1步：定型，三条棱两两垂直
在中，，
所以，所以．
因为平面平面，
所以．
第2步：定量，确定长方体的三个量长、宽、高
又，所以．
如图将三棱锥，补形为长方体，
则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
第3步：求值，求出外接球的半径和体积
长方体的体对角线是长方体的外接球的直径，球心为的中点．
又，即，所以球的半径为2，
故球的体积．故选C．
【例4】（多选）（2023·新课标Ⅰ卷T12）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
【思维探究】
看到什么 想到什么
能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器 要将几何体整体放入棱长为1m的正方体容器
直径为的球体 球的直径小于正方体棱长
所有棱长均为的四面体 几何体为正四面体，棱长为 1.4 m
底面直径为，高为的圆柱体 圆柱体底面直径非常小，高为1.8m
底面直径为，高为的圆柱体 圆柱体的高非常小，底面直径为1.2m
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，
所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；
对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
【技巧】旋转体作轴截面，求解几何量
可知，则，
即，解得，
且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，
设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，
可知：，则，
即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选ABD.
【解后反思】解决球及其组合体问题的关键是弄清楚组合体中所涉及的简单几何体的位置关系和结构特征.一般情况下，组合体中出现球时,要探索球心位置，求解球的半径，如果组合体中只有柱锥、台，一般就是研究点、线、面的位置关系及长度与角度的计算，本题在求解过程中要调用正方体的内切球半径、内接正四面体棱长、体对角线长、正方体的最大截面等知识进行判断，应用数学推理技能理解题意，运用极限法和估算法有效解决最值问题.
【例5】（2025新高考Ⅱ卷T14）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ．
【解题指导】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式求出球的半径
【答案】
【解析】圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且，
由圆柱与球的性质知，
即，，
【解后反思】有关内切球问题的解题策略
【通关训练】
1．（2025·陕西咸阳·模拟）已知球的一个截面的面积为，球心到该截面的距离比球的半径小1，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意设截面圆的半径为，球的半径为，因为截面的面积为，所以，
又，即，解得，
所以球的表面积，故选B
2．（2021·新高考全国Ⅱ卷T5）正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积，故选D.
3.（2024·天津卷T9）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】因为AD,BE,CF两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以看作底面边长为1的正三棱柱的一部分,然后分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,如图,其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形,
故该五面体的体积V=×1××1+××=,故选C.
4.（2021·全国甲卷T11）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为(　 )
A. B． C. D．
【答案】A
【解析】如图所示，因为AC⊥BC，
所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，
则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝，
所以三棱锥O-ABC的体积V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝.
5．（2022·全国甲卷T9）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，
所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，
所以.故选C.
6．（2021·天津卷T6）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为，故选B.
7.（2022·全国乙卷T9）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，
当且仅当即时等号成立，故选C
8．（多选）已知球O的半径为，则下列结论正确的是（ ）
A．球O的表面积为6π
B．球O的内接正方体的棱长为1
C．球O的外切正方体的棱长为
D．球O的内接正四面体的棱长为2
【答案】AD
【解析】A，球的表面积为，A正确.
B，正方体的体对角线长为，棱长为，B错误.
C，球的外切正方体的棱长为，C错误.
D，将正四面体补形为正方体如下图所示，正方体的体对角线长为，棱长为，所以正四面体的棱长为，D正确，故选AD
9．（多选）（2025·河北邯郸·期中）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最大值为，则（ ）
A．正方体的外接球的表面积为
B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的棱长为2
D．线段的最小值为
【答案】ACD
【解析】设正方体的棱长为，则正方体的外接球的半径为对角线的一半，即．
内切球的半径为棱长的一半，即．由于和为外接球和内切球上的动点，
故，解得，故C正确；
外接球的表面积为，故A正确；
内切球的体积为，故B错误；
线段的最小值为，故D正确．故选ACD
10.（2021·全国甲卷T14）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为 .
【答案】
【解析】∵，∴，∴，∴.
11.（2023·全国乙卷T16）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
【答案】2
【解析】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，
设的外接圆圆心为，半径为，
则，可得，
设三棱锥的外接球球心为，连接，则，
因为，即，解得.
12．（2023·全国甲卷T15）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
【答案】12
【解析】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，
由题意可知，为球心，在正方体中，，即，
则球心到的距离为，
所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，
所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.
13．如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)若，是的中点，点在线段上，求的最小值．
【解】（1）由题知，底面半径为2，母线长为4，
所以圆柱的侧面面积，
圆柱的体积.
（2）记底面圆心为O，连接，
因为底面半径为2，，
将三角形旋转到，使得和轴截面共面，如图：
则，
当三点共线时，取得最小值.
14.已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【解】（1）依题意底面为正方形，、相交于，
所以为的中点，又为中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）设球的半径为，由球的表面积公式，
解得（负值舍去），
设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，
连接，则，，，
则在，则，即，
解得（负值舍去），
则，所以，
又为中点，平面且，
所以到平面的距离为，
所以.

21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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