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十七 空间向量与空间角（距离）
题型一 求解异面直线所成角的方法
【例1】（2021·全国乙卷·高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题指导】平移直线至→将直线与所成的角转化为与所成的角→解三角形求角
【解析】如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以，故选D
空间向量坐标法：如图，建立空间直角坐标系
设正方体棱长为2，,则，所以
【易错提醒】两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角的范围为（0，π），所以公式中要加绝对值.
直线与所成的角为，故选D.
题型二 求解直线与平面所成角的方法
【例2】（2025北京卷T17）四棱锥中，与为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)F为的中点，G为PE的中点，证明：面PAB；
(2)若面ABCD，，求AB与面PCD所成角的正弦值．
【解题指导】（1）取PA的中点N→PB的中点M→连接FN、MN→证明→面PAB
（2）建立空间直角坐标系→求直线AB的方向向量→面PCD的法向量→向量夹角公式求解.
【解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，
与为等腰直角三角形
不妨设
，E、F分别为BC、PD的中点，，，
，，
∴四边形FGMN为平行四边形，，
面PAB，面PAB，面PAB；
（2）面ABCD，
第一步：建立空间直角坐标系．
以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则
第二步：求出平面的法向量．
设面PCD的一个法向量为
取
第三步：计算向量的夹角
设AB与面PCD成的角为
则
即AB与平面PCD成角的正弦值为.
题型三 求解二面角（平面与平面所成角）的方法
【例3】（2024·全国甲卷T19）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【解题指导】（1）证→为平行四边形→可证→平面
（2）作交于并连接→证三垂直→建系→设点写坐标→求平面的法向量→利用公式求二面角的正弦值..
【解】（1）因为为的中点，所以，
四边形为平行四边形，所以，又因为平面，
平面，所以平面；
（2）第一步：证明互相垂直
如图所示，作交于，连接，
因为四边形为等腰梯形，，所以，
结合（1）为平行四边形，可得，又，
所以为等边三角形，为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，
四边形为平行四边形，，
所以为等腰三角形，
与底边上中点重合，
，，
【技巧】垂直关系“”，可作为建系的突破口．
因为，所以，所以互相垂直，
第二步：建立空间直角坐标系．
以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
第三步：求出平面的法向量．
设平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，即，
令，得，即，
则，即，
令，得，即，
第四步：利用夹角公式，计算向量的夹角．
，则，
故二面角的正弦值为.
【易错提醒】1.利用向量法求二面角，必须能够判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”，否则解法是不严谨的；
2.注意题目中的设问是求二面角还是求平面与平面的夹角，它们的范围不同.
题型四 求解空间中距离的方法
【例4】（2024·天津卷T17）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【思维探究】
看到什么 想到什么
文字语言转化为图形语言，得到梯形的底和腰
，平面 联想棱柱的定义可知为直棱柱，有了垂直关系可以建立空间直角坐标系解决问题
．分别为的中点 将文字语言转化为图形语言和符号语言，写出各点的坐标
【解】（1）取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
【技巧】利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
（3）由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为.
【解后反思】1.求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法.
2.求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离.
【通关训练】
1.（2022·全国甲卷T18）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【解】（1）证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
2.（2023·新课标Ⅱ卷T20）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
【解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，
因为，，所以与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨设，，．
，，又，平面平面．
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因为，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．
3.（2022·新高考全国Ⅰ卷T19）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面的距离为；
（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
4.（2025·山东菏泽二模）如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，.
(1)求二面角的余弦值；
(2)线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）取的中点为.
平面平面平面，平面平面，平面.
以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，过且平行的直线为轴，
建立如图的空间直角坐标系，
，
，，，
设平面的法向量为
即
令，则.
又平面的法向量为，则，
设二面角的平面角为，由图形知为锐角，
，即二面角的余弦值为.
（2）设，，
.
又平面的法向量为平面，∴，
∴，，即.
∴，故在线段上存在点，使平面，且的值是.
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