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微专题1 截面与翻折问题
题型一 截面问题
2.多面体中找截面的几种方法
(1)直接法：有两点在多面体的同一个面上连接这两点即为多面体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程
(2)延长线法：若直线相交,但在多面体中未体现，可以通过作延长线的方法找到交点，然后借助交点找到交线，
(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到多面体与截面的交线
(4)空间向量法：建立空间直角坐标系，利用线面平行与垂直，通过计算，确定截面与多面体各棱的交点,连接各交点即得截面多边形
【例1】已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【解题指导】基本事实→由空间线面的位置关系→面面平行的性质定理→→→相似三角形的性质确定截面图形．
【解析】如图，设，分别延长交于点，此时，
连接交于，连接，
设平面与平面的交线为，则，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，设，则，
此时，故，连接，
所以五边形为所求截面图形，故选C．
【解疑答惑】判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置.
【例2】（2025·安徽合肥·三模）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题指导】过点在平面内作平行线→得到截面→比例确定边长知截面为等腰梯形→求面积.
【答案】C
【解析】点是的重心，，过作交于，并延长交于，
过作，过作，如图四边形为截面，
【技巧】找交线的方法：(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点；(2)面面交线法：各棱面与截平面的交线.
∵点是的重心，，∴，
∴，，，，
四边形为等腰梯形，故面积为，故选C.
题型二 翻折问题
（2025全国Ⅱ卷T17）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
(1)证明:平面；
(2)求面与面所成的二面角的正弦值．
【解题指导】
【解】（1）设，所以，
因为为中点，所以，
因为，，所以是平行四边形，
所以，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）因为，所以，
又因为，所以，
第一步：建立空间直角坐标系．
以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系.
因为，平面与平面所成二面角为60° ，
所以.
则，，，，，.
所以.
第二步：求出平面的法向量．
设平面的法向量为，则
，所以，
令，则，则.
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以.
第三步：计算向量的夹角
所以.
【易错提醒】两个平面的夹角的范围为，不同于两个平面法向量的夹角。所以两个平面的夹角的余弦值需要用法向量夹角余弦值的绝对值表示
所以平面与平面夹角的正弦值为.
【通关训练】
1．（2025·山东临沂·期中）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点.
(1)设平面与平面的交线为，求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【解】（1）由题意可知：平面∥平面，
且平面平面，平面平面，所以.
（2）由题意可知：，平面，
如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量，
则，
令，则，可得为平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，
令，则，可得为平面的一个法向量；
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
2.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
【解】（1）由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，则，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
（2）连接，由，则，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，
由是的中点，得，
所以，
设平面和平面的一个法向量分别为，
则，，
令，得，
所以，
所以，
设平面和平面所成角为，则，
即平面和平面所成角的正弦值为.
3．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥中，，．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若，，用平面α将三棱锥分为两部分，求截面面积的最大值．
【解】（1）证明：如图所示，取中点，连接，
因为，，可得且，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：作交于H，连接，，
由（1）平面，平面所以平面平面，
因为平面平面，且平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
又因为，所以，
因为，可得
又因为，所以 ，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：如图所示，设平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，
因为，且平面，所以，
同理可证，，，即，
由（1）知，所以，所以截面为矩形，
设，其中，则，
所以矩形的面积，
当且仅当，即时，等号成立，所以截面面积的最大值为.
4.（2025·山西临汾·三模）等腰梯形ABCD中，，，，点E为中点（如图1）．将沿折起到的位置，点O，F分别为的中点（如图2）．
(1)求证：平面平面；
(2)如果，平面平面，那么侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由．
【解】（1）因为且，故四边形是平行四边形，则，
又为等腰梯形且，可得是等边三角形．
故四边形BCEA为菱形，是等边三角形，
因为为中点，所以，同理可证．
又，且平面，所以平面，
又BE在平面BCDE内，所以平面平面.
（2）存在点P，使得平面，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又，建立以为原点，所在直线为，，轴的空间直角坐标系，如图所示：
因为，
则，
设，
则，
设平面的一个法向量，则，
即，令，则，
要使平面，则，即，解得，
故在侧棱上存在点，使得平面，
此时，，
设平面的一个法向量，则，
即，令，则，即，
设平面与平面夹角为，所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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