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微专题1 三角函数中有关ω的求解
题型一　三角函数图象的对称中心、对称轴间的距离与ω的值（范围）
首先利用三角函数图象的对称轴或对称中心，通过整体代换建立关于的表达式,然后根据ω的取值范围给正整数“”赋值，从而得到的范围(最值).
【例1】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】将函数的图像向右平移个单位长度，
【易错提醒】图像平移时，注意提取及符号
，
又因为的图像关于点对称，
所以=的图像关于点对称，
则，所以，又因为
【解疑答惑】根据三角函数图象的两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，可建立关于T，ω，φ的方程使问题获解.
所以的最小值为1，故选C.
题型二　三角函数的最值（值域）与ω的值（范围）
由三角函数的最值（值域）求ω的值（范围），主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围.
【例2】（2025·江苏南京二模）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以当时，则有，
【易错点拨】整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围
因为在区间内有最大值，但无最小值，
结合函数图象，得，解得，故选：A
【解后反思】三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的，最值问题可转化为不等式恒成立问题来解决.
【例3】（2025·安徽芜湖二模）已知函数，若在上的值域是，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题指导】用换元法转化为在上的值域为，画图观察列式可得结果.
【答案】B
【解析】由题意可得，令 则 ,如图所示，
∵的值域是，，∴，即：
∴由图可知，解得，
所以实数的取值范围为，故选：B.
题型三　三角函数的单调性与ω的值（范围）
根据“”的取值范围求出“”的范围，把“”看成一个整体，利用单调性确定“”所在的区间，根据若三角函数在区间上单调递增，则区间是该函数单调递增区间的子集，利用集合间的包含关系建立关于的不等式组，求得。
【例4】（2025·湖南恩施三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【解题指导】由“左加右减”求出函数的解析式→利用函数的单调性即可求出的最大值.
【答案】B
【解析】由题可知，，
时，．
因为在区间上单调递减，所以，
所以，的最大值为5，故选B
【例5】已知函数，在区间上，若为增函数，为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题指导】辅助角公式化简两函数→整体代换法求变量范围→结合三角函数的性质列不等式组求参数范围.
【答案】A
【解析】由题意得.
令，由，得.
因为在区间上，为增函数，为减函数，所以，
解得，所以，故选：A
【解惑答疑】由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的一个单调区间[m，n]（区间也可以是开区间或半开半闭区间）求解ω的取值范围，可将区间端点值代入后，去对应［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）或［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）列出不等式求解
题型四　三角函数的零点或极值点与ω的值（范围）
利用零点求参数ω的两个思路：①直接求出函数的零点，利用零点与所给区间的关系求解；②利用函数的周期与所给区间的关系求解.
【例6】（2022全国甲卷T11）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题指导】→的取值范围→结合正弦函数图象列不等式组求解．
【答案】C
【解析】依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
【点拨】若在区间上至多含有k个零点，则需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值
又，的图象如下所示：
则，解得，即．故选C．
【例7】（2023全国Ⅰ卷T15）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【思维探究】
看到什么 想到什么
联想到换元法，令，换元后转换成函数
函数在区间有且仅有3个零点 联想到函数的零点与对应方程的根及函数图象的公共点三者的关系有3个根,其中
【答案】B
【答案】
【解析】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
【解后反思】三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值.
法二　函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，
即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，
根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，
所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，
则函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即
又ω>0，所以2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3).
法三　由题意知cos ωx＝1，得ωx＝2kπ，k∈Z，即x＝.
因为f(x)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，所以解得2≤ω<3.
【通关训练】
1．（2025·陕西汉中·一模）已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的图象关于直线对称
所以，故，，又因为，令得，故选：A
2．（2025·四川内江二模）已知，函数，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，，
即为最大值或最小值，即为函数的一条对称轴，
所以，解得，
又，所以当时取得最小值.故选：B
3．（2025·四川泸州·一模）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意设，由，所以，
则在上单调递增，
所以，解得，又，
所以，即的取值范围是，故选：B.
4．（2025·北京卷T8）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【解析】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即，综上，的最小值为4，故选：C.
5．（2025·福建南平·三模）已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，时，，
因为在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，
故，解得.
故选：A
6．（2025·江西赣州·二模）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为相邻两个对称轴之间的距离为，
则，即，则，则，
由，得，
所以在上是增函数，由，得.
故选：B
7．（2025·湖北黄石·二模）已知随机变量，且，若函数，将向左平移个单位后，所得函数在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为随机变量，且，
所以，解得，
所以.
将向左平移个单位后，所得函数为.
时，，故.
因为函数在上单调递增，
所以，即，
所以.
因为，所以，解得，
所以，所以，故选B.
8．（多选）（2025·广东汕尾·三模）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．是奇函数
D．当时，的图象与轴有2个交点
【答案】ABD
【解析】由图像可得，故，故，故A正确；
故，而，故，
故，而，故，故B正确；
因为，故为偶函数，故C错误；
故，当时，，
因为在上的零点为，
故在上有两个不同的零点，故D正确，
故选：ABD.
9．（多选）（2025·甘肃白银·二模）已知在处取得极小值，与该极小值点相邻的一个对称中心为，则（ ）
A．
B．将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
C．在区间上单调递减
D．在区间上的值域为
【答案】BC
【解析】对于A，的极小值为，
的最小正周期，又，∴，
，
解得：，
，故A错误；
对于B，由的图象向左平移个单位长度得到，故B正确；
对于C，由得，则在区间上单调递减，故C正确；对于D，，
在区间上的值域为，故D错误.
故选：BC
10．（2025·山东泰山一模）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则 ．
【答案】
【解析】函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，要使该函数为奇函数，则，，
即，，又，则．
11．（2025·河南郑州一模）已知函数（）的图象与的图象的两相邻公共点间的距离为，将的图象向左平移（）个单位长度得到的图象，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由函数的图象与的图象的两相邻公共点间的距离为，
可得，所以，解得，所以，
又由，其向左平移（）个单位长度得：
，则，
解得，当时，取最小值.
12．（2025·吉林长春·模拟）已知函数，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，点是函数与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】易知，
令，即，
根据周期性不妨k取，此时，
则 ，
易知是以B为顶点的等腰三角形，
若要满足为钝角三角形，则，解之得.
13．（2025·云南昆明·模拟）小明同学用“五点法”作函数在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据如下表：
0
0 0 2
(1)求的解析式，并说明函数的图象由的图象经过怎样的变换得到？
(2)解不等式.
【解】（1）由表格知，解得，
所以.
先把函数的图象向左平移个单位，得到的图象；
然后使曲线上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
得到函数的图象.
（2）由（1）可得，
解得，
所以，
解得，
所以不等式的解集为.
14．（2025·福建漳州·模拟）设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为.
(1)求的单调递增区间；
(2)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和.
【解】（1）因为，
因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，又，所以，
所以，
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为；
（2）因为，令，得，
所以或，，
即或，，
所以所有的正零点为或，，
所以是以为首项，π为公差的等差数列，
所以是以为首项，π为公差的等差数列，
所以
.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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