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微专题1 数列的奇偶项问题
题型一 数列中相邻两项和或积的问题
递推公式为an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)的形式，求通项公式或数列求和的方法
（1）求通项公式：由an＋1＋an＝f(n)与上式作差可得隔项递推公式an＋2－an＝f(n+1)－f(n)；对于后一种可由an＋2·an+1＝f(n+1)与上式作商可得隔项递推公式，然后求解.
（2）求前n项和Sn：求出通项公式,则Sn=S奇+S偶；或者利用an＋1＋an＝f(n)，可直接并项求和.
【例1】（2025·广东清远·二模）已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，且不等式对任意的都成立，求的取值范围．
【解题指导】（1）求→由求通项
（2）确定数列为等差数列→分奇偶求数列的通项公式→分奇偶分别转化恒成立求解的取值范围.
【解】（1）由题意得，
①当时，；
②当时，．
当时，，
【易错提醒】注意验证的情况
．
（2）由（1）知，①
当时，；
当时，，②
①-②得，
【技巧】构造隔项等差数列：an＋1＋an＝pn＋q(p，q≠0) an＋2＋an＋1＝p(n＋1)＋q 两式相减得 an＋2－an＝p
数列是以为首项，公差为的等差数列，
数列是以为首项，公差为的等差数列．
当为偶数时，；
当为奇数时，，
，．
又对任意的都有成立，
（ⅰ）当为奇数时恒成立，
即对为奇数时恒成立．
【技巧】转化为函数恒成立问题，分离参数、构造函数求最值
当时，，
，即；
（ⅱ）当为偶数时恒成立，
即对为偶数时恒成立．
当时，，．
【易错题型】利用二次函数求最值，注意此时为偶数，且
综上所述，的取值范围是．
考点二 型
【例2】（2023·新课标Ⅱ卷T18）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【思维探究】
看到什么 想到什么
为等差数列 联想等差数列的通项公式
求出数列的通项公式,表示出
，． 用表示及，联立方程组求解
的通项公式 把代入的通项公式
当时， 利用奇偶分组讨论的方法将，表示出来，对于数列的比较大小可以用作差法
【解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
【技法】作差法比较两个实数大小
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
【解后反思】当为偶数时:，其中奇数项，偶数项各为项；可直接利用分组求和；
考点三 含有(-1)n类型
对分奇、偶进行讨论,转化为相邻两项和或差求解，当项数不确定时，要分奇数和偶数讨论求解.
【例3】（2025·河南郑州·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【解题指导】（1）等差中项列式→完全平方公式计算化简→由定义得出等差数列；
（2）等差数列的通项公式→求出→借助正负分组→公式求和得出
【解】（1）因为是与的等差中项，所以，
所以，
因为数列的各项均为正数，所以，
所以，所以，
所以数列是公差为1，首项为的等差数列；
（2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以，
所以，当时，，
当时，，
所以,
所以，
【技巧】求和时通过(－1)n实现正负交替，要注意符号的变换
【易错提醒】
【解后反思】通项中含有(－1)n的情形
(1)等差数列的通项公式乘以(－1)n，用并项求和法求数列前n项的和，
如an＝(－1)n(2n－1)，前20项的和
a1＋a2＋…＋a20＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－37＋39).
(2)等比数列的通项公式中含有(－1)n，其前n项和可写成分段的形式，可求最值，
如等比数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·，则其前n项和，求Tn＝Sn－的取值范围时，n分奇偶讨论，求Tn的最值.
【通关训练】
1．（2025·福建福州·期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，．
(1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列的通项公式．
【解】（1）因为，所以，
所以，
又，所以，
因为，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以.
（2）由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列；
是以为首项，公比为的等比数列，
所以.
2.（2021·全国·新高考1卷T17）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【解】（1）显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
（法二）由题意知数列满足．
所以，
，
则
．
所以，数列的通项公式．
（2）
．
3.（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【解】（1）设等差数列的公差为，则，，
由，，成等比数列，得，而，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以.
4.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【解】（1）由已知，，
，，，
又, ，
数列中任意一项不为0, ，
数列是首项为2, 公比为2的等比数列，.
（2）由第（1）问知， ，
则，设数列的前项和为,
所以①，
②，
所以①-②可得：
，
所以.
由，得，
化简得.
当 为奇数时，有，即，
而，所以；
当为偶数时，有，
而，所以.
综上，的取值范围为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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