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微专题2 爪形三角形问题
题型一 角平分线问题
角平分线问题的处理策略：在△ABC中，AD平分∠BAC
(1)角平分线定理：＝.
(2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理.
【例1】（2023全国甲卷T16）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【解析】如图所示：记，
由余弦定理可得，，
因为，解得：，
【技巧】若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.切要注意验根
【常规解法】由正弦定理可得，，
解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
【角平分线法】 由角平分线可得
即：，
解得：．
题型二 中线问题
中线定理：在中，AD是BC边上的中线，则有
【例3】（2025·湖南浏阳三模）锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
(1)求角C的大小；
(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【解题指导】（1）同角三角函数基本关系→正弦定理求解→求解
（2）余弦定理与正弦定理→→三角函数性质求解其取值范围
【解析】(1)因为，所以，
【技巧】化边为角，通过三角变换找出角之间的关系
即，
又因，所以
又由题意可知，
所以，因为，所以.
(2)由余弦定理可得，
由正弦定理可得，所以，
，
【常规解法】又，
则
，
【中线定理】
所以
，由题意得，解得，
则，
所以所以
所以所以中线CD长的取值范围为
【解惑答疑】将问题用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值.或范围
题型三 高线问题
高线问题的处理策略
(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin∠BAC.
(2)AD＝AB·sin∠ABD＝AC·sin∠ACD.
(3)a＝c·cos B＋b·cos C.
【例3】 (2023·新高考Ⅰ卷T17)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高.
【思维探究】
看到什么 想到什么
A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B 角的关系及两角和差正弦公式
sin A 同角三角函数基本关系
AB＝5，AB边上的高 正、余弦定理求，等面积法求解
【解】　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
【巧转化】利用，求出C
因为2sin(A－C)＝sin B，
所以
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sin A>0，
所以sin A＝.
(2)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝×＝3.
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2.
由(1)得，tan A＝3>，所以又A＋B＝，所以B>，即C所以AB设AB边上的高为h，则·AB·h＝·AC·BCsin C，
【技巧】巧用等面积构建方程求解h
即5h＝2×3×，解得h＝6，
所以AB边上的高为6.
【另解】　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，
所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin(A－C)＝sin B，
所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＝3cos Asin C，
易得cos Acos C≠0，
所以tan A＝3tan C＝3tan＝3，
又sin A>0，tan A＝，sin2A＋cos2A＝1，
所以sin A＝.
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3>0，所以A为锐角，
所以cos A＝，
所以
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC·sin A＝2×＝6.
【通关训练】
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知的内角的对边分别为的面积为．
(1)求A；
(2)若，且的周长为5，设为边中点，求．
【解】（1）依题意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因为，所以；
（2）依题意，，
因为，解得，
因为，
所以，
所以．
（2025·浙江嘉兴·三模）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求；
(2)若边上的高为，且的周长为6，求.
【解】（1），由正弦定理得
，
又，
∴，
即，
∵，∴，
，，
又，所以，
∴，；
（2），，
由（1）知，，
由余弦定理得，即，
即，
又，
，
.
3．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且．
(1)求；
(2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长．
【解】（1）由已知，
又由正弦定理可得，
又，所以，
则，又，即，
又，，即，
则，所以，；
（2）由已知，所以，
因为为角的角分线，
故，
所以，
即，
解得.
4．（2025·湖北荆州·模拟）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)设，
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，角的平分线与AB交于点，求CD的长.
【解】（1）证明：因为，
所以，整理得，
由正弦定理可得；
（2）（ⅰ）因为，，所以，
由于，所以，即，则，即，
由余弦定理得；
（ⅱ）若，又，则，
又，因为，所以，
由于，则，
所以.
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