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微专题2 子数列问题
题型一 数列中的公共项问题
数列公共项问题是指在给定数列中,找出满足特定条件的公共项或多项,解决数列公共项问题的关键是观察数列的规律,在找到数列规律后,可以利用相应的数学公式进行计算.
【例1】（2025·重庆万州二模）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列.
（1）求与的通项公式；
（2）把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和.
【思维探究】
看到什么 想到什么
利用an与Sn的关系求通项公式
公比为2，且，，为等差数列. 等差中项列方程，求，结合已知公比，求通项公式
和的公共项 确定新数列为公比数列及新首项和公比
前项和 等比数列前n项和公式求和
【详解】（1）由得，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，所以.
依题意，，，
解得，所以.
（2）数列和的公共项从小到大依次为，，，，…，
所以，，，，…,构成首项为2，公比为4的等比数列，
【解惑答疑】两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．
所以，
则.
题型二 数列中的去项、插项问题
数列中的去项、插项问题解决插项、去项问题的关键是要弄清楚插人或去掉的项数,同时还要分析这些项的特征以及这些项与原数列各项之间的关系,然后利用分组或并项法求和.
【例2】（2025·江苏南京二模）已知等差数列的前和为，数列是公比为2的等比数列，且，．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列
①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；
②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列;
在以上两个条件中任选一个做为已知条件，求数列的前30项和.
【解题指导】（1）由题意可直接得到等比数列的通项公式；求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；
（2）若选①，则可确定由数列前33项的和减去，即可得答案；若选②，则可确定由数列前27项的和加上，即可得答案.
【解】（1）因为数列为等比数列，且，
所以.
又因为，所以，
又，则，
故等差数列的通项公式为.
（2）因为，，
所以，
而
若选①
因为在数列前30项内，不在数列前30项内.，
则数列前30项和为：=1632.
【易错提醒】解答去项问题的易错之处是不能准确确定数列中去掉的项数，或求和时不会采取原数列和减去去掉各项和的方法.
若选②
因为在数列前30项内，不在数列前30项内.，
则数列前30项和为：=1203.
【解后反思】为确定两个数列中各有多少项作为新数列的项，求解时可利用解不等式法或试探法.
【通关训练】
1．（2025·湖南常德·模拟）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和.
【解】（1）为数列的前项和，，
时，，则，
时，由，得，
两式相减可得，即，
数列是首项为，公比为的等比数列，则；
（2）由题设，可得，
记的前项和为，因为，为正整数，
则.
2．（2025·山东泰安·模拟）已知在数列中，，，设.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.
(2)
【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证，进而求出通项公式.
（2）由（1）确定数列前50项中数列的项数，再利用分组求和法求解.
【解】（1）由，，得，则，
即，又，于是，而，
所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，.
（2）由（1）知，数列，都是递增数列，
，即，
因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项，
所以.
3．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，．
(1)求的通项公式；
(2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和．
【解】（1）由直线过原点且方向向量为可知的方程为
因此对任意正整数，即
因为，所以，
所以，是首项为2，公比为3的等比数列，
所以
（2）因为数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
所以
因为，所以，即
因为,所以,则的值为
所以，可得
4．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
【解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：
，
又，，解得，
所以，；
（2）由（1）得，
去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243，
，
综上，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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