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十八 直线与圆
题型一 圆的方程
【例1】（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【解题指导】设点M的坐标→利用和在上列方程→求圆心及半径→圆的方程.
【解析】∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
（法二：圆的几何性质）由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
题型二 直线与圆
1.直线被圆截得的弦长的两种求法
2.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
【例2】过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程是(　　)
A．y＝1　　　　　　　　　　 B．x＝3
C．x＝3或y＝1 D．不确定
【答案】C
【解析】当所求直线斜率存在时，设其为k，则直线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.由于直线与圆相切，所以d＝＝1，
解得k＝0，所以切线方程为y＝1，
当所求直线斜率不存在时，x＝3也符合条件．
【易错提醒】解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽视了斜率不存在的情况
综上所述，所求切线方程为x＝3或y＝1，故选C
【例3】(2024·全国甲卷T12)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0，与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．2
【思维探究】
看到什么 想到什么
b是a，c的等差中项 联想到等差中项的知识，找到参数间的等量关系
直线ax＋by＋c＝0 联想到直线恒过定点的相关知识
与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，求|AB|的最小值 联想到直线与圆相交的相关知识，如:弦长公式、垂径定理
【答案】C
【解析】因为成等差数列，所以，，
代入直线方程得，
即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，当时，最小，，
此时，故选C
【例4】(2023·新课标Ⅰ卷T6)．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解题指导】确定圆心和半径→切线的性质求切线长→倍角公式求解
【解析】因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得，故选B.

题型三 与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
【例5】（2023·全国乙卷T11）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【解题指导】法一：令→求解；法二：一般方程整理为标准方程→三角换元→利用三角函数的有界性求最值；法三：一般方程整理为标准方程→设→圆心到直线的距离小于等于半径列不等式求解.
【答案】C
【解析】令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，
即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得，故选C.
【例6】阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点、，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解题指导】建立直角坐标系→求圆的方程→结合图象确定P点位置→面积公式求解
【答案】A
【解析】以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，由，，设，则，
整理得，即轨迹为以为圆心，半径为的圆，
【技巧】A，B是两个定点，动点P满足是定值确定隐圆
当点P到轴距离最大时，的面积最大，
所以面积的最大值是，故选A.

【例7】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【思维探究】
看到什么 想到什么
点到直线的距离 联想到圆上任一点到直线距离最值转化为圆心到直线距离加减半径
最小或最大时，求 ①分析角的特点，角的顶点及一边固定，取最值时则为角的另一边与圆相切；②联想到切线长公式
【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A正确，B错误；
【技巧】“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
【解疑答惑】最小时，即重合时
，，
由勾股定理可得，CD正确，故选：ACD.
【通关训练】
1.（2025·重庆·三模）过原点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原点在圆上，由结论1可得切线方程为
，即，故选A
2.(2024·新课标全国Ⅱ卷T5)已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【解析】设点，则，因为为的中点，所以，即，
又在圆上，所以，即，
即点的轨迹方程为，故选A
3.（2021·北京卷T9）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，则弦长为，
则当时，取得最小值为，解得，故选C.
4．（2025·山东菏泽·一模）已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为直线与圆相切，设圆的半径为r，
则，所以圆的标准方程为，故选A.
5．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
点关于轴的对称点为，
由对称性可知，点、、圆心三点共线，则，即，解得.
故选：A.
6.（2025·新课标1卷T7）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，
故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，故选B.
7.（2025·安徽合肥·二模）已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
如图，设以为直径的圆的圆心为，，
显然两圆内切，所以，
又为的中位线，所以，
所以，
所以的轨迹为以，为焦点的椭圆，
，，
显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大，最大值为，
故选：B.
8.（多选）（2021·新高考全国Ⅱ卷T11）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确，故选：ABD.
9．（多选）（2025·辽宁朝阳二模）已知函数，则（ ）
A．只有1个零点
B．直线与曲线有唯一公共点
C．恰有2个零点
D．曲线与圆相切
【答案】ABD
【解析】令，得，则的图象为半圆，如图所示，
令，解得，由图可知，只有1个零点，A正确，C错误；
联立与，消去并整理得，
解得（舍去），
由图可知直线与圆的上半部分只有一个交点，B正确；
半圆与圆的圆心、半径分别为，
所以圆心距，即圆心距等于半径之和，
由图可知曲线与圆外切，D正确，故选ABD.
10．（2023·新课标Ⅱ卷T15）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
11.（2025·天津卷T12），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
【答案】2
【解析】因为直线与轴交于，与轴交于，
所以，所以，
圆的半径为，圆心到直线的距离为，
故，解得；
12.（2025·广东汕头·模拟预测）如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】依题意，表示点与定点确定直线的斜率，
令，得直线：，
观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小，
此时，因此，解得，所以的最小值为.
13.（2025·天津和平·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求：
(1)求圆心为的圆的标准方程；
(2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值；
(3)若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程．
【解】（1）设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上，
所以 解得：
所以圆的标准方程为.
（2）因为圆到直线的距离为
，
所以直线与圆相离，
所以的最小值为.
（3）当斜率存在时，由条件可知，圆心到直线的距离为
根据点到直线的距离公式得：，解得.
当斜率不存在时，直线方程为，符合截圆所得的弦长为8
所以直线方程为或.
14.（2025·重庆渝北一模）已知圆.
(1)若直线，证明:无论为何值，直线都与圆相交；
(2)若过点的直线与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.
【解】（1）转化的方程
可得：，
由，解得，
所以直线恒过点，
由，
故点在圆内，即直线恒过圆内一点，
所以无论为何值，直线都与圆相交；
（2）由的圆心为，半径，
易知此时直线斜率存在且不为，
故设直线方程，
一般方程为，
圆心到直线的距离，
所以
所以，
令，
可得，当时，
所以的面积的最大值为，
此时由，解得，
解得或，符合题意，
此时直线方程为或.
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