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十九 圆锥曲线的定义及性质
题型一 圆锥曲线的定义及标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|=|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴；
“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
【例1】（2020·全国III卷T11）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解题指导】双曲线的定义→三角形面积公式→勾股定理→离心率列方程求a.
【解析】根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，
，，即，解得，故选A.
法二:　由题意得，，得b2＝4，
【技巧】椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，则＝｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝b2tan ＝c｜y0｜
又且c2＝a2＋b2，所以a＝1.
【例2】（2022·全国甲卷T11）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【思维探究】
看到什么 想到什么
椭圆的离心率为 联想椭圆离心率的定义,将文字语言转化为符号语言，提取数量关系
分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点 将文字语言转化为图形语言，作出椭圆图形并标出各个顶点的坐标
考虑数量积的坐标运算公式，实现几何条件代数化
【答案】B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为，故选B.
题型二 椭圆、双曲线的几何性质及应用
1.椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
（1）在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；
（2）在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标
（1）双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为F1（－c，0），F2（c，0）；
（2）双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为F1（0，－c），F2（0，c）.
【例3】（2023·新课标Ⅰ卷T5）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【思维探究】
看到什么 想到什么
过作平行于轴的直线交C于A，B两点 将文字语言转化为符号语言,联想离心率的定义表示
建立参数的方程，实现几何条件代数化
双曲线C的离心率 解关于参数a的方程
【答案】A
【解析】由，得，因此，而，所以，故选A
【技巧】b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（不等式）求解
【例4】（2024·新课标Ⅰ卷T12）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【思维探究】
看到什么 想到什么
过作平行于轴的直线交C于A，B两点 将文字语言和符号语言翻译为图形语言，作出图形；将平行条件代数化
由长度表示为定义的形式从而得到关系式
双曲线C的离心率 根据所给a，b，c的值直接代入离心率公式
【答案】
【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
【技巧】二级结论：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
【例5】（2025·天津河西·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题指导】垂直关系向量表示→→为等边三角形→双曲线定义以及余弦定理→，→求出渐近线方程.
【详解】由，得，即，
又，得为的中点，则，
又，于是为等边三角形，设的边长为，
由双曲线定义知，，，则，，
又，则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，得，，，
所以双曲线的渐近线方程为.
【易错提醒】先双曲线焦点的位置，再求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程，两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称.
故选A
题型三 抛物线的几何性质及应用
1.抛物线的焦点坐标与准线方程
（1）抛物线y2＝±2px（p＞0）的焦点坐标为（±，0），准线方程为x＝ ；
（2）抛物线x2＝±2py（p＞0）的焦点坐标为（0，±），准线方程为y＝ .
2.抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是直线AB的倾斜角，则
(1)x1x2=，y1y2=-p2.
(2)|AB|=x1+x2+p=.
(3)+=.
(4)以线段AB为直径的圆与准线x=-相切.
【例6】（2025新高考2卷T6）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题指导】由直线BF求出焦点和→抛物线的方程→抛物线的准线方程和点B→求出和→由焦半径公式求解.
【答案】C
【解析】对，令，则，
所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，
故，则，代入抛物线得.
所以.故选：C
【例7】（多选）（2023·新课标Ⅱ卷T10）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
【思维探究】
看到什么 想到什么
直线过抛物线的焦点 将文字语言和符号语言转化为图形语言，整合已知信息得焦点坐标，明晰抛物线方程
直线与C交于M，N，求 为抛物线焦点弦，联想焦点弦的几何性质与结论
l为C的准线，以MN为直径的圆与l相切 结合抛物线的定义联想到与准线相关的几何性质，联想 直线与圆位置关系判断方法
为等腰三角形 联想到抛物线的对称性以及等腰三角形的等价条件
【答案】AC
【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
【技巧】焦点弦长：｜AB｜＝x1＋x2＋p＝
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
【技巧】以焦点弦AB为直径的圆与准线相切，以AF或BF为直径的圆与y轴相切
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误，故选AC.

【解后反思】应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数形结合思想解题的直观性.
【通关训练】
1.（2021·新高考全国Ⅱ卷T3）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，
解得：(舍去).故选B.
2.（2025·新高考1卷T3）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，，
于是，则，即.故选：D
3．（2022·全国乙卷T6）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选B
4.（2023·全国甲卷T5）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为，所以，
从而，所以．故选B.
方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以，故选B.
5.（2022·全国甲卷T10）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则
则由得：，
由，得，所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
6.（2025·天津卷T9）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于另一象限点为P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，∴，即离心率为2.故选A
7．（多选）（2025·湖南娄底·期末）已知双曲线（）的右焦点为，直线是的一条渐近线，是上一点，则（ ）
A．的虚轴长为 B．的离心率为
C．的最小值为 D．直线的斜率不等于
【答案】ABD
【解析】因双曲线的渐近线为，由题有，得到，
对于A，因为虚轴长为，正确，
对于B，因为的离心率为，正确，
对于C，因为直线，，所以到直线的距离为，
所以的最小值为，错误，
对于D，因为过点且斜率为的直线方程为，
即与直线平行，又是上一点，
所以直线的斜率不等于，正确，故选：ABD.
8.〔多选〕（2025·辽宁沈阳·三模）设椭圆的左 右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为8
B．椭圆的离心率
C．面积的最大值等于12
D．以线段为直径的圆与圆相切
【答案】ACD
【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，
对于A，的最大值为，A正确；
对于B，椭圆的离心率，B错误；
对于C，设点，则，而，
因此面积的最大值等于，C正确；
对于D，以线段为直径的圆为的圆心，半径，
圆的圆心，半径，，则圆与圆外切，D正确.
故选：ACD
9.（多选）（2022·新高考全国Ⅰ卷T11）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
10.（2024·天津卷T12）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即，
故原点到直线的距离为，
11.（2021·全国甲卷T15）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
12.在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围
【答案】
【解析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，
，
若的最小值不在处取得，则圆不过原点，
所以，即，此时圆半径为．
因此当时，圆无法触及抛物线的顶点．
13．（2025·广东揭阳·模拟）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
(1)求和的标准方程；
(2)若和交于不同的两点，求的值.
【解】（1）设抛物线的标准方程为，则，
结合表格数据，因为，
所以点在抛物线上，且，解得，
所以抛物线的标准方程为.
将点代入椭圆的标准方程中，
得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）根据对称性，可设两点坐标分别为，
联立方程组，消得，
解得，，
因为，
所以.
所以.
14.（2025·江西抚州一模）已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线C于点M，且
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为求的值.
【解】(1) 在直角三角形中,因为所以有
,由双曲线的定义可知：,,所以双曲线C的方程是.
(2)设是双曲线C上任意一点,故有
两条渐近线方程为：,设的倾斜角为，故,设两条渐近线在第一、四象限夹角为,所以
,于是有.
因为P到双曲线两条渐近线的距离为：
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