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二十 直线与圆锥曲线的位置关系
题型一 切线问题
1.过＋＝1（a＞b＞0）椭圆上点P（x0，y0）处的切线方程是＋＝1；
2.过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上一点P（x0，y0）处的切线方程是－＝1
3.过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（x0，y0）处的切线方程是y0y＝p（x＋x0）
【例1】（2025·湖北孝感一模）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆：，其焦距为，且过点.点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题指导】求椭圆的方程为→切线方程→的面积为→基本不等式→面积的最小值为.
【解析】根据题意得，根据待定系数法得，解得，
所以椭圆的方程为，
设点，由题知过点与椭圆相切的切线的方程为：，
【技巧】过椭圆=1上一点的切线方程为；
所以，，
所以的面积为，
因为，当且仅当时等号成立；
所以，所以面积的最小值为，故选B.
题型二 中点弦问题
用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤
【例2】（2023·全国乙卷T11）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【思维探究】
看到什么 想到什么
双曲线 将符号语言翻译成图形语言，作出图形
线段AB中点 由中点弦联想点差法，通过点差法得到斜率之间的关系，将几何条件转化为代数运算
【答案】D
【解析】设，则的中点，
可得，
【技巧】借用中点公式可求得斜率
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
法二　选项中的点均位于双曲线两支之间，故A，B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称，设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则|kAB|＝9||＜3，即|y0|＞3|x0|，结合选项可知选D.
题型三 弦长问题
圆锥曲线中的弦长问题
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则
或
【例3】（2024·全国一卷T16）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
【思维探究】
看到什么 想到什么
和为椭圆上两点 待定系数法求方程，求椭圆离心率
过P的直线交C于另一点B 作出椭圆和直线;将直线与椭圆方程联立、消元
的面积为9 借助面积公式表示出，进而应用距离公式,实现几何条件代数化
直线的方程 求值离不开解方程，寻找参数k的方程
【解】（1）由题意得，解得，
所以.
（2）当的斜率不存在时，到距离，
【易错提醒】忽视直线斜率不存在情况的讨论导致失分
此时不满足条件.
当直线斜率存在时，设，
设与轴的交点为，令，则，
联立，则有，
，
其中，且，
则，
则，
解得或，经代入判别式验证均满足题意.
则直线为或，即或.
【例4】（2025·新课标Ⅱ卷T16）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求．
【解题指导】（1）长轴长和离心率→求→椭圆方程；
（2）设直线方程联立椭圆方程→韦达定理→用参数表示面积→求的值→求弦长.
【解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，
故，故椭圆方程为：.
由题设直线的斜率不为0，故设直线，，
【技巧】直线过定点，可巧设为，避免斜率是否存在的讨论
由可得，
故即，
且，
故，
解得，
故.
【解后反思】当直线的斜率存在时，联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式求解．
【通关训练】
1.双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，
由，又有，所以．
由，为等腰三角形，则底边上的高，
，故选B
2.（2025·广东湛江·二模）已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，则，得，
因为线段中点的横坐标为，所以线段中点的纵坐标为，则，
从而可得，故选：D.
3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
【答案】C
【解析】由题意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，
所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，
解得m＝－或m＝－3(此时直线与椭圆C不相交，舍去)，故选C.
4.过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，由于双曲线在点处的切线方程为，
故切线的斜率；因为，则，则，
即双曲线的离心率。
5.（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，∴，即，
，∴，
联立方程组得，整理得，
设，，∴，，
.
故选：A.
6．（2025·河南洛阳二模）经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，抛物线的准线方程为，
因为过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与抛物线的准线相交，
所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，
与联立得，
设，显然，则，，
故，
设直线倾斜角为，则，
所以，
故，解得，
故，
又，故，解得，
故.故选D
7.（多选）已知抛物线的焦点为，，为上的两点，过，作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，，直线的斜率为，则（ ）
A．的准线方程为
B．，，成等差数列
C．若在的准线上，则
D．若在的准线上，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】对A，抛物线：，抛物线的准线方程为，A选项错误；
对B，设，，
∵，∴，，，
∴，B选项正确；
对C，由上可知直线：，：，
解得，，，，C选项正确；
对D，，
当且仅当时取等号，D选项正确.故选：BCD.
8.（多选）已知椭圆，斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与垂直
B．若点的坐标为，则直线的方程为
C．若直线的方程为，则点的坐标为
D．若直线过椭圆的焦点，则
【答案】BD
【解析】对于A，设，则， ，
因此，即，直线与不垂直，A错误；
对于，由点，得，则，则直线的方程为，即，B正确；
对于C，由直线的方程为，得，点的坐标不可能为，C错误；
对于D，过椭圆焦点的弦中，最短弦长为通径长，最长弦长为长轴长，
而椭圆最短弦长为1，最长弦长为4，又直线的斜率存在且不过原点，则，D正确.
故选：BD
9.（多选）（2025·山东滨州·二模）已知点A，B，C都在双曲线上，点在第一象限，点在第四象限，A，B关于原点对称，，过作垂直于轴的直线分别交，于点D，E．若，则下列结论正确的是（ ）
A．点的纵坐标为 B．
C． D．双曲线的离心率为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为A，B关于原点对称，，，
设，，
因为，所以，，
解得：，，，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，所以，故B正确；
对于C，因为三点共线，，，，
所以，则，故C错误；
对于D，因为，在双曲线上，所以，，
，
因为，即，其中，
所以，所以，
则，故D正确.
故选：ABD.
10.过点作抛物线的切线，切线在轴上的截距为___．
【答案】1
【解析】设切线斜率为，则切线方程，
联立方程可得，
则，解得，
即切线方程为，取，得．
∴切线在轴上的截距为1．
【结论速解】点在抛物线上，切线方程:，，，，代入得：，取，得．
11．（2024·北京卷T13）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】联立，化简并整理得：，
由题意得或，
解得或无解，即，经检验，符合题意.
12．（2025·黑龙江·二模）双曲线C：的右焦点为F，双曲线C上有两点A，B关于直线l：对称，则
【答案】
【解析】，设的中点为，连接
因为为线段的垂直平分线，故可设，，
由可得（*），
故，故，
故的中点为，
因的中点在直线上，故，
故，此时，且，
故
13．（2025·四川成都·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于A，两点，求的值．
【解】（1）解：设所求双曲线方程为，
代入点得：，即，
双曲线方程为，即；
（2）解：由（1）知：，，
即直线的方程为，
设，，
联立，得，
满足，且，，
由弦长公式得.
14．（2025·河南·三模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线的过定点，若椭圆上存在两点，关于直线对称，求直线斜率的取值范围．
【解】（1）解：因为椭圆的离心率为，长轴长为，
解得，则，
所以椭圆的标准方程是；
（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为：，，
AB中点的坐标为，
则，两式相减得，
即，又，
解得，
因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以，即，
解得，
所以直线斜率的取值范围
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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