资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
二十二 计数原理
题型一 排列、组合问题
求解排列、组合问题的常用方法
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意拥绑元素的内部排列
插空法 对于不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中
定序问题 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列
分组分配 相同元素的分配问题用挡板法,不同元素的分配,先分组后分配,若为平均分组或部分平均分组,需在分组时除以相同组数的全排列
【例1】（2025·山东潍坊·二模）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．8种
【解题指导】分3步进行→①甲地选一名老师→②甲地选两个学生→③剩下的1名教师，2名学生安排到乙地→分步计数原理求解．
【答案】A
【解析】根据题意，分3步进行分析：①甲地选一名老师，有种选法；
②甲地选两个学生，有种选法；③剩下的1名教师，2名学生安排到乙地，有1种选法；
故不同的安排方案共有种；故选．
【法二】将4名学生均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法.
故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).故选A。
【另三】属于平均分组且排序型，共有=12种，选A
【例2】（2023 新高考Ⅰ卷T13）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【解题指导】从8门课中选修2门的方案→从8门课中选修3门的方案→③组合数及加法原理求解
【答案】64．
【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
【间接法】若学生从这8门课中选修2门课，
则有C－C－C＝16(种)选课方案；
若学生从这8门课中选修3门课，
则有C－C－C＝48(种)选课方案.
综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种).
题型二 二项展开式中的特定项和特定项的系数
1.求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
3.对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
【例3】（2025·天津卷T11）在的展开式中，项的系数为 ．
【答案】
【解析】展开式的通项公式为，
当时，，即展开式中的系数为.
【例4】（2022 新高考Ⅰ卷T13）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【解题指导】可化为→展开式的通项公式求解
【答案】-28
【解析】因为，
所以的展开式中含的项为，
【易错提醒】注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
的展开式中的系数为-28
【例5】（2025·安徽淮南一模）的展开式中整理后的常数项为_________.
【解题指导】由完全平方和公式分解因式→由通项公式求解
【答案】
【解析】,故常数项为。
【组合知识法】，。
其中的展开式通项公式为。
要为常数项，应有，故，相应的
。当时，；当时，
；当时，。
故常数项为。
【逐项展开法】展开式的常数项可分为三类，第一类：5个多项式都取，；
第二类：3个多项式都取，1个取，1个取，；
第三类：1个多项式都取，2个取，2个取，.
故常数项为。
题型三 二项式系数和与各项系数和
1.二项式系数和可直接利用性质求解.
2.展开式各项的系数和可利用赋值法求解.一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
3.求特殊结构的和时需要灵活变形(包括逆用公式)或赋值.
【例6】（2023·湖南衡阳·三模）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）
A．
B．各项二项式系数和为128
C．二项式系数最大项有2项
D．第4项与第5项系数相等且最大
【答案】BC
【解析】对于A：的二项展开式共有8项，可得，所以A错误；
对于B：二项式系数的和为，所以B正确；
【技巧】巧用结论二项展开式二项式系数和
对于C：中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C正确；
【易错提醒】二项式系数都是组合数C(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念
对于D：由展开式的第4项为，第5项为，
所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D错误.
故选：BC.
【例7】（2024全国甲卷T13）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【思维探究】
看到什么 想到什么
联想多项式乘法的基本原理及二项展开式的通项
各项系数中的最大值 根据项的特征,结合二项展开式的通项确定系数，并结合组合数计算系数的最大值
【答案】5
【解析】由题展开式通项公式为，且，
设展开式中第项系数最大，则，，
即，又，故，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.
【通关训练】
1.（2023·全国甲卷T9）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【解析】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种，故选B.
2.（2024·北京卷T4）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的二项展开式为，
令，解得，故所求即为，故选A.
3.（2025·江苏南通二模）已知的展开式中的系数为0，则a的值为（ ）
A． B．160
C． D．960
【答案】B
【解析】的展开式中的项为
的展开式中的项为
因此的展开式中的系数为，故，故选B
4.（2021·全国乙卷T6）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选C
5．（2023·全国乙卷T7）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【解析】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，故选C.
6．（2025·山东威海二模）若为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第60百分位数，在的展开式中，的系数为（ ）
A．30 B．60 C．40 D．
【答案】B
【分析】由题意，根据百分位数的定义可得，再写出二项式的通项，可得结果．
【详解】因为为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第60百分位数，
且，所以，
所以的展开式的通项为，
令，所以展开中的系数为.故选B.
7．（2025·重庆九龙坡三模）“ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（ ）
A．66 B．75 C．78 D．90
【答案】B
【解析】若千位数字是5，则百位数字只能是7或8，故共有（个）；
若千位数字是7，则共有（个）；
若千位数字是8，则共有（个）．
故符合条件的四位数共有（个）．故选B.
8．（2025·湖南娄底·二模）长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ）
A．90 B．120 C．150 D．180
【答案】A
【解析】将6种美食平均分成3组，有种不同的分法，
该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法，
所以这三天他选择美食的不同选法种数为种，故选A
9．（多选）（2025·福建泉州·二模）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生人，女生人，则下列说法正确的是（ ）
A．从中选人，人做正组长，人做副组长，共有种不同的选法
B．从中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人，共有种不同的选法
C．将这名学生排成一排，位女生排在一起的方法共有种
D．名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中，则共有种排法
【答案】AC
【解析】对于A选项，从个人中选人，人做正组长，人做副组长选法共有种，故A正确；
对于B选项，从个人中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人选法共有种，故B错误；
对于C选项，将个女生捆绑在一起，形成一个大“元素”，与个男生一起排序，
由捆绑法可知，不同的排法种数为种，故C正确；
对于D选项，名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中，
不同的排法种数为种，故D错误，故选AC.
10.（多选）（2025·山东泰安一模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，因为，
令可得，故A正确；
对于B，令可得，所以，故B不正确；
对于C，展开式的通项为，所以，故C不正确；
对于D，由通项可知，所以，
令可得，即，故D正确.
故选：AD.
11.（多选）（2025·重庆二模）已知二项式 的展开式中只有第 5 项的二项式系数取得最大值，则下列说法正确的是（ ）
A． B．展开式中无常数项
C．展开式中共有 5 个有理项 D．展开式的所有项的系数和为 1
【答案】BCD
【解析】根据题意可知：只有最大，故，故A错误，
对于D，取，得所有项的系数和为，D正确；
对于BC，展开式的通项公式，
当时，是有理项，共有5项有理项，C正确；
令，则无解，故展开式中无常数项，故B正确，
故选：BCD
12.（2025·北京卷T12）已知，则 ； ．
【答案】
【解析】令，则，
又，
故，
令，则，
令，则，故
13.（2025·广东广州·三模）展开式中的常数项为 。
【答案】4
【解析】，
3个因式中每个因式都包含三个项，若要得到常数项，
第一种方法是3个都取1，为，第二种方法是取2个，1个，为，
所以展开式的常数项为.
14．数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数.设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是 .
【答案】29
【解析】显然a，b，c，d均为不超过6的自然数，下面进行讨论．
最大数为6的情况：①，此时共有种情况；
最大数为5的情况：②，此时共有种情况；
当最大数为4时，③，此时共有种情况；
当最大数为3时，③，此时共有种情况；
综上，满足条件的有序数组的个数是．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑