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二十三 古典概型、事件的相互独立性及条件概率与全概率公式
题型一 古典概型
利用公式法求解古典概型问题的步骤
【例1】（2024·全国甲（理）卷T16）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
【思维探究】
看到什么 想到什么
无放回地随机取3次 共有种取法，确定古典概型中样本空间包含的样本点个数
为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率 ,确定古典概型中所求事件包含样本空间中的样本点个数，运用古典概型的概率公式进行计算
【答案】
【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，故，
【技巧】去掉绝对值后，按照进行分类讨论
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：，
，故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
【易错提醒】分类讨论，确定古典概型中所求事件包含样本空间中的样本点个数，运用古典概型的概率公式进行计算，切记不重不漏
共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为.
题型二 事件的相互独立性
【例2】（2024·新课标Ⅱ卷T18）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【思维探究】
看到什么 想到什么
第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中,则该队被淘汰，比赛成绩为0分;若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分 比赛分为2个阶段，第一阶段某球员连续投3次，投中与未投中会影响下一阶段的比赛
各次投中与否相互独立 本题是独立事件概率的考查
【解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
【技巧】作差，变形，判断符号
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为，则，，
则，
应该由甲参加第一阶段比赛.
题型三 条件概率与全概率公式
1.计算条件概率的公式：P(B|A)＝＝为事件A发生的条件下事件B发生的概率.
2.全概率公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).
【例3】在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器．提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答．当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题（重复提问），若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人．假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为．
(1)求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率；
(2)在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率．
【解】（1）不妨设提出的问题的3个选项依次为1，2，3，且设正确选项为1，人作答时能排除的选项为3，
记为人第一次答题时选择的是第i个选项，为机器第一次答题时选择的是第i个选项，
记测试者重复提问，测试者误判，机器改变选项．
所以1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率为．
（2）当机器重复回答问题改变选项时，测试者误判的情况有三种：
【技巧】依据第一次答题时人和机器的选择进行分类拆解为3个互斥事件;每一个互斥事件都对应条件概率模型,则事件EFG对应全概率模型
①若第一次答题时人和机器都选择1，则当重复提问时，人选择2，机器选择2或3，且测试者随机判断机器为人，
则；
②若第一次答题时人和机器都选择2，则当重复提问时，机器和人都选择1且测试者随机判断机器为人，或人选择2且机器选择1，或人选择2，机器选择3且测试者随机判断机器为人，
则；
③若第一次答题时人选择2，机器选择3，则当重复提问时，人和机器都选择1且测试者随机判断机器为人，或人选择2，机器选择1，或人选择2，机器选择2且测试者随机判断机器为人，
则，
【易错提醒】全概率公式实盾就是将所求事件拆解为被此互斥的,几个事件的概率求解，注意西点:一是事件的分类要全，要求不重不漏:二是每一个事件都对应条件概率模型，求解时要活用条件概率公式
又，所以．
【解后反思】上述过程实际上是利用贝叶斯公式完成的,即，全概率公式其实是贝叶斯公式的一种变形，它与贝叶斯公式是互逆应用的，全概率公式适用于先验概率,贝叶斯公式适用于后验概率
【通关训练】
1.（2024·全国甲（文）卷T4）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出树状图，如图，
由树状图可得，出场次序共有24种，
其中符合题意的出场次序共有8种，故所求概率.
2.（2023·全国甲卷T4）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为，故选D.
3.（2023·全国甲卷T6）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】A
【解析】同时爱好两项的概率为，
记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，
则，所以，故选.
4.（2021·新高考全国Ⅰ卷T8）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】 ，
，故选：B
5.（2025·湖南长沙·二模）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.8 D．0.9
【答案】C
【解析】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”，则，，，.
设发送信号为1的概率为，
则接收信号为的概率，
解得，即发送信号为的概率为，故选C
6.（2022·全国乙卷T10）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
，即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误，故选D
7．（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则
D．若事件A，B满足，则A与B相互对立
【答案】CD
【解析】对A，，又，所以，则，正确；
对B，若A，B为两个事件，则，正确；
对C，事件A，B，C两两互斥，则，并不能说明，错误；
对D，若事件A，B满足，且事件A，B互斥，则A与B相互对立，错误.
故选：CD
8.（多选）（2025·江西九江二模）已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（ ）
A．此件产品是次品的概率为0.02
B．此件产品是次品的概率为0.025
C．此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍
D．此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04.
【答案】BD
【解析】对于AB，该产品是次品的概率为， A错误，B正确；
对于C，此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率，
来自于乙车间的概率，则，C错误；
对于D，此件产品是次品的情况下，来自于丙车间的概率，D正确.
故选：BD
9.（多选）（2023·新课标Ⅱ卷T12）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
【解析】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
单次传输发送0，则译码为0的概率，而，
因此，即，D正确.
故选：ABD
10.（2022·全国甲（理）卷T15）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
【答案】.
【解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
11.（2024·天津卷T13）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
【答案】
【解析】（缩小样本空间法）从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到有6种可能性：，
则甲选到得概率为：；
乙选活动有6种可能性：，
其中再选则有3种可能性：，
故乙选了活动，他再选择活动的概率为.
（定义法）设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，
则甲选到的概率为；
乙选了活动，他再选择活动的概率为
12.（2023·天津卷T13）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ．
【答案】 /
【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，
所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；
乙盒中黑球个数为，白球个数为；
丙盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，
黑球总共有个，白球共有个，
所以，．
13.（2025·北京卷T18）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.
【解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率.
（2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，，
设为“从乙校抽取1人做对”，则，，
设为“恰有1人做对”，故
依题可知，可取，
，，，
故的分布列如下表：
故.
（3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，
因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目，
未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故，即，故，
同理有，，故，故.
14.（2025·湖南郴州·期末）错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响.
(1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率；
(2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率.
【解】（1）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，，
已知，，且与相互独立，各轮之间也相互独立.
“郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况：
情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为.
情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为.
情况三：甲做对1题，乙做对1题
甲做对1题的概率为
乙做对1题的概率为
所以甲做对0题，乙做对2题的概率为.
因为这三种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对2题.
（2）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，.
已知，，，，且各事件相互独立.
“郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况：
情况一：甲做对2题，乙做对1题
甲做对2题的概率为
乙做对1题的概率为
所以甲做对2题，乙做对1题的概率为.
情况二：甲做对1题，乙做对2题
甲做对1题的概率为
乙做对2题的概率为
所以甲做对1题，乙做对2题的概率为.
由于这两种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为.
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