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二十四 随机变量及其分布
题型一 离散型随机变量的期望与方差
求随机变量的分布列与期望的解题策略
【例1】（2025山西大同一模）我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响.
(1)求取何值时，第三组进入决赛的概率最大；
(2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望.
【解题指导】（1）第三组通过初赛和复赛的概率→二次函数的性质求概率最大值
（2）根据二项分布可求的分布列和数学期望.
【解】（1）由题知：第三组通过初赛和复赛的概率，
又因为，所以
所以，当时，第三组进入决赛概率最大为.
（2）由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为.
第一步：写出随机变量的所有取值
对应的的所有可能取值为0，1，2，3
第二步：分析随机变量确定服从二项分布概率模型
因为进入决赛的队伍数，
第三步：求每一个可能取值对应的概率
所以；；
；.
第四步：列出随机变量的分布列
所以随机变量的分布列为:
第五步：套公式求均值
.
题型二 二项分布与超几何分布
1.二项分布描述的是放回抽样问题，超几何分布描述的是不放回抽样问题,
2.每一次抽样试验中，若事件独立且概率不变则对应二项分布.
3.超几何分布多与分层抽样结合,，出现“先抽再抽”的题干信息
4.当样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布
【例2】（2025福建福州二模）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．
(1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
(2)求该生两次投篮得分的分布列及数学期望．
【解题指导】（1）投篮3分线外侧投入的概率→踩线及3分线内侧投入的概率→不能入篮的概率→求恰有三次是3分线外侧投入的概率．
（2）的可能取值为0，2，3，4，5，6→求相应的概率→求出的分布列及数学期望．
【解】（1）“3分线外侧投入”，“踩线及3分线内侧投入”，“不能入篮”分别记为事件，，，
由题意知，，，
因为每次投篮为相互独立事件，
故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为.
第一步：写出随机变量的所有取值
两次投篮后得分的可能取值为0，2，3，4，5，6,
第二步：分析随机变量确定服从超几何分布概率模型
由于该生两次投篮互不影响，是相互独立事件，
第三步：求每一个可能取值对应的概率
表示两次投篮都不能入篮，即得分都为0，
则；
表示一次是踩线及3分线内侧投入，另一次不能入篮，
则；
表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮，
则；
表示两次都是踩线及3分线内侧投入，
则；
表示一次是3分线外侧投入，另一次是踩线及3分线内侧投入，
则；
表示两次都是3分线外侧投入，则，
第四步：列出随机变量的分布列
故的分布列为
0 2 3 4 5 6
第五步：套公式求均值
所以.
【例3】（2025·广东佛山模拟）某记忆力测试软件的规则如下：在标号为1、2、3、4的四个位置上分别放置四张相似的图片，观看15秒，收起图片并打乱，1分钟后，测试者根据记忆还原四张卡片的位置，把四张卡片分别放到四个位置上之后完成一次测试，四张卡片中与原来位置相同1张加2分，不同1张则扣1分．
(1)规定：连续三次测试全部得8分为优秀，三次测试恰有两次得8分为良好，若某测试者在每次测试得8分的概率均为（），求他连续三次测试结果为良好的概率的最大值；
(2)假设某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，他测试1次的得分为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
【解题指导】（1）将表示出来→利用导数求最值；
（2）卡片与原来位置相同的张数可能为4张、2张、1张 0张→对应的的所有可能取值为8，2，，，→分布列及数学期望．
【解】（1）设连续三次测试结果为良好的概率为，
依题意得，，
，令得，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当 时，取最大值为
第一步：写出随机变量的所有取值
某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，
卡片与原来位置相同的张数可能为4张、2张、1张 0张，
对应的的所有可能取值为8，2，，．
第二步：分析随机变量确定服从超几何分布概率模型
第三步：求每一个可能取值对应的概率
则，，
，，
【另解】（或，
第四步：列出随机变量的分布列
所以的分布列为：
8 2
第五步：套公式求均值
数学期望为．
【易错提醒】二项分布与超几何分布的关系
在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．
区别 ①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； ②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布
联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)
题型三 正态分布
服从N（μ，σ2）的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法
（1）利用P（μ－σ≤X≤μ＋σ），P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ），P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）的值直接求；
（2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解；
（3）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2；
（4）在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计.
【例4】（2023·湖南衡阳·三模）某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布，其中，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”．
(1)若，求a的取值范围；
(2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，，则，，．
【解题指导】（1）由正态分布的对称→分和两种情况求概率→列不等式求范围；
（2）根据原则求→→求各级群个数→求所需奖金.
【详解】（1）由正态分布的对称性可知，若，
当，即时，因为，
所以有，得；
当，即时，要使，
则有，解得（舍去）.
综上，a的取值范围为.
（2）因为
所以，
【技巧】由于正态曲线是关于直线x＝μ对称，且概率的和为1
，
所以A级群有个，B级群有个，
C级群有个，
所以，公司大约需要准备奖金元.
【通关训练】
1．（2025·河南许昌·模拟预测）某公司为了庆祝公司成立二十周年，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向A，B两个目标投掷，先向目标A掷一次，套中得40元，没有套中得0元，再向目标B连续掷两次，每套中一次得80元，没套中得0元，根据累计金额发放红包.已知小胡每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设小胡每次投掷的结果相互独立.
(1)求小胡至少套中1次的概率；
(2)记小胡的累计金额为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
【解】（1）记“小胡至少套中1次”为事件，
所以，
即小胡至少套中1次的概率为.
（2）由题意可知X的所有可能取值为0，40，80，120，160，200，
所以，，
，，
，，
所以X的分布列为：
X 0 40 80 120 160 200
P
所以.
2．（2025·重庆·三模）某学校为了了解高三年级的学生参加户外拓展意愿的情况， 随机抽取了 50 位高三学生进行问卷调查，其中参加户外拓展的意愿分 3 种情况，每种情况对应的人数如下表所示:
意愿情况 非常期待 无所谓 不愿意
人数 30 15 5
(1)若从样本中随机抽取 2 位学生，求所抽取的 2 位学生意愿情况不同的概率.
(2)用样本估计总体，以频率代替概率. 若从高三年级所有学生中随机抽取 2 位学生，记所抽取的学生意愿情况为非常期待的人数为 ，求 的分布列与数学期望.
【解】（1）设事件 “选取的2位学生意愿相同”,则,
则所抽取的位学生意愿情况不同的概率
（2）记所抽取的学生意愿情况为非常期待的人数为,
则根据题意，则,
则，
，
则的分布列为
则.
3．（2025·河北唐山·三模）某电视台为了调研某城市人们对体育节目的喜爱情况，在该城市随机抽取了男性和女性各100人进行调查，得到如下列联表：
性别 喜爱体育节目 不喜爱体育节目 合计
男性 60 100
女性 55 100
合计 105 95 200
(1)求，的值，并根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该城市人们是否喜爱体育节目与性别有关联；
(2)从调查的男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人，若从这10人中随机抽取3人，记为喜爱体育节目的男性人数，求的分布列及数学期望.
附：，.
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】（1）由题意知，，解得，.
零假设为：该城市人们是否喜爱体育节目与性别无关.
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，推断成立，即该城市人们是否喜爱体育节目与性别无关联.
（2）由题意知10人中，有6人喜欢体育节目，4人不喜欢体育节目，故，
；；
；.
所以的分布列为
0 1 2 3
期望.
4．（2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：
满意度评分
频数 10 15 20 30 15 10
(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）
(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；
(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若随机变量，则【解】（1）由题意，平均数，
前3组的频率为，前4组的频数为，
所以样本中位数位于，设为，
则，解得，则样本中位数为.
（2）由题意，近似地服从正态分布，且，，
由于
，
因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为
.
（3）由题意，的所有取值为，
顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为，
顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为，
顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为，
则，，
，
，
，
则的分布列为：
0 1000 2000 3000 4000
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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