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微专题1 概率统计与函数的综合问题
【全国新高考Ⅱ2023·19】某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的顿率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
【思维探究】
看到什么 想到什么
将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性 根据指标、阴性、阳性的判断标准，联想到c为临界值
漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 观察频率分布直方图，条件中以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，联想到用频率分布直方图中矩形面积表示漏诊率和误诊率
当漏诊率力时，求临界值c和误诊率 联想频率分布直方图中百分位数的求法，漏诊率加即患病者对应频率分布直方图中临界值左侧矩形面积之和为0.005，要求误诊率，只需求未患病者对应频率分布直方图中临界值右侧矩形面积
函数，当时，求的解析式 观察频率分布直方图发现，区间包含和
求在区间的最小值 联想分段函数求最小值的方法
【解】（1）当时，由已知患病直方图的第一个小矩形面积为
．
由未患病直方图可得．
（2）①当时，，
．
【易错提醒】误把小矩形的高度——频率/组距当作小矩形的面积
②当时，，
．
综上可得：
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取最小值．
【例2】（2025·河北石家庄二模）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛，某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．
(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？
【解题指导】（1）分类讨论→求概率→互斥事件的概率
（2）求→计算强化训练后该同学某一轮可获得巧手奖的概率的最大值→根据5轮比赛中获得巧手奖的次数服从二项分布→估算→确定结果
【解】（1）由题可知，所有可能的情况有：
①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率，
②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率，
③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率，
故所求的概率．
（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，
则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：
∵，且，也即，即
故可得：，，
，
∴，
令，则在上单调递减，
【易错提醒】抛物线开口向下且对称轴在给定区间的左侧
∴．
∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数，
∴，故该同学没有希望进入决赛．
【通关训练】
1.（2025·安徽合肥·三模）某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3分，总分不低于4分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，且在这三处的投篮相互独立．
(1)求甲未获得奖品的概率；
(2)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球．试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？
【解】（1）甲三次投篮都命中的概率为，
甲三次投篮只命中两次且总分不低于4分的概率为
，
所以甲未获得奖品的概率为.
（2）设甲的投篮次数为X，则X的分布列为
X
P
则，
令，则，
所以，其中随的增大而减小.
当时，，，当时，，
所以，
故当时，甲投篮次数的期望最大．
2.（2025·山东临沂一模）在“飞彩镌流年”文艺汇演中，诸位参赛者一展风采，奉上了一场舞与乐的盛宴．现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾，统计他们的年龄数据，得样本平均数．
(1)若所有参赛者年龄X服从正态分布，请估计参赛者年龄在30岁以上的人数；
(2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级，每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有的概率评为A类，的概率评为B类，每位参赛者作品的评级结果相互独立．记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A类作品的概率为，求的极大值点；
附：若，则．
【解】（1）因为，
则.
所以参赛者年龄在30岁以上的人数约为（人）.
（2）记，设， 其中为的极大值点.
依题意可得，
则，
令，因为，故，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点
3．（2025·广东广州二模）为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 45
女 10
合计 75 100
(1)完成上面的 列联表，依据 的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？
(2)五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为，各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为，求取得最大值时的值.
附： （其中 ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】（1）列联表：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
，
所以依据 的独立性检验，不能认为“体育迷”与性别有关．
（2）由题意，连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为，
则，
令得，
当时，则函数单调递增，
当时，则函数单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，极大值为，
即当时，函数取得最大值.
4．（2025·重庆三模）电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据：
线上宣传投入金额（万元） 20 30 40 50 60 70
游客满意度评分（分） 60 65 70 78 80 85
(1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断与两个变量线性相关性的强弱.（精确到小数点后两位）；
(2)《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为；
①当时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望；
②甲以获胜的概率为，求的最大值．
参考公式：相关系数，参考数据：．
【解】（1）由题意得，，
，
，
，
则.
因为，接近1，所以与两个变量线性相关性的很强.
（2）①由题意的取值可能为，且甲获胜的概率为，
当时，甲连胜3局或乙连胜3局：
.
当时，前3局甲2胜1负，第4局甲胜；或前3局乙2胜1负，第4局乙胜：
.
当时，前4局甲2胜2负，第5局甲胜；或前4局乙2胜2负，第5局乙胜：
.
所以的分布列为：
3 4 5
期望.
②甲以获胜，即前4局甲2胜2负，第5局甲胜，
所以.
对求导得，
令，解得.
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
因此当时，取得最大值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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