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微专题2 概率统计与数列的综合问题
概率统计与数列的交汇问题
第一步：精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则;
第二步：准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题;
第三步：解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差数列、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式.
题型一 连续两项递推特征
【例1】（ 2023·新高考Ⅰ卷T21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【思维探究】
看到什么 想到什么
若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮 下一次谁投篮,由上一次命中情况决定，联想到条件概率相关知识
甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8 甲和乙每次命中的概率不受投篮情况影响，联想到事件的独立性
由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5 第1次投篮一定要考虑甲投还是乙投两种情况
第2次投篮的人是乙的概率 第2次投篮的人是乙有两种可能：①第1次甲投，但甲未中；②第1次乙投，且乙投中
第次投篮的人是甲的概率 第i次投篮的人是甲有两种可能：①第i-1次甲投且甲投中；②第i-1次乙投，但乙未中，联想到全概率公式
随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为 随机变量服从两点分布可以理解为第i次投球的人，表示甲投，表示乙投，则，甲投篮的次数表示为，此步是建立已知和未知的关键桥梁
求 结合随机变量，和的关系，联系已知条件，求
【解】（1）（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，
则，
即，
构造等比数列，
【突破点】满足an＝pan－1＋q型的数列{an}求通项公式时，可利用待定系数法将其变形为an＋λ＝p(an－1＋λ)，再设an＋λ＝bn，则{bn}是以b1＝a1＋λ为首项，p为公比的等比数列，求出{bn}的通项公式，进而求出an.
设，解得，
则，
又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
【易错】数列的首相为，公比为的等比数列，不是的首相为，公比为的等比数列
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
题型二 连续三项递推特征
【例2】（2025·湖南衡阳·模拟）在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得分，其概率为，获得分，其概率为.最多进行轮答题，某同学累计得分为分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军.
(1)当进行完轮答题后，甲同学总分为，求的分布列及；
(2)若累计得分为的概率为，（初始得分为分，），求的表达式().
【解题指导】（1）二项分布→概率→分布列→数学期望
（2）累计得分为分的概率→累计得分为分的概率→累计得分为分的概率→构造法求的表达式
【解】（1）设进行完轮答题时，得分的次数为，.
，，
随机变量表示甲同学的总分，其可能取值为，，，，
，
，
，
所以的分布列为：
3 4 5 6
（2）当时，即累计得分为分，是第一轮抢答得分，，则，
累计得分为分的情况分两种：
（i），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为.
（ii），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为.
则，所以.
【解惑答疑】形如an＋1＝pan＋qan－1型数列，利用相邻项的差为特殊数列法求解
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
【易错题型】数列的首相为，公比为的等比数列，不是的首相为，公比为的等比数列
所以.
【通关训练】
1．（2025·四川凉山·三模）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气．
(1)为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下：
喜爱排球运动 不喜爱排球运动 合计
男性 60 40 100
女性 45 55 100
合计 105 95 200
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？
(2)某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为．
（ⅰ）计算，，并求的通项公式；
（ⅱ）记第n次传球之后球在乙手上的概率为，求的通项公式．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得
，
依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立，
可以认为喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱排球运动与性别无关.
（2）（ⅰ）由题意，，
且时，
所以
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即
（ⅱ）由题意，，
且时，
所以
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
则，
即
2．（2025·广东湛江·一模）甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为．
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；
(2)证明：数列为等比数列．
【解】（1）根据题意可知，X的所有可能取值为0，1，2；
则，，；
可得X的分布列如下：
0 1 2
期望值为.
（2）依题意，当时，棋子跳到第格有两种可能：
第一种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色不同；
第二种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色相同；
又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为，
摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为；
因此可得；
所以，
因此可得，
即数列是公比为的等比数列.
3.（2025·辽宁大连期末）如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为p，移动2个单位的概率均为．
(1)记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点；
(2)若，记质点从原点0运动到n的位置的概率为．
（i）求；
（ii）证明：是等比数列，并求．
【解】（1）由已知可得，5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位，
，
，
令得，令得，
在上单调递增，在上单调递减，
，此时．
（2）（i），
则．
（ii）证明：由题意，，
，
是首项为，公比为的等比数列，
故，
．
4.（2025·湖北鄂南联考）甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在甲手中时，若骰子点数大于4，甲将玩具传给乙；若骰子点数不大于4，甲保留玩具；当玩具在乙手中时，若骰子点数大于3，乙将玩具传给甲；若骰子点数不大于3，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰子点数大于2，丙将玩具传给甲；若骰子点数不大于2，丙传给乙.初始时，玩具在甲手中.
(1)设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中的次数为，求的分布列和数学期望；
(2)抛掷次骰子后，玩具在乙手中的概率为，求的通项公式；
(3)求证：.
【解】（1）由题意知，.
，
，
；
，
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
随机变量的数学期望为
（2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，
故有，
变形为.
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以
所以数列的通项公式；
（3）由（2）可得；
所以
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