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微专题1 离心率的范围问题
题型一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
解此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.
【例1】已知是椭圆的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题指导】椭圆定义→焦点三角形→构造不等式→求得椭圆离心率的取值范围.
【详解】第1步：借助圆锥曲线的定义，焦点三角形建立边角关系
设椭圆左右焦点分别为，，连接,
由椭圆及直线的对称性知：四边形 为平行四边形，
且，，
在△中，，
第2步：构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解
∴，
（当且仅当时等号成立）
可得，即，则，
∴椭圆的离心率.故选C
【例2】（2025·湖北荆州模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，与的左支交于点.若，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题指导】双曲线的定义→→余弦定理→构造关于a，b，c的不等式组求解→求范围
【解析】第1步：借助双曲线的定义，焦点三角形建立边角关系
由题意易得：，所以
设，，由余弦定理可得，
第2步：利用列不等式
则
设点，则，
即
第3步：利用列不等式
所以，
第4步：利用不等式组求离心率范围
故.故选：C
题型二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.
【例3】（2025·江西宜春三模）已知椭圆：与圆：，若在椭圆上存在点P，使得过点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题指导】相切得∠APO 45°→转化为→离心率求范围.
【答案】C
【解析】第1步：根据平面图形找不等关系
由椭圆上长轴端点向圆作两条切线PA，PB，则两切线形成的角最小，即∠APB最小，若椭圆C1上存在点P使两条切线互相垂直，则只需∠APB≤90°，即α＝∠APO≤45°
第2步：结合圆锥曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式；
第3步：解不等式，确定离心率的取值范围
解得a2≤2c2，∴，
即，又0＜e＜1，∴，即
【例4】（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ．
【解题指导】→焦点三角形为直角三角形椭圆与双曲线性质建立方程→，的关系式→基本不等式求最值
【答案】
【解析】性质法：因为，所以．
对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积，
【技巧】椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
根据双曲线的性质可得，所以，
所以，整理可得．
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为
（定义法）因为，所以．
设，（不妨设），，
依题意有，，，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为．
题型三　利用几何图形的性质求离心率的范围
借助平面图形的性质求离心率范围的步骤
（1）根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系；
（2）将这些量结合圆锥曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式；
（3）解不等式，确定离心率的取值范围.
【例5】（2025·湖南衡阳·开学考试）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题指导】由切线长定理→→→设点→由根据的范围求解.
【答案】B　
【解析】如图，∵，∴（O是坐标原点），∴｜OP｜＝2｜OA｜＝2b.
设P（m，n），则｜OP｜2＝m2＋n2＝4b2，又，∴，
又m2≥a2，∴5≥1＋，∴0＜≤4，，
∴离心率.故选B.
【易错提醒】在椭圆中利用公式求解；在双曲线中
法二　如图，∵，∴（O是坐标原点），∴｜OP｜＝2｜OA｜＝2b，∴以O为圆心，以2b为半径的圆与双曲线有公共点，∴2b≥a，4b2≥a2，即4（c2－a2）≥a2，4c2≥5a2，∴离心率.故选B.
【例6】（2025·山东滨州一模）已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：，且，垂足为Q点．若四边形为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题指导】设→可得→→→求出离心率的范围
【详解】设，则，
∵四边形为平行四边形，∴，
∴，即，
∴，
∴，得．
故选：B
【通关训练】
1．（2025·四川成都二模）已知椭圆与双曲线，双曲线渐近线斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，，从而椭圆的离心率，故选：B
2．（2025·河北邯郸·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，点P是C上一点，若，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，所以．又因为，所以，，
所以C的离心率的取值范围是，故选：D．
3．（2025·山东日照三模）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可设点到椭圆两个焦点的距离分别为，所以，得到，
又，所以，得到，所以，又，故，故选：C.
4．（2025·江苏泰州二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点（其中在第一象限），若四点都在一个圆上，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆的半焦距为c，半长轴为a, 半短轴为b,
由椭圆的中心对称性和四点共圆，则四边形为矩形，
所以以 为直径的圆与椭圆C有公共点，
则 ，所以 ，故 ，故选∶C．
5．（2025·江西南昌·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线的定义可得，
两式相加可得，
则的周长为，即，
再由，可得，解得，
由.故选：A
6．（2025·上海浦东新·模拟）设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，因为，，
所以，，
由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即，则．故选B．
7．（2025·安徽黄山·一模）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于，且，当时，双曲线离心率的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】如下图所示： 不妨取渐近线方程为，又易知，
则直线的方程为，
联立直线与双曲线，可得，
所以；
且，由双曲线定义可得，
当时，可得，
所以，解得；
因此双曲线离心率的最大值为，故选D
8．（多选）（2025·吉林四平二模）已知双曲线：，则（ ）
A．点在上 B．的焦点只能在轴上
C．直线与有2个交点 D．的离心率的取值范围为
【答案】BC
【解析】对于A，，故不在双曲线上，A错误，
对于B，双曲线的焦点位于轴上，B正确，
对于C，由于的一条渐近线方程为，由于，故直线与有2个交点，C正确，
对于D，，故D错误，
故选：BC
9．（多选）（2025·重庆渝中三模）已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设，的焦距为，由，共焦点知，故正确；
△是以为底边的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故，错；
由，得，又，得，所以，
从而，故正确．
故选：．
10．（2025·山东青岛一模）已知双曲线的左 右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，，，
，则，
，则，，
，则，，点在渐近线上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案为：．
11．（2025·贵州贵阳·开学考试）已知双曲线的右焦点为，过的直线与交于点，且满足的直线恰有三条，则双曲线的离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意知道直线与双曲线两支分别相交，且有两条直线与双曲线同一支相交．
显然满足的直线有1条为x轴，为左右顶点，长度为实轴长，.
当直线过，刚好垂直x轴时，令，可求得.此时直线只有1条.
加上前面的1条，总共2条，不满足题意.如图，
运用双曲线对称性知道时，刚好有2条，总共3条，满足题意.
即.则.又由于，
则双曲线的离心率的取值范围为.
12．（2025·浙江杭州·一模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，若与椭圆无公共点的直线上存在一点，使得的最大值为，则椭圆离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】不妨设，，，，
设直线倾斜角为，直线倾斜角为，
则，
，
若的最大值为，则有最小值，
又，当且仅当，即时取等号，
则，即，解得，
又椭圆与直线无公共点，则，所以，
所以椭圆离心率的取值范围是．
13．（2025·山东泰安·模拟）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称，
设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得，
因为，设为直线的倾斜角，则，
所以，所以，.
所以椭圆离心率的取值范围为.故选B

14．（2025·四川绵阳二模）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点.
由椭圆方程可知：，如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和，
其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径，
即，所以，所以椭圆离心率，所以
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