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微专题2 圆锥曲线中的定点与定值问题
题型一 定点问题
定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
【例1】（2022全国乙（理）卷T20）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【解题指导】（1）巧设椭圆方程→定点代入求参→E的方程
（2）设出直线方程→与椭圆C的方程联立→分情况讨论斜率是否存在→直线的方程→消参确定直线HN过定点
【解】（1）设椭圆E的方程为，
【技巧】当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①【第1步】直线斜率不存在时，证明直线HN过定点
若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②【第2步】设直线斜率，求直线方程，与椭圆方程联立
若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
【第3步】求
可得，，
且
【第4步】求的坐标，直线的方程
联立可得
可求得此时，
【第5步】化简，消参确定直线HN过定点
将，代入整理得，
将代入，得显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【解后反思】动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0).
题型二 定直线问题
解决定线问题的核心在于确定动点的轨迹方程，主要方法有：
(1)待定系数法，设出含参数的直线方程，利用条件消去参数，得到系数确定动点的坐标，确定直线.
(2)设点法，设出动点的坐标，通过动点满足的条件消去参数，得到动点的轨迹方程，从而确定直线.
【例2】（2023新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【解题指导】（1）由焦点和离心率→列方程求参→双曲线方程；
（2）设出直线方程→与双曲线方程联立→直线与的方程→消去→→交点的横坐标为定值→点在定直线上.
【解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
【第一步】设参，因直线过x轴上（T,0)点，方程可巧设为
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，
【第二步】用参，利用韦达定理，设而不求表示出判别式，两根之积与和
则，且
【提醒】忽视，此为得分点

直线的方程为，
直线的方程为，
【技巧】直线的方程可用类比的方法获得
【第三步】消参，利用两条直线交于P点，将两根之和与两根之积代入化简，转化为含有的代数式，确定定点。
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
题型三 定值问题
求解定值问题的三步骤
【例3】（2024·河南新乡模拟）分别是椭圆的左、右顶点，，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两个不同的点．设直线，交于点，证明：点到轴的距离为定值．
【解题指导】（1）由弦长和离心率→列方程求参→椭圆方程；
（2）设出直线方程→与椭圆方程联立→直线，方程→两直线交点的横坐标→结合韦达定理化简得定值
【解】（1）由题可知，解得
所以椭圆的标准方程为．
（2）
【第1步】设直线的方程与椭圆方程联立，根据判别式求的范围
设直线的方程为，
联立的方程，消去得．
其中，
即，
【第2步】由韦达定理写出两根之和与积，并消参k
设，，则，，
，又，，
【第3步】求直线，的方程，并联立求
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
．
【第4步】结合韦达定理化简得定值
又，，
即点到轴的距离为定值1．
【通关训练】
1.（2025福建省福州模拟）已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：与椭圆C交于E，F两点，在y轴上是否存在定点P，使得PE⊥PF恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】（1）由题知，椭圆C过点和，
所以，解得
所以椭圆C的方程为．
（2）假设在y轴上存在定点P，使得PE⊥PF，设，，
由，得，∴，
．
，
∵PE⊥PF，∴
【技巧】注意等价转化.
∴恒成立
∴，解得．
∴，∴存在定点，使得PE⊥PF恒成立．
2.（2025·山东泰安模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，四个顶点组成的菱形面积为，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过上任意点P做的切线l与椭圆E交于点M，N，求证为定值．
【深度剖析】(1)由题意得，，
可得，b＝2，
所以椭圆的标准方程为．
(2)当切线l的斜率不存在时，其方程为，
【易错提醒】求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况．
当时，将代入椭圆方程得，
∴，，，
∴
当时，同理可得，
当切线l的斜率存在时，设l的方程为，，，
因为l与相切，所以，所以
由，得，
∴，
∴
∴
综上，为定值．
3.（2025·安徽合肥一中期末）已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【深度剖析】（1）在曲线上，则，则，
而，故抛物线C的方程为.
（2）易知直线的斜率不为0，故设
联立：，
故.
因为，则
则或（舍），故.
因为都在轴上，要使得，
则轴为的角平分线
【技巧】根据角平分线的性质"三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例"得到x轴与∠AMB 的关系
若，则垂直于轴，轴平分，则垂直于轴，
则直线的方程为，此时，而相异，故，同理
故与的斜率互为相反数
即
为定值.
故当时，有恒成立.
5.（2025·河北石家庄二中期末）已知椭圆的上、下顶点分别是，点P（异于两点），直线PA与PB的斜率之积为，椭圆C的长轴长为6．
(1)求C的标准方程；
(2)已知，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点在定直线上.
【深度剖析】（1）由题意可得，且，则.
设，则，所以，
因为点P在椭圆C上，所以，
所以，代入式得
，
由代入得，
故椭圆C的标准方程为：+＝1；
（2）设，，显然直线PT不垂直于x轴，
故可设直线PT的方程为，
由消去y得，
因为点在椭圆C的内部，则直线与椭圆恒有两个交点，
所以，
由（1）知，,
所以直线AP的方程为，
直线BQ的方程为，
【技巧】直线BQ的方程可用类比的方法获得
由直线AP与BQ相交于点，则，
消得①，
由（1）知，得，
可得
，
将代入①式得，解得，
【技巧】将转化为对称式结构再处理即可.
即点D在直线上．

21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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