资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
微专题3 圆锥曲线中的最值（范围）问题
【例1】（2023全国甲卷数学（文）T21（理）T20）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【解题指导】（1）直线与抛物线联立→韦达定理→弦长公式列方程→求
（2）直线与抛物线联立→韦达定理→→找的关系→的面积表达式→结合函数的性质求最小值．
【解】（1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
第1步：设直线方程，并联立抛物线方程消去，韦达定理写出两根之和与积，及判别式
因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
【易错提醒】忽视直线与椭圆有两个交点，从而得到Δ＞0.
第2步：将数量积进行坐标运算，并结合韦达定理，转化为之间的关系
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
第3步：点到直线的距离为，及弦长
设点到直线的距离为，所以，
，
第3步：求的面积的最小值
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
【例2】（2025·河北沧州二模）已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设点是直线上的动点，直线，分别与曲线交于不同于，的点，，过点作的垂线，垂足为，求最大时点的纵坐标.
【解题指导】（1）设动点坐标→直线与的斜率→斜率之积为列方程→点Q所满足的方程式；
（2）设直线的方程→代入曲线的方程→由几何关系得直线恒过点→点的轨迹是以为直径的圆→当与重合时最大→点的纵坐标.
【解】（1）由题意得，且，
，，所以，
整理得曲线.
（2）
第一步：说明直线斜率不为0
设，，，
若直线平行于轴，根据双曲线的对称性，可知点在轴上，不符合题意，
第二步：设直线方程，并联立双曲线方程消去，韦达定理写出两根之和与积
故设直线：，代入曲线中，得，
则，，则，
第三步：利用三点共线，斜率相等列方程并消参
由，A，三点共线得，即，
同理，由，B，三点共线得，
消去，得，
第四步：结合韦达定理化简
即，
得，
得，
即对任意，，都有成立，
故或，
若，由，可得：
所以即，矛盾，故，
所以.
第五步：直线恒过定点，确定圆的方程
所以直线：恒过点，
则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，
第六步：数形结合，利用几何意义，求P的坐标
当与重合时，最大，此时轴，：，.
所以当最大时，点的纵坐标为.
【通关训练】
1.（2021全国乙卷（理）T21）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【详解】（1）由题意知，，设圆M上的点，则．
所以．
从而有．
因为，所以当时，．
又，解之得，因此．
【一题多解】抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
2.（2025·广东佛山·二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线的方程；
(2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
【解题指导】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为的方程，即可求解；
（2）首先设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，并根据的取值范围，求点到直线的距离的取值范围.
【解】（1）依题意，，焦半径，
由，得，得，
解得：（其中舍去），
所以，
故双曲线的方程为；
（2）显然直线不可能与轴平行，
故可设直线的方程为，
联立，消去整理得，
在条件下，设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
代入韦达定理得，，
化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去），
则直线的方程为，得，
又都在双曲线的右支上，故有，，
此时，，
所以点到直线的距离的取值范围为.
3．（2025·山东济南二模）已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若上两点满足．
（ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程；
（ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值．
【解】（1）由题意，知PF与x轴垂直，，
令，解得，
即，解得或（舍去），
故，椭圆C的标准方程为．
（2）（i）当直线AB斜率不存在时，设，
则，，
由，知，又，解得或1（舍去），
故直线AB的方程为；
（ii）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立椭圆C的方程，得，
设，由韦达定理知，
于是，
由知，
，
若，则直线AB为，
直线AB恒过定点，不合题意，
若，则直线AB为，
直线AB过定点，
当直线AB斜率不存在时，直线AB也过点，
于是直线AB恒过定点，
当直线AB与OM垂直时，圆心O到直线AB的距离最大，为，
故直线AB被圆O所截得的弦的长度的最小值为．
4.（2025·辽宁沈阳·二模）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线．
(1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？
(2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围．
【解】（1）由，得，
若曲线为双曲线，则，
所以可化为，
则，则，
所以当，且时，曲线为双曲线；
（2）当，时，，即，
（ⅰ）由题意得，，设点，由，
即，
即，得，则，
直线BE的斜率为，
所以直线BG的方程为，
即，
联立，得，
由直线BG与双曲线有2个交点，则，
又因为满足，
由韦达定得，解得，
因为，且，
得，所以，
又因为，可得，
所以，
因为，所以，
所以，可得，即的取值范围为．
（ⅱ）由（ⅰ）得
，
所以，
因为，则，则，
；
【另解】当，时，，即，
（ⅰ）由题意得，，
设点，由．
即，
即，得，
则，
直线BE的斜率为，
所以直线BG的方程为，
设点（，），因为，
所以，所以，，同理，
由，
两式作差得，
将直线BG方程代入并化简得（*）
所以，
所以，
可得，即的取值范围为；
（ⅱ）由（*）式可得，
所以，
由（ⅰ）得，
所以．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑