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2026年高考冲刺卷（一）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由解得或，因为是或的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
【一题多解】若，由又不等式性质可得，即
若，取，满足，但不满足，故“”是“”的充分不必要条件，故选A
2．若双曲线满足，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，即.故选：C.
【一题多解】因，故，又，，故选C
【一题多解】特殊值法，因，不妨令，则，即.故选C.
3．设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，则，即，因为.
故选：A
4．已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】四棱锥的体积，得，
直线与平面所成角的正弦值为，故选：B.
5．设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为( ).
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为时，，又因为单调递增，所以；
若，则，所以时，，即；
若，则，所以时，，即.
综上所述，，故选：D.
【一题多解】（数形结合法）显然的零点不为0，当时，令，得，因为函数的零点为，所以是函数的图象与的图象交点的横坐标，同理可得是函数的图象与的图象交点的横坐标。显然在上没有零点，当时，令，得，所以是函数的图象与的图象交点的横坐标。在同一平面直角坐标系中，分别作出函数和在上的大致图象，如图所示，由图可知，故选 D。
6．已知向量，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以四边形为直角梯形.
，，，则面积，
故选：B.
7．已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ).
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，则，
因为，所以，又因为在区间上单调，
所以，解得，则的最大值为.故选：B.
8．一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．24
【答案】C
【解题指导】由事件的运算法则得各个事件的概率→分别讨论1或2两种情况求解.
【解析】样本空间，这是一个古典概型，可得，，
即，，从而且.
由可得事件；又因为，所以1或2.
(1)若，则，即，，
此时不满足；
(2)若，则，且，又因为，
所以或，即或3；
①若，，此时或或或
，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本
点，即有个满足条件的事件；
②若，，同理有个满足条件的事件；
③若，，此时或或或，
即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，即有个满足条件的事件；
④若，，同理有个满足条件的事件；
综上所述，满足条件的事件共计个，故选：C.
【一题多解】由题意可知，样本空间，，作出 Venn 图，如图所示，可得，，。由，，易知事件，事件，则事件中含样本点6，8中的一个，或事件中同时含样本点6和8。若事件中含样本点6，8中的一个，则事件或事件，所以，所以，则事件中有4个样本点，此时，则，所以事件中不含样本点5和7，或同时含样本点5和7,其余的样本点可以在1，2，3，4中任意取，所以事件的个数为。若事件中同时含样本点6和8，则事件，所以，则，此时不满足，所以这种情况不成立。综上所述,满足条件的事件的个数为16，故选C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数满足，则（ ）
A．可以是
B．若为纯虚数，则的虚部是2
C．
D．
【答案】AC
【解析】当时，，选项A正确；
若为纯虚数，则，选项B错误；
易知，选项C正确；
由可知，在复平面上，复数对应的点在以点为圆心，2为半径的圆上，
的几何意义是点到点的距离，可得，选项D错误，
故选：AC.
10．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．
B．
C．当时，取得最小值
D．记，则数列前项和为
【答案】BCD
【解析】设公差为，因为，则，
解得.由得，选项A错误；
，则，选项B正确，
二次函数性质知道时，最小，选项C正确；
，所以为等差数列，，
前项和为，选项D正确.
故选：BCD.
【一题多解】对于A：设等差数列的公差为，由，得，则，所以因为，所以，A错误
对于B：。B正确
对选项C和D的分析同解法一。
11．已知函数，则（ ）
A．当时，在上的最大值为
B．在上单调递增
C．当时，
D．当且仅当时，曲线与轴有三个交点
【答案】ABD
【解题指导】代入→分段函数的解析式→求导→单调性求最值→A正确；对参数进行分类讨论→解析式→求导→单调性→B正确；取特殊值→当时，→C错误；函数图象→交点个数→不等式→→D正确.
【解析】（1）当时，可得则；
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减，如图（a）；
当时，，选项A正确；
图（a） 图（b） 图（c） 图（d）
（2）当时，易知
①当时，恒成立，单调递增，如图（b）；
②当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，如图（c）；
（3）当时，易知
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；如图（d）
综上所述，在上单调递增，选项B正确；
当时，不一定成立，比如时，，选项C错误；
只有时，的图象与轴可能有三个交点，
此时解得，选项D正确，
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在中，，，，则 .
【答案】
【解析】由正弦定理，得，
解得，又，所以，即.
13．若函数的图象与直线有两个交点，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】函数是偶函数，且，
当且仅当时等号成立，此时，
因为的图象与直线有两个交点，所以的最小值为.
14．已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则 ；若没有经过点，则的周长为 .
【答案】 ；
【解题指导】当直线经过点且垂直于轴时→线段→当直线不经过点时由圆与直线相切的位置关系计算
【解析】设，易知长半轴长，离心率；
设与圆相切于点，若垂直于轴，此时与重合，则有，
所以，得，
此时直线，将代入得，所以.
若没有经过点，设，，
由椭圆性质和题意可知，，所以，
.
由椭圆方程得，
代入上式有.
，
则，
同理，所以的周长.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下：
出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行
频数 54 27 38 42 18 21
用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：
(1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和；
(2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.
【解】（1）第一步：记“一位参加活动的游客低碳出行”为事件，根据题中的表格求出
记“低碳出行”为事件，估计. …………………………………………2分
第二步：确定随机变量X服从二项分布,根据公式求出及
则 …………………………………………3分
， …………………………………………5分
； …………………………………………7分
（2）第一步：记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B，并求出，，.
由（1）知，则有，
记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件，
由题意，， …………………………………………9分
第二步：根据全概率公式求出
所以.…………………………………………13分
16．（本小题满分15分）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：.
【解】（1）第一步：求，
， …………………………………………1分
，则， …………………………………………3分
第二步：根据直线的点斜式方程求出切线方程
曲线在点处的切线方程为. …………………………………………5分
（2）解法1： 第一步：求的定义域
定义域为. …………………………………………6分
第二步：证明当时恒成立
①当时，，，则，即；…………………………7分
第三步：当时，对函数求导
②当时，. ……………………………………8分
第四步：令，对求导，确定的单调性，证明
设，，
由于均在上单调递增，故在上单调递增，，
所以， ………………………………………10分
第五步：确定函数在上单调递增，从而证明
所以在上单调递增，，，即， ……………………………12分
所以在上单调递增，，则，……………………………………14分
第六步：下结论
综上所述，. …………………………………………15分
解法2：第一步：求的定义域
定义域为. …………………………………………7分
第二步：将变形为
要证，只需证，只需证， …………………………………………10分
第三步：对函数求导，并确定其单调性和最值
令，，，
当，，单调递减；
当，，单调递增，
， …………………………………………12分
第四步：对函数求导，并确定其单调性和最值
，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
， …………………………………………14分
第五步：问题得证
综上所述，，也就是，即……………………………………15分
【方法规律】利用导数比较大小或者证明的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
17．（本小题满分15分）如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点.
(1)求证；平面；
(2)若，，，求平面与平面所成角的余弦值.
【解】（1）第一步：作辅助线,证明四边形为平行四边形
取的中点为，连接，.
点，分别是，的中点，
是的中位线，即，，
在菱形中，，.
，，即四边形为平行四边形， …………………………………………2分
第二步：列举与平面平行的条件，证出结论
则， …………………………………………3分
又平面，平面，平面.…………………………………………5分
（2）第一步：连接，，证明平面
连接，，
，，，平面，平面，
平面， …………………………………………6分
第二步：证明，从而得到两两垂直的三条直线
又平面，， …………………………………………7分
，
又，则，所以.
即直线，，两两垂直. …………………………………………8分
第三步：建立空间直角坐标系，并写出相关点和向量的坐标
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，………………………………………9分
，，，.………………………10分
第四步：求平面和平面的法向量
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由得取. …………………………………………11分
由得取. …………………………………………12分
第五步：求平面与平面夹角的余弦值
设平面与平面所成角为，
则， …………………………………………14分
即平面与平面所成角的余弦值为. …………………………………………15分
18．（本小题满分17分）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.
(1)求，，，；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解题指导】（1），，公差为2的等差数列→，，公差为4的等差数列→求，，，
（2），，成等差数列→→分与两种情况求解；
（3）等比中项的性质→结合通项公式求解即可.
【详解】（1）由题意，，，成等差数列，
公差为2；，，成等差数列，公差为4. …………………………………………1分
则，，，.………………………………5分→
（2）第一步：根据，，成公差为的等差数列，得
由题意，. …………………………………………6分
第二步：求出当为奇数时的通项公式
当，时，
，……………………………………8分
且满足上式，所以当为奇数时，. ………………………………9分
第三步：求出当为偶数时的通项公式
当时，.…………………………11分
第四步：总结
所以 …………………………………………12分
（3）第一步：写出结论
存在时，使得，，，成等比数列
证明如下： …………………………………………13分
第二步：表示出
由（2）可得，，…………………14分
第三步：根据，求出
假设，，成等比数列，
则， …………………………………………15分
化简得，所以，即， …………………………………………16分
第四步：验证并总结
此时，所以当时，，，，成等比数列.……………17分
19．（本小题满分17分）已知集合，，设函数.
(1)当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由；
(2)已知，求函数是常数函数的概率；
(3)写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由.
【解题指导】（1）分情况讨论→诱导公式→同角三角函数关系式→二倍角公式化简函数→常数函数
常数函数→和差角公式→三角函数方程→古典概型概率；
（3）常数函数→三角恒等变换→分情况讨论→找充分条件.
【详解】（1）当时，，
此时是常数函数；
当时，
，此时不是常数函数. …………………………………………2分
（2）第一步：设，，对函数降幂
设，不妨令.
………………4分
第二步：确定函数是常数函数时集合中的元素满足的条件
若函数是常数函数，则………………………………………5分
则，
得，所以，
得或，，
所以或，， …………………………………………6分
同理或，，或，，…………7分
则① …………………8分
第三步：求出从集合中任取3个元素的所有可能情况种数
集合共有13个元素，从中任取3个元素组成集合，
共个， …………………………………………9分
第四步：求符合条件的集合的可能情况种数
而满足①的集合有，，，，，共5个，
第五步：求函数是常数函数的概率
则使得函数是常数函数的概率为. …………………………………………10分
（3）第一步：求函数是常数函数的条件
不妨令，
因为
，
若函数是常数函数，则
得，所以，
得，，所以，，………………………………………12分
第二步：根据是常数函数的条件，确定为偶数时，是常数函数的一个充分条件
①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值， …………………………………………13分
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是……14分
第三步：由和是常数函数的条件，确定为奇数时，是常数函数的一个充分条件
②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和
与组两项（，）的和，
每一组为定值时，也为定值， …………………………………………15分
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是
. …………………………………………16分
第四步：总结
综上所述，当为偶数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
；
当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
. ……………………………………………………17分
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2026年高考冲刺卷（一）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若双曲线满足，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为( ).
A． B．
C． D．
6．已知向量，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ).
A． B． C． D．
8．一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．24
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数满足，则（ ）
A．可以是
B．若为纯虚数，则的虚部是2
C．
D．
10．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．
B．
C．当时，取得最小值
D．记，则数列前项和为
11．已知函数，则（ ）
A．当时，在上的最大值为
B．在上单调递增
C．当时，
D．当且仅当时，曲线与轴有三个交点
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在中，，，，则 .
13．若函数的图象与直线有两个交点，则的最小值为 .
14．已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则 ；若没有经过点，则的周长为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下：
出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行
频数 54 27 38 42 18 21
用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：
(1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和；
(2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.
16．（本小题满分15分）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：.
17．（本小题满分15分）如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点.
(1)求证；平面；
(2)若，，，求平面与平面所成角的余弦值.
18．（本小题满分17分）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.
(1)求，，，；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．（本小题满分17分）已知集合，，设函数.
(1)当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由；
(2)已知，求函数是常数函数的概率；
(3)写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由.
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