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2026年高考冲刺卷（二）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考查点】集合交集运算
【解析】，故选：A
【一题多解】因为，所以，可排除C选项和D选项；因为,所以，可排除A选项，故选B.
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考查点】复数的运算，共轭复数
【解析】因为，所以.故选：A
3．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考查点】函数图像的辨析.
【解析】由，
可知是奇函数，且定义域为，排除BD；
当时，，排除A.
故选：C
4．已知向量，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考查点】平面向量的数量积
【解析】由得，所以，
因为，，所以，解得，故选B
【一题多解】依题意,令,则在中，，所以，因为，所以，故选B.
5．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考查点】空间几何体的表面积
【解析】圆锥的底面半径为2，所以圆锥底面周长为，且侧面展开图为半圆， 所以,
即圆锥的母钱长.所以圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为,
所以该圆锥的表面积为.故选：C.
6．已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（ ）
A．27 B．39 C．81 D．120
【答案】D
【考查点】等比数列基本量运算.
【解析】由题知，，，因为数列成等比数列，
所以，所以，故选D.
【一题多解】设等比数列的公比为，由题意可得
所以，则
，则，所以，故选D.
7．已知，是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考查点】三角恒等变换
【解题指导】和→与表示为，→两角和与差的正弦公式→化为齐次式求值
【解析】因为，是方程的两个实数根，
所以，，
因为
.
故选：D
8．已知动点到两个定点，的距离之比为，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考查点】直线与圆的位置关系，最值问题
【解题指导】 设→的轨迹方程→分析与的关系的最小值
【解析】设，由题可知，
整理得，圆心为，半径为.
圆的圆心为，半径为2.
如图，因为，
所以，当取得最小值时，有最小值，
由图可知，的最小值为，
所以的最小值为.故选A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
【答案】BD
【考查点】排列组合
【解析】对于A，法一：甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误；
法二：甲、乙、丙按从左到右的顺序排列,则先排甲、乙、丙,丁和戊两人插空,不同的排法共有 4x5=20(种),故 A错误.
对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确；
对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误；
对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有种，故D正确；
故选：BD
10．已知一组样本数据，其中为正实数.满足，下列说法正确的是（ ）
A．样本数据的第50百分位数为
B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变
C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数
D．样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80
【答案】BCD
【考查点】用样本估计总体
【解析】A：，故第50百分位数为，错；
B：若去掉的数据为，则数据的极差不变，对；
C：数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，
由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，
同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，对；
D：由，则，
所以，故这组样本数据的总和等于，对.
故选：BCD
【规律方法】由频率（频数）分布表求百分位数的方法
（1）确定p%分位数所在区间[a，b）（并计算小于a的所有数据的频率fa和小于b的所有数据的频率fb），即p%∈（fa，fb）；
（2）计算p%分位数为a＋（b－a）×（其中b－a为组距，fb－fa为数据落在[a，b）内的频率）.
11．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ACD
【考查点】函数的奇偶性，周期性，对数函数的性质及运算
【解析】因为函数为偶函数，所以.
因为，令，
则，故，所以A正确；
所以，即.
【技巧】对f（x）定义域内任一自变量x：
（1）若f（x＋a）＝f（x），则T＝a（a＞0）；（2）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）；
（3）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）；
所以函数的周期为2.
当时，，所以，所以B错误；
，
因为，所以，所以C正确；
因为，函数周期为2，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在的二项展开式中，项的系数为 ．
【答案】
【考查点】二项式定理
【解析】的二项展开式的通项为，
当时，系数为.
13．已知函数，，若函数的值域为，则 .
【答案】/
【考查点】三角函数的性质
【解析】因为，则，
【易错点拨】对于函数y＝sin（ωx＋φ），y＝cos（ωx＋φ）及y＝tan（ωx＋φ）的性质，应将ωx＋φ看作一个整体，利用整体思想求解.
则，则，
即，则.
14．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为72cm的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支，另一个反射镜弧所在的曲线为抛物线.已知，是双曲线的两个焦点，且关于点对称，其中同时又是抛物线的焦点，若尺寸满足，，，则双曲线的方程为 ，抛物线的方程为 .
【答案】
【考查点】双曲线、抛物线方程及其应用
【解析】因为该反射式望远镜筒长为72cm
所以.
因为，，
所以，.
由题意可知双曲线的中心在坐标原点，抛物线的顶点是点，焦点是，
设双曲线方程为，抛物线方程为.
则，
解得，，
所以双曲线方程为：，抛物线方程为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．(本小题满分13分）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若为上一点，且，求的面积.
【考查点】正弦、余弦定理解三角形
【解题指导】（1）余弦定理求AC→由正弦定理可解；
（2）→→三角函数定义求BD→三角形面积公式求解.
【解】（1）由余弦定理可得：
，
则， ……………………………………3分
又因为，即，
所以. ……………………………………6分
（2）因为，且为锐角，
所以，从而， ……………………………………8分
在中，.
又，，所以， ……………………………………10分
∴. ……………………………………13分

16．(本小题满分15分）如图，在三棱锥中，平面，，.

(1)求证：平面；
(2)若是的中点，求与平面所成角的余弦值.
【考查点】线面垂直的判定，线面角
【解题指导】（1）线面垂直的性质→，→勾股定理证明→平面
（2）（方法一）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
（方法二）过点作，垂足为，连接→平面→为与平面所成角的平面角→解即可.
【解】（1）因为平面，平面，所以，
又，，
所以， ……………………………………2分
在中，因为，所以，
所以， ……………………………………3分
因为平面，平面，
所以， ……………………………………4分
又因为平面，
所以平面； ……………………………………5分
（2）（方法一）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，，， ……………………………………6分
所以，，， …………………………………7分
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以， ……………………………………10分
设与平面所成角为，
则， ……………………………………13分
，∴，
即与平面所成角的余弦值为． ……………………………………15分
（2）（方法二）过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以， ……………………………………6分
又平面，
所以平面，
则为与平面所成角的平面角， ……………………………………8分
在中，， ……………………………………10分
在中，， ……………………………………11分
∴在中，，……………………………………12分
故， ……………………………………13分
即与平面所成角的余弦值为. ……………………………………15分

【规律总结】利用空间向量求线面角的解题步骤
17．(本小题满分15分）某单位组织“乡村振兴”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该选手比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知选手张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若选甲、乙两类问题是等可能的，求张某至少答对一道问题的概率；
(2)如果答题顺序由张某选择，以累计得分多为决策依据，说明张某应选择先回答哪类问题.
【考查点】全概率公式，离散型随机变量的期望
【解题指导】根据全概率公式→张某一题都没答对的概率→张某至少答对一道问题的概率
(2)根据张某先回答甲类或乙类问题进行分类讨论→计算出两者累计得分的期望值→作出决策
【解】（1）设 “张某选择甲类问题”， “张某答对所选问题”，
“张某至少答对一道问题”，
“张某选择乙类问题”，“张某未答对所选问题”
“张某一道问题都没答对”
由题意得，，
，，，， ……………………………………3分
由全概率公式，得
……………………………………6分
∴. ……………………………………7分
（2）根据条件可知：若张某先回答甲类问题，
则张某的累计得分X的可能值为0，30，80， ……………………………………8分
∵张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，
∴；；
， ……………………………………10分
则的分布列为
0 30 80
0.1 0.27 0.63
……………………………………12分
当张某先回答甲类问题时，累计得分的期望为：
， ……………………………………13分
若张某先回答乙类问题，则张某的累计得分的可能值为，
同理可求；；，
则此时累计得分的期望为，……………………………………14分
因为.
所以，以累计得分多为决策依据，张某应选择先回答甲类问题． ……………………………………15分
【规律方法】利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键
（1）建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆；
（2）分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
（3）求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征；
（4）做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策.
18．设(本小题满分17分）函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【考查点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的恒成立问题
【解题指导】（1）→求→函数的单调区间；
（2）确定定义域→求→用导数求得函数单调性→函数的极小值也是最小值→恒成立→不等式→求得的取值范围.
【解】（1）解：当时，函数， ……………………………………1分
其定义域为，
则， ……………………………………3分
令，解得， ……………………………………4分
当时，，所以在区间上单调递减，
当时，，所以在区间上单调递增， ……………………7分
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. …………………………8分
（2）解：由函数，可得的定义域为， ………………………9分
则， ……………………………………10分
因为，
则当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，……………………………13分
所以在处取得极小值，且极小值为，也是最小值，
要使得恒成立，则，解得， ……………………………………16分
所以的取值范围为. ……………………………………17分
【规律方法】根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
19．(本小题满分17分）已知椭圆经过，两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点且斜率为的直线交于不同的两点，，过点且斜率为的直线与直线交于点，延长线段到点，使得，证明：直线与直线交点为定点.
【考查点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定点问题
【解题指导】（1）设的方程为→代入点运算求解即可；
设，→直线与椭圆方程联立→根与系数关系→直线的方程→点的坐标→点的坐标→直线与直线的交点→定点
【解】（1）设的方程为， ……………………………………1分
代入和两点得， ……………………………………3分
解得，， ……………………………………4分
所以的方程为 ……………………………………5分
（2）设过点的直线方程为，
联立方程，消去得， ……………………………………7分
则，解得或，………………………………8分
设，，则，， ……………………………………9分
设过点且斜率为的直线为，
令，可得，则， ……………………………………10分
因为，即为的中点，则，
可得直线的斜率为，直线为，
令，可得，①…………………12分
将，代入①式，得
，② ………………………14分
将，代入②式，
得，……………………………………16分
所以直线与直线交点为定点. ……………………………………17分
【归纳总结】过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
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2026年高考冲刺卷（二）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（ ）
A．27 B．39 C．81 D．120
7．已知，是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知动点到两个定点，的距离之比为，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
10．已知一组样本数据，其中为正实数.满足，下列说法正确的是（ ）
A．样本数据的第50百分位数为
B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变
C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数
D．样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80
11．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在的二项展开式中，项的系数为 ．
13．已知函数，，若函数的值域为，则 .
14．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为72cm的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支，另一个反射镜弧所在的曲线为抛物线.已知，是双曲线的两个焦点，且关于点对称，其中同时又是抛物线的焦点，若尺寸满足，，，则双曲线的方程为 ，抛物线的方程为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．(本小题满分13分）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若为上一点，且，求的面积.
16．(本小题满分15分）如图，在三棱锥中，平面，，.

(1)求证：平面；
(2)若是的中点，求与平面所成角的余弦值.
17．(本小题满分15分）某单位组织“乡村振兴”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该选手比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知选手张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若选甲、乙两类问题是等可能的，求张某至少答对一道问题的概率；
(2)如果答题顺序由张某选择，以累计得分多为决策依据，说明张某应选择先回答哪类问题.
18．设(本小题满分17分）函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
19．(本小题满分17分）已知椭圆经过，两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点且斜率为的直线交于不同的两点，，过点且斜率为的直线与直线交于点，延长线段到点，使得，证明：直线与直线交点为定点.
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