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八年级下册数学期中复习题及期中考试题
知识点：
第十九章二次根式单元知识点
（1）①一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.
②如果x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用(a≥0)表示.
③我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
（2）①一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式. “”称为二次根号.
②注意：a可以是数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是被开方数a必须大于或等于0.
③两个必备特征
（3）二次根式有意义的条件(被开方数≥0)
（4）①单个二次根式如有意义的条件:A≥0；
②多个二次根式相加如++...+有意义的条件：
③二次根式作为分式的分母如有意义的条件A＞0；
④二次根式与分式的和如+有意义的条件:A≥0且B≠0.
（5）（）2（a≥0）的性质：①一般地，（）2＝a(a≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
②注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.
（6）的性质：①==，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
（7）二次根式的双重非负性：具有双重非负性：①a≥0:②≥0.
②()2与的区别与联系
1.区别：①取值范围不同 ②运算顺序不同 ③运算结果不同：()2=a，=
2.联系：①()2与均为非负数；②当a≥0时，（)2=
（8）代数式的定义：用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把
数 或 表示数的字母 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
（9）列代数式的要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
（8）①二次根式的乘法法则:一般地，对于二次根式的乘法是·=（a≥0，b≥0）
②二次根式相乘，___根指数_____不变， 被开方数 相乘.
③语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
（注意：a,b都必须是非负数.）
（9）二次根式的乘法法则的推广：
①多个二次根式相乘时此法则也适用，即··...=（a≥0，b≥0，c≥0，...n≥0）
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即m·n=（mn）（a≥0，b≥0）
（10）比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
（11）二次根式乘法法则的逆用：二次根式乘法法则的逆用：=·(a≥0,b≥0)
（语言叙述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积.）
（12）化简二次根式的步骤：
①.把被开方数分解因式(或因数).
②2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积.
③.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式=,把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.
（13）二次根式的除法法则:文字叙述:=(a≥0,b>0)
（算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.）
（14）当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得=(a≥0,b>0,n≠0)
（15）商的算术平方根的性质：我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:
=(a≥0,b>0)
（语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.）
（16）最简二次根式满足如下两个特点：
①被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
③我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
（简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.）
（17）把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.
（18）分母有理化一般经历如下三步：
“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)移到根号外；
“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；
“三化”，即化简计算．
（19）二次根式比较大小的方法
(20)平方法：若两个二次根式同号，可先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可.
(21)比较被开方数法：逆用公式=a(a≥0)，先把根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，在比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.
(22)作商法：同号两数相除，比较商与1的大小，如当a,b都是正数时，
①若>1，则a>b. ②若=1,则a=b.③若<1,则a（23）将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.
（注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.）
（24）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：m+n=(m+n)
(25)二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
(26)加减法的运算步骤：
①化——将非最简二次根式的二次根式化简；
②找——找出被开方数相同的二次根式；
③并——把被开方数相同的二次根式合并.
（口诀：一化简二判断三合并）
（27）二次根式的混合运算及应用
①.运算种类：
二次根式的加，减，乘，除，乘方(或开方)的混合运算.
②.运算顺序：
无括号的先乘方，再乘除，最后加减.
有括号的先算括号里面的(或先去掉括号）.
同级运算，从左到右进行计算.
③.运算依据：
实数的运算律(交换律，结合律，分配律），多项式乘法法则和乘法公式(平方差公式，完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
（28）利用乘法公式进行二次根式的运算
①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
②完全平方公式：(a－b)2=a2－2ab+b2;(a+b)2=a2+2ab+b2;
第二十章勾股定理单元知识点
（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
（2）公式变形：a= b= c=
(3)利用勾股定理进行计算:
①.已知两边求第三边：
已知两条直角边求斜边，直接代入公式计算斜边长度.
已知斜边和一条直角边，求另一条直角边.
②.解决实际问题中的应用：比如在建筑、测量等领域。如要测量一个池塘两点间的距离，可构造直角三角形，通过测量直角边长度利用勾股定理计算斜边（两点间距离）.
③.勾股定理的变形形式：a2=c2 b2,b2=c2 a2这些变形在计算直角边时很有用.
（4）勾股定理应用的常见类型：
①已知直角三角形的任意两边长求第三边；
②已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长；
③证明包含由平方(算术平方根）关系的几何问题；
④求解几何体表面上的的最短路径问题；
⑤构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产，生活中的实际问题.
（5）求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
（6）利用勾股定理表示无理数的方法:
①利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
②以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点.
在原点左边的点表示是负无理数；在原点右边的点表示是正无理数.
（7）折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
①设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；
②用已知含x的代数式表示出其他线段长；
③在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；
④解这个方程，从而求出所求线段长.
（8）勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
（9）特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
（10）满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
（11）常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
（12）勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
(13)题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
(14)判断三角形形状
①.若已知一个三角形三边的长度，可通过勾股定理的逆定理来判断它是否为直角三角形.
②.对于一些复杂的边长表达式，同样可先分别计算较短两边的平方和与最长边的平方，看是否相等来判断形状.
若相等是直角三角形；若较短两边平方和大于最长边平方，是锐角三角形；反之是钝角三角形.
第二十一章四边形单元知识点
（1）四边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首位顺次相接组成的图形叫作四边形.
（2）凸四边形:画出四边形任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧；凹四边形:被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧
凸四边形 凹四边形
（如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.）
（3）四边形的不稳定性：指的是确定四边形的各条边的长，但并不能确定四边形的形状和大小.
（4）多边形的定义：在平面内，由n（n≥3）条线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形.多边形有几条边就叫作几边形，其中三角形是最简单的多边形.
（5）n边形的一个顶点可作出（n-3）条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形，n(n≥3)边形共有对角线条.
（6）正多边形必备两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等，二者缺一不可.
（7）多边形的内角和定理：n边形的内角和=(n-2)×180°.
（8）多边形内角和公式的常见应用
①利用多边形的边数求内角和，或者利用多边形的内角和求边数；
②正n边形每个内角的度数;
（9）多边形的截角问题：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.
①从所截角的两边截，边数增加1.
②从所截角的相邻两角的顶点截，边数减少1.
③从所截角的一边及相邻角的顶点截，边数不变.
（注意：多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和增加180°.）
（10）多边形的外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数无关.
（11）正n边形的每个内角都相等,所以它的每个外角也都相等,每一个外角的度数等于.
（12）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
（13）平行四边形用“” 表示，如图，平行四边形ABCD，记作ABCD ( 要注意字母顺序).
（14）平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．
（15）两条平行线之间的平行线段相等.
（16）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
（17）平行四边形的对角线互相平分.
（18）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
（19）过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
（20）平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
（21）过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
（22）面积公式：平行四边形的面积=底×高，用字母表示为S = ah（其中S表示面积，a表示底，h表示高）.
（注意要点：计算面积时，底和高要相对应.比如一个平行四边形有不同的底和高，在计算时要准确使用对应的一组底和高的值.）
（23）平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
（24）平行四边形的判定：
①两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（注意：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也肯能是等腰梯形）
（25）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
（26）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
（27）三角形的中位线与平行四边形的综合运用
①.在复杂的几何图形中，先找出三角形的中位线，利用中位线的性质得到线段的平行关系和数量关系.再看这些关系是否满足平行四边形的判定条件.
②.若已知平行四边形，可通过平行四边形的性质得到线段平行和相等的条件，进而找出潜在的三角形中位线，从而建立起两者之间的联系解决问题.
（28）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也叫做长方形.
（29）矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.
（30）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（31）当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
（32）矩形的判定
①对角线相等的平行四边形是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形.
③有三个角是直角的四边形是矩形
（33）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
（34）菱形的性质：对称性：是轴对称图形；四条边都相等；对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
（35）菱形的面积 = 底×高=对角线乘积的一半
（36）菱形的面积计算有如下方法：
①一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
②四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
③两条对角线长度乘积的一半．
（37）菱形的判定
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
③四条边相等的四边形是菱形
（38）菱形的性质与判定的综合运用
①.在求解菱形中的线段长度时，结合菱形的边相等和对角线互相垂直平分的性质.
②.在证明问题中，常常需要灵活运用性质和判定.
如证明一个四边形是菱形，可能先证明它是平行四边形（通过对边平行等条件），再证明对角线垂直或者一组邻边相等；或者直接证明四条边相等.
（39）正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
（40）性质：①.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
②.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
（41）正方形的判定
①对角线互相垂直的矩形是正方形.
②对角线相等的菱形是正方形.
八年级下册数学期中考试试题
（满分120分钟 时间100分钟）
一、选择题（每小题 ３ 分，共 ３０ 分）
１．下列根式中属于最简二次根式的是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２．下列运算正确的是 （ ）
Ａ．＝－２ Ｂ．＝2
Ｃ．２＝4 Ｄ．＋＝
３．勾股数是指可以作为一个直角三角形三边长的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是 （ ）
Ａ．０．６，０．８，１ Ｂ．１，３，１０
Ｃ．５，１０，１２ Ｄ．３，４，５
４．如图，一张多边形纸片的内角和为１６２０°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为 （ ）
Ａ．１２ Ｂ．１１ Ｃ．１０ Ｄ．９
５．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ 为ＡＢ边上的中线，延长ＣＢ至点Ｅ，使ＢＥ＝ＢＣ，连接 ＤＥ，Ｆ为ＤＥ的中点，连接ＢＦ．若ＡＣ＝８，ＢＣ＝６，则ＢＦ的长为 （ ）
Ａ．２ Ｂ．２.５ Ｃ．３ Ｄ．４
６．如图，在 ３×３ 的网格中，每个小正方形的边长均为 １，点 Ａ，Ｂ，Ｃ 都在格点上，若 ＢＤ是△ＡＢＣ的高，则 ＢＤ 的长为 （ ）
Ａ． Ｂ．９ Ｃ． Ｄ．
７．如图，在菱形 ＡＢＣＤ 中，∠Ｂ ＝ ４５°，ＡＢ＝ ６，点 Ｅ 在边 ＢＣ 上，连接 ＡＥ，将△ＡＢＥ 沿 ＡＥ折叠，若点 Ｂ 落在 ＢＣ 延长线上的点 Ｆ 处，则 ＣＦ 的长为 （ ）
Ａ．２ Ｂ．6－3 Ｃ．2 Ｄ．6－6
８．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，且这两个小正方形的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２，已知 Ｓ１＝ ４８，Ｓ２＝ ３２，重叠部分的面积为 ８，则空白部分的面积为 （ ）
Ａ．16－16 Ｂ．8－6 Ｃ．16－6 Ｄ．6－8
９．在如图所示的 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｇ分别为边ＡＤ，ＢＣ的中点，点Ｆ，Ｈ分别在边ＡＢ，ＣＤ上移动（不与端点重合），且满足ＡＦ＝ＣＨ，则下列为定值的是 （ ）
Ａ．四边形ＥＦＧＨ 的周长 Ｂ．∠ＥＦＧ 的大小
Ｃ．四边形ＥＦＧＨ 的面积 Ｄ．线段 ＦＨ 的长
１０．如图，在菱形ＡＢＣＤ 中，∠ＢＡＤ＝ ６０°，ＡＣ与ＢＤ交于点 Ｏ，Ｅ 为 ＣＤ 延长线上的一点，且 ＣＤ ＝ ＤＥ，连接 ＢＥ，分别交 ＡＣ，ＡＤ 于点 Ｆ，Ｇ，连接 ＯＧ，有下列结论：①ＯＧ ＝ＡＢ；②与△ＤＥＧ 全等的三角形共有 ５ 个；③四边形 ＯＤＥＧ 与四边形 ＯＢＡＧ 的面积相等；④以点 Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｅ 为顶点的四边形是菱形．其中一定成立的是 （ ）
Ａ．①③④ Ｂ．①②③ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④
二、填空题（每小题 ３ 分，共 ２４ 分）
１１．请写出一个使在实数范围内有意义的ｘ的值： ．
１２．若与最简二次根式３ａ－１是可以合并的二次根式，则ａ＝ ．
１３．如图，把一块含 ４５°角的三角尺放入 ２×４ 的网格中（小正方形的边长为 １），三角尺三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示－１ 的点重合，则数轴上点 Ａ 所表示的数为 ．
１４．如图，用一条宽度处处相等的足够长的纸条打一个结（如图 １），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图 ２ 所示的正五边形 ＡＢＣＤＥ．在图 ２ 中，∠ＡＣＤ 的度数为 ．
１５．我们规定：对于任意的正数 ｍ，ｎ 的运算“Φ”：当 ｍ＜ｎ 时，ｍΦｎ ＝2＋；当 ｍ≥ｎ 时，ｍΦｎ＝ ２－，其他运算符号意义不变．按上述规定，计算（３Φ２）－（８Φ１２）的结果为 ．
１６．如图，在矩形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ ８，ＡＤ＝ ６，点 Ｅ，Ｆ 分别是边 ＡＤ，ＣＤ 上的动点，连接ＢＥ，ＥＦ，点 Ｇ 为 ＢＥ 的中点，点 Ｈ 为 ＥＦ 的中点，连接 ＧＨ，则 ＧＨ 的最大值是 ．
１７．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＡＢＣ＝ ９０°，ＡＢ＝ ６，ＢＣ ＝ ８．点 Ｐ 为边 ＡＣ 上异于 Ａ 的一点，以ＰＡ，ＰＢ 为邻边作 ＰＡＱＢ，则线段 ＰＱ 的最小值是 ．
１８．如图，ＡＣ 为正方形ＡＢＣＤ 的对角线，ＣＥ 平分∠ＡＣＢ，交 ＡＢ 于点 Ｅ，把△ＣＢＥ 绕点 Ｂ 按逆时针方向旋转 ９０°得到△ＡＢＦ，延长 ＣＥ交 ＡＦ 于点 Ｍ，连接 ＤＭ，交 ＡＣ 于点 Ｎ．给出下列结论：① ＣＭ ⊥ ＡＦ； ② ＣＦ ＝ ＡＦ； ③ ∠ＣＭＤ ＝ ４５°；④＝－1．以上结论正确的是 ．（填写序号）
三、解答题（共 ６６ 分）（答案含评分细则）
１９．（６ 分）计算：
（１）＋－×＋．
（２）（＋）（－）－（－１）２．
２０．（８分）如图，某社区有一块四边形空地 ＡＢＣＤ，ＡＢ ＝ １５ ｍ，ＣＤ ＝ ８ ｍ，ＡＤ ＝ １７ ｍ．从点 Ａ 修了一条垂直于 ＢＣ 的小路 ＡＥ（垂足为Ｅ），Ｅ 恰好是 ＢＣ 的中点，且 ＡＥ＝ １２ ｍ．
（１）求边 ＢＣ 的长．
（２）求这块空地的面积．
２１．（１０ 分）观察与思考：
①2＝；②3＝；③4＝．
式①验证：2＝===；
式②验证：3＝===．
（１）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程．
（２）猜想5＝ ．
（３）试用含 ｎ（ ｎ 为自然数，且 ｎ≥２） 的等式表示这一规律，并加以验证．
２２．（１０分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮 Ａ，一端拴在滑块 Ｂ 上，另一端拴在物体 Ｃ 上，滑块 Ｂ 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 Ｂ 的左右滑动来调节物体 Ｃ 的升降．
实验初始状态如图 １ 所示，物体 Ｃ 静止在直轨道上，物体 Ｃ 到定滑轮 Ａ 的垂直距离是８ ｄｍ，ＡＢ＋ＢＣ＝ １６ ｄｍ． （实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（１）求绳子的总长度．
（２）如图 ２，若物体 Ｃ 升高 ７ ｄｍ，求滑块 Ｂ 向左滑动的距离．
２３．（１０分） 如图，Ｅ，Ｆ 是正方形ＡＢＣＤ 的对角线 ＢＤ 上的两点，ＢＤ ＝ １０，ＤＥ ＝ ＢＦ，连接 ＡＥ，ＡＦ，ＣＥ，ＣＦ．
（１）求证：△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ．
（２）若四边形ＡＥＣＦ 的周长为4，求 ＥＦ 的长．
２４．（１０分） 如 图，平行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，过点 Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ，过点 Ｃ作ＣＥ∥ＢＤ，ＤＥ 与 ＣＥ 交于点 Ｅ，ＯＥ＝ＣＤ．
（１）求证： ＡＢＣＤ 是菱形．
（２）若 ＤＥ＝ ３，∠ＣＡＥ＝ ３０°，求 ＢＤ 的长．
２５．（１２分）我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．
如图 １，四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°，则四边形 ＡＢＣＤ 叫作“等补四边形”．
（１）①在等补四边形 ＡＢＣＤ 中，若∠ＤＣＢ ＝ ５０°，则∠ＤＡＢ＝ ．
②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是 ．
Ａ．平行四边形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．正方形
（２）如图 １，在等补四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝ ＡＤ，连接ＡＣ，ＣＡ 是否平分∠ＢＣＤ？ 请说明理由．
（３）如图 ２，在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，ＡＤ＝ ＣＤ，ＢＣ＞ＢＡ．求证：四边形 ＡＢＣＤ 是等补四边形．
（４）将斜边相等的一副三角尺按图 ３ 所示的方式放置，其中含 ４５°角的三角尺 ＡＢＣ 的斜边与含 ３０°角的三角尺 ＡＤＣ 的斜边重合，Ｂ，Ｄ 位于 ＡＣ 的两侧，其中∠ＡＣＤ ＝ ３０°，若 ＡＢ ＝ ＢＣ ＝４，连接 ＢＤ，求 ＢＤ 的长．
答案
１．Ｃ
２．Ｂ
３．Ｄ
４．Ａ
５．Ｂ
６．Ｄ
７．Ｄ
８．Ａ
９．Ｃ
１０．Ａ
１１．３（答案不唯一）
１２．２
１３．2－1
１４．７２°
１５．－5
１６．５
１７．
１８．①③④
１９．解析 （１）＋－×＋
＝5＋3－＋2
＝8＋． ……………………………… （３ 分）
（２）（＋）（－）－（－１）２
＝（３－２）－（6－2）
＝1－6＋2
＝2－5． ………………………………… （６ 分）
２０．解析 （１）∵ ＡＥ⊥ＢＣ，
∴ ∠ＡＥＢ＝ ９０°．
∵ 在 Ｒｔ△ＡＢＥ 中，ＡＢ＝１５ｍ，ＡＥ＝１２ｍ，
∴ＢＥ＝=９（ｍ）． （２ 分）
∵ Ｅ 是 ＢＣ 的中点，
∴ ＢＣ＝ ２ＢＥ＝ １８ ｍ． （３ 分）
（２）168
２１．解析（１）4＝===． …… （３分）
（２）．……………………… （６ 分）
（３）n＝==． ……………… （10分）
２２．解析 （１）设 ＡＢ＝ ｘ ｄｍ，
∵ ＡＢ＋ＢＣ＝ １６ ｄｍ，
∴ ＢＣ＝ （１６－ｘ）ｄｍ， ……………………… （１ 分）
在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，由勾股定理得 ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２，
∴ ８２＋（１６－ｘ）２＝ｘ２， ……………………… （３ 分）
解得 ｘ ＝１０，
∴ＡＢ＝ １０ ｄｍ， ……………… （５ 分）
∴ 绳子的总长度＝ＡＢ＋ＡＣ＝１０＋８＝１８（ｄｍ）．（６ 分）
（２）如图，当物体Ｃ升高 ７ｄｍ 时，ＡＢ＝１０＋７＝１７（ｄｍ），
在 Ｒｔ△ＡＢＤ 中，由勾股定理得ＢＤ＝=１５（ｄｍ），
由（１）得 ＥＤ＝１６－１０ ＝ ６（ｄｍ），
∴ ＢＥ＝ＢＤ－ＥＤ＝１５－６ ＝９（ｄｍ）．
答：滑块 Ｂ 向左滑动的距离为 ９ｄｍ． … （１０ 分）
２３．解析 （１）证明：∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为正方形，
∴ ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ，
∴ ∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ， （２ 分）
在△ＡＤＥ 和△ＣＢＦ 中，
∴ △ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）． ……………… （４ 分）
（２）如图，连接 ＡＣ，交 ＢＤ 于点 Ｏ，
∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为正方形，ＢＤ＝ １０，
∴ ＢＤ 垂直平分 ＡＣ，ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＢ＝BD＝ ５，
∴ ＡＦ＝ＣＦ，ＡＥ＝ＣＥ， ……………………… （６ 分）
由（１）知△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ，
∴ ＡＥ＝ＣＦ，
∴ ＡＦ＝ＣＦ＝ ＡＥ＝ＣＥ，
∴ 四边形 ＡＥＣＦ 是菱形，
∴ ＯＦ＝ＯＥ，∴ ＥＦ＝ ２ＯＦ．
∵ 四边形ＡＥＣＦ 的周长为4，
∴ＡＦ＝×4＝， ………………… （８ 分）
∴ 在 Ｒｔ△ＡＯＦ 中，ＯＦ＝=３，
∴ ＥＦ＝２ＯＦ＝６． ………………………… （１０ 分）
２４．解析 （１）证明：∵ＤＥ∥ＡＣ，ＣＥ∥ＢＤ，
∴ 四边形 ＯＣＥＤ 是平行四边形，………… （１ 分）
∵ ＯＥ＝ＣＤ，
∴ 平行四边形 ＯＣＥＤ 是矩形．………（３ 分）
∴ ∠ＣＯＤ＝ ９０°，
∴ ＡＣ⊥ＢＤ，
∴ ＡＢＣＤ 是菱形．………………… （５ 分）
（２）由（１）可知，平行四边形 ＯＣＥＤ 是矩形，
∴ ∠ＯＣＥ＝ ９０°，ＯＤ＝ＣＥ，ＯＣ＝ＤＥ＝ ３， … （６ 分）
∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是菱形，
∴ ＡＣ＝２ＯＣ＝ ６，ＯＢ＝ＯＤ，………………… （７ 分）
∵ ∠ＣＡＥ＝ ３０°，
∴ ＡＥ＝ ２ＣＥ，
设 ＣＥ＝ ｘ，则ＡＥ＝ ２ｘ，
∴在 Ｒｔ△ＡＣＥ 中，ｘ２＋６２ ＝（２ｘ）２，
解得 ｘ ＝2（舍负），
∴ ＣＥ＝2， ……… （９ 分）
∴ ＯＤ＝ＣＥ＝2，
∴ ＢＤ＝２ＯＤ＝． … （１０ 分）
２５．解析 （１）①１３０． ………………………… （１ 分）
详解：∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是等补四边形，
∴ ∠ＤＡＢ＋∠ＤＣＢ＝ １８０°，
∵ ∠ＤＣＢ＝ ５０°，
∴ ∠ＤＡＢ＝ １８０°－５０°＝１３０°．
②Ｄ．……………………………………… （２ 分）
（２）ＣＡ 平分∠ＢＣＤ． ……………………… （３ 分）
理由：如图 １，作 ＡＥ⊥ＢＣ 于点 Ｅ，ＡＦ⊥ＣＤ 交 ＣＤ的延长线于点 Ｆ，
∵ 四 边 形 ＡＢＣＤ 是 等 补 四 边 形，
∴∠Ｂ＋∠ＡＤＣ＝ １８０°，
∵ ∠ＡＤＦ＋∠ＡＤＣ＝ １８０°，
∴ ∠Ｂ＝∠ＡＤＦ，
∵ ∠ＡＥＢ＝∠Ｆ＝ ９０°，ＡＢ＝ ＡＤ，
∴ △ＡＢＥ≌△ＡＤＦ（ＡＡＳ）， ……………… （５ 分）
∴ ＡＥ＝ ＡＦ，
∴ＣＡ平分∠ＢＣＤ． …………… （６ 分）
(3)略
（4）2+2

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