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第二十一章四边形单元知识点及单元练习题
知识点
（1）四边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首位顺次相接组成的图形叫作四边形.
（2）凸四边形:画出四边形任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧；凹四边形:被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧
凸四边形 凹四边形
（如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.）
（3）四边形的不稳定性：指的是确定四边形的各条边的长，但并不能确定四边形的形状和大小.
（4）多边形的定义：在平面内，由n（n≥3）条线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形.多边形有几条边就叫作几边形，其中三角形是最简单的多边形.
（5）n边形的一个顶点可作出（n-3）条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形，n(n≥3)边形共有对角线条.
（6）正多边形必备两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等，二者缺一不可.
（7）多边形的内角和定理：n边形的内角和=(n-2)×180°.
（8）多边形内角和公式的常见应用
①利用多边形的边数求内角和，或者利用多边形的内角和求边数；
②正n边形每个内角的度数;
（9）多边形的截角问题：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.
①从所截角的两边截，边数增加1.
②从所截角的相邻两角的顶点截，边数减少1.
③从所截角的一边及相邻角的顶点截，边数不变.
（注意：多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和增加180°.）
（10）多边形的外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数无关.
（11）正n边形的每个内角都相等,所以它的每个外角也都相等,每一个外角的度数等于.
（12）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
（13）平行四边形用“” 表示，如图，平行四边形ABCD，记作ABCD ( 要注意字母顺序).
（14）平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．
（15）两条平行线之间的平行线段相等.
（16）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
（17）平行四边形的对角线互相平分.
（18）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
（19）过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
（20）平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
（21）过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
（22）面积公式：平行四边形的面积=底×高，用字母表示为S = ah（其中S表示面积，a表示底，h表示高）.
（注意要点：计算面积时，底和高要相对应.比如一个平行四边形有不同的底和高，在计算时要准确使用对应的一组底和高的值.）
（23）平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
（24）平行四边形的判定：
①两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（注意：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也肯能是等腰梯形）
（25）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
（26）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
（27）三角形的中位线与平行四边形的综合运用
①.在复杂的几何图形中，先找出三角形的中位线，利用中位线的性质得到线段的平行关系和数量关系.再看这些关系是否满足平行四边形的判定条件.
②.若已知平行四边形，可通过平行四边形的性质得到线段平行和相等的条件，进而找出潜在的三角形中位线，从而建立起两者之间的联系解决问题.
（28）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也叫做长方形.
（29）矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.
（30）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（31）当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
（32）矩形的判定
①对角线相等的平行四边形是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形.
③有三个角是直角的四边形是矩形
（33）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
（34）菱形的性质：对称性：是轴对称图形；四条边都相等；对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
（35）菱形的面积 = 底×高=对角线乘积的一半
（36）菱形的面积计算有如下方法：
①一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
②四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
③两条对角线长度乘积的一半．
（37）菱形的判定
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
③四条边相等的四边形是菱形
（38）菱形的性质与判定的综合运用
①.在求解菱形中的线段长度时，结合菱形的边相等和对角线互相垂直平分的性质.
②.在证明问题中，常常需要灵活运用性质和判定.
如证明一个四边形是菱形，可能先证明它是平行四边形（通过对边平行等条件），再证明对角线垂直或者一组邻边相等；或者直接证明四条边相等.
（39）正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
（40）性质：①.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
②.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
（41）正方形的判定
①对角线互相垂直的矩形是正方形.
②对角线相等的菱形是正方形.
第二十一章自主检测
（满分100分 时间40分钟）
一、选择题（每小题 ５ 分，共 ４０ 分）
１．图１ 是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，图 ２ 是其简化示意图．若∠１ ＝ ４５°，则∠２的度数为（ ）
Ａ．１４０° Ｂ．１３５° Ｃ．１３０° Ｄ．１４５°
２．如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＣ，ＢＤ 交于点 Ｏ，ＡＢ∥ＣＤ，添加下列选项中的一个条件后，不能判定四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形的是（ ）
Ａ．ＡＢ＝ＣＤ Ｂ．ＡＯ＝ＣＯ Ｃ．ＡＤ＝ＢＣ Ｄ．ＡＤ∥ＢＣ
３．如图，在△ＡＢＣ 中，点 Ｄ，Ｅ 分别是 ＡＣ，ＢＣ 的中点，若∠Ａ＝４５°，∠ＣＥＤ＝７０°，则∠Ｃ的度数为 （ ）
Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．６５°
４．如图，菱形ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ 与 ＢＤ 相交于点 Ｏ，Ｅ 为边 ＢＣ 的中点，连接 ＯＥ．若 ＡＣ ＝ ６，ＢＤ ＝ ８，则ＯＥ＝ （ ）
Ａ．２ Ｂ． Ｃ．３ Ｄ．４
５．如图，在 ＡＢＣＤ 中，点 Ｏ 是 ＢＤ的中点，ＥＦ 过点 Ｏ，下列结论：①ＡＢ∥ＤＣ；②ＥＯ＝ＥＤ；③∠Ａ＝∠Ｃ；④Ｓ四边形ＡＢＯＥ＝Ｓ四边形ＣＤＯＦ．其中正确结论的个数为 （ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
６．如图，已知在矩形 ＡＢＣＤ 中，ＡＥ⊥ＢＤ 于点 Ｅ，∠ＡＢＤ＝ ３６°，则∠ＣＡＥ 的度数是 （ ）
Ａ．１８° Ｂ．２０° Ｃ．３６° Ｄ．５４°
７．如图，Ｐ 为 ＡＢ 上任意一点，分别以 ＡＰ，ＰＢ 为边在ＡＢ 同侧作正方形 ＡＰＣＤ，正方形 ＰＢＥＦ，设∠ＣＢＥ ＝α，则∠ＡＦＰ＝ （ ）
Ａ．２α Ｂ．９０°－α Ｃ．４５°＋α Ｄ．９０°－α
８．如图，在矩形 ＡＢＣＤ 中，分别以点Ａ，Ｃ为圆心，大于ＡＣ 的长为半径画弧，两弧相交于 Ｍ，Ｎ 两点，作直线 ＭＮ，分别交 ＡＤ，ＢＣ，ＡＣ于点 Ｅ，Ｆ，Ｏ，连接 ＡＦ 和 ＣＥ．已知 ＤＥ＝ ３，ＡＢ＝ ４，有以下四个结论：①Ｓ四边形ＡＦＣＥ＝ＡＣ·ＥＦ；②ＡＥ＝５；③∠ＦＡＣ＝∠ＡＣＦ＝３０°；④ＥＦ＝2．其中结论正确的是 （ ）
Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．②③④ Ｄ．①②
二、填空题（每小题 ５ 分，共 １５ 分）
９．若一个多边形的内角和比它的外角和多 １ ０８０°，则该多边形的边数为 ．
１０．如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ａ＝ ９０°，ＢＤ ＝ ＢＣ，点 Ｅ 为 ＣＤ 的中点，射线ＢＥ 交 ＡＤ 的延长线于点 Ｆ，连接 ＣＦ．若 ＡＤ ＝ １，ＣＦ＝ ２，则 ＢＦ 的长为 ．
１１．如图，点 Ｅ 和点 Ｆ 分别是正方形 ＡＢＣＤ 的边 ＢＣ 和 ＣＤ 上的两个动点，在运动过程中始终保持∠ＥＡＦ ＝ ４５°，ＡＧ⊥ＥＦ，已知正方形ＡＢＣＤ 的边长是 ３，下列结论：①ＢＥ＋ＤＦ ＝ ＥＦ；②当 ＢＥ＝１时，ＤＦ＝；③ＢＥ＋ＤＦ≤３；④ＡＧ 的长度随 Ｅ，Ｆ 的运动而变化．其中正确的有 （只填序号）．
三、解答题（共 ４５ 分）
１２．（１２分） 如 图， 在 ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ 是 ＡＤ 的中点，连接 ＢＥ并延长交 ＣＤ 的延长线于点 Ｆ，连接 ＡＦ，ＢＤ．
（１）求证：四边形 ＡＢＤＦ 是平行四边形．
（２）若∠ＢＤＡ＝３０°，∠ＢＡＤ＝４５°，ＡＢ＝2，求 ABCD的面积．
１３．（１３分）如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ，ＢＤ 交于点 Ｏ，过点 Ｄ 作ＤＭ⊥ＡＢ 于点 Ｍ，延长 ＡＢ 到点 Ｎ，使 ＢＮ ＝ ＡＭ，连接 ＣＮ．
（１）求证：四边形 ＤＭＮＣ 是矩形．
（２）连接 ＯＮ，若 ＣＤ ＝ １２，ＭＢ ＝ ８，∠ＤＡＭ ＝ ６０°，求线段 ＯＮ 的长度．
14.（２０ 分）（１）如图 １，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ ＝ ９０°，ＣＤ 平分∠ＡＣＢ，ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，垂足分别为 Ｅ，Ｆ，求证：四边形 ＣＥＤＦ 是正方形．
（２） 如图 ２，在△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ ＝ ６０°，ＣＤ 平分∠ＡＣＢ，过点 Ｄ 作 ＤＥ⊥ＢＣ 于点 Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点 Ｆ，点 Ｈ 是 ＣＤ 的中点，连接 ＨＥ，ＦＨ，ＥＦ．
①判断四边形ＤＦＨＥ 的形状，并证明．
②已知 ＣＤ＝4，求 ＦＥ 的长．
答案
１．Ｂ
２．Ｃ
３．Ｄ
４．Ｂ
５．Ｃ
６．Ａ
７．Ｂ
８．Ｂ
９．１０
１０．2
１１．①②③
１２．解析（１） 证明：∵ 四边形ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ ＡＢ∥ＣＦ，
∴ ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＦＤＥ，
∵ 点Ｅ 是 ＡＤ 的 中 点，
∴ ＡＥ ＝ＤＥ，
在△ＢＡＥ 和△ＦＤＥ 中，
∴ △ＢＡＥ≌△ＦＤＥ（ＡＳＡ），
∴ ＡＢ＝ＤＦ，
又∵ ＡＢ∥ＣＦ，
∴ 四边形 ＡＢＤＦ 是平行四边形．
（２）4+4
１３．解析 （１）证明：∵ ＤＭ⊥ＡＢ，
∴ ∠ＡＭＤ＝ ９０°．
∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ ＡＤ∥ＢＣ 且 ＡＤ＝ＢＣ，
∴ ∠ＤＡＭ＝∠ＣＢＮ．
又∵ ＡＭ＝ＢＮ，
∴ △ＡＤＭ≌△ＢＣＮ（ＳＡＳ），
∴ ＤＭ＝ＣＮ，∠ＢＮＣ＝∠ＡＭＤ＝ ９０°．
∴ ＤＭ∥ＣＮ，
∴ 四边形 ＤＭＮＣ 是矩形．
（2）2
14.解析 （ １） 证明：∵ ＣＤ平分∠ＡＣＢ，ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，
∴ ＤＥ＝ＤＦ，∠ＤＦＣ＝９０°，∠ＤＥＣ＝９０°，
∵ ∠ＡＣＢ＝９０°，
∴ 四边形ＣＥＤＦ是正方形．
（２）①四边形ＤＦＨＥ是菱形 ②2

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