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第二十一章四边形第4节：正方形及其性质
知识点
（1）正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
（2）性质：①.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
②.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
（3）正方形的判定
①对角线互相垂直的矩形是正方形.
②对角线相等的菱形是正方形.
练习题
第 1 课时 正方形及其性质
１．下列条件可以利用定义说明平行四边形 ＡＢＣＤ 是正方形的是 （ ）
Ａ．ＡＢ＝ＣＤ，∠Ａ＝ ９０° Ｂ．ＡＢ＝ ＡＤ，∠Ａ＝ ９０°
Ｃ．ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝ ９０° Ｄ．以上均错
２．如图，延长正方形ＡＢＣＤ的边ＢＡ至点 Ｅ，使 ＡＥ＝ＢＤ，连接 ＣＥ，则∠Ｅ 的度数为（ ）
Ａ．２２.５° Ｂ．２５° Ｃ．３０° Ｄ．４０°
３．如 图，在 边 长 为 ３ 的 正 方 形ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ 在边 ＢＣ 上，以点 Ｄ 为圆心，ＤＣ 长为半径画弧，交线段 ＤＥ 于点 Ｆ．若 ＥＦ＝ＥＢ，则ＣＥ的长为 （ ）
Ａ．２ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４．【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 ＡＢＣＤ 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 Ｅ 在对角线 ＢＤ 上．
【数学理解】
（１）该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ＡＢＥ≌△ＣＢＥ 的证明过程．
（２） 若裁剪过程中满足 ＤＥ ＝ ＤＡ，求“机翼角”∠ＢＡＥ的度数．
５．如图，在正方形 ＡＢＣＤ 内作∠ＥＡＦ ＝ ４５°，ＡＥ 交 ＢＣ 于点 Ｅ，ＡＦ 交 ＣＤ 于点Ｆ，连接 ＥＦ．若 ＡＢ ＝ ５，ＤＦ ＝ ２，则ＢＥ 的长为 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．２
６．如图①，“蝶几图” 是分割正方形的一种方式，以正方形为模分割为长斜（等腰梯形），右半斜和左半斜（直角梯形），小三斜，大三斜和闺（均为等腰直角三角形），Ｉ，Ｊ 分别为 ＥＫ，ＧＫ 的中点．现取右半斜两张，左半斜两张和小三斜三张，拼成图②所示的“飞鸿”，若图①中大正方形的边长为 ４，则“飞鸿”的高度 ｈ 为 ．
７．如图，正方形ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ，Ｆ 分别在 ＡＢ，ＣＤ上，且ＢＥ＝ＤＦ．
（１）求证：四边形 ＡＥＣＦ 是平行四边形．
（２）连接 ＥＦ，若 ＢＣ＝ １２，ＢＥ＝ ５，求 ＥＦ 的长．
第 2 课时 正方形的判定
１．满足下列条件的四边形一定是正方形的是 （ ）
Ａ．对角线互相平分的四边形
Ｂ．有三个角是直角的四边形
Ｃ．有一组邻边相等的平行四边形
Ｄ．对角线相等的菱形
２．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝ ９０°，ＡＣ 与 ＢＤ 互相平分且交于点 Ｏ．要使得四边形 ＡＢＣＤ 是正方形，则还需增加的一个条件是 （只填一个答案即可）．
３．如图，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ ＡＣ，ＢＤ＝ ＣＤ，ＡＮ 是△ＡＢＣ 外角∠ＣＡＭ 的平分线，ＣＥ⊥ＡＮ 于点 Ｅ．若 ，则四边形 ＡＤＣＥ 是一个正方形．请从①ＢＤ ＝ ＡＤ；②∠ＤＡＥ ＝ ９０°；③ＣＤ ＝ ＣＥ 中选择一个作为条件填在横线上，使结论成立，并说明理由．
４．如图， ＡＢＣＤ 的对角线ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，给出四个条件：①ＡＢ ＝ ＢＣ；②∠ＡＢＣ＝ ９０°；③ＯＡ ＝ ＯＢ；④ＡＣ⊥ＢＤ．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定 ＡＢＣＤ 是正方形的有 （ ）
Ａ．３ 组 Ｂ．４ 组 Ｃ．５ 组 Ｄ．６ 组
５．如图，在矩形 ＡＢＣＤ 中，Ｍ，Ｎ 分别是边 ＡＤ，ＢＣ 的中点，Ｅ，Ｆ 分别是边 ＢＭ，ＣＭ 的中点，当 ＡＢ∶ＡＤ＝ 时，四边形 ＭＥＮＦ 是正方形．
6．如图，将平行四边形 ＡＢＣＤ沿 ＢＦ 折叠，使点 Ｃ 恰好落在边 ＡＤ 上的点 Ｅ 处，若此时将边 ＡＢ 沿 ＢＥ 进行折叠，点 Ａ 又恰好落在点Ｆ 处，则平行四边形 ＡＢＣＤ 的较小内角为 （ ）
Ａ．３６° Ｂ．３０° Ｃ．７２° Ｄ．６０°
7．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ 中，将△ＡＤＣ 沿ＡＣ翻折后，点Ｄ恰好落在ＤＣ 的延长线上的点 Ｅ 处，若∠Ｂ＝６０°，ＡＢ＝２，则平行四边形ＡＢＣＤ的面积为 ．
8．如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，点 Ａ 的坐标为（１０，８），过点 Ａ 作 ＡＢ⊥ｘ 轴于点Ｂ，ＡＣ⊥ｙ 轴于点 Ｃ，点 Ｄ 在 ＡＢ 上．将△ＣＡＤ 沿直线ＣＤ 翻折，点 Ａ 恰好落在 ｘ 轴上的点 Ｅ 处，则点 Ｄ的坐标为 ） ．
9．如图，将矩形 ＡＢＣＤ 沿着对角线 ＢＤ 折叠，使点 Ｃ 落在 Ｃ′处，ＢＣ′交 ＡＤ 于点 Ｅ．
（１）若∠ＤＢＣ＝ ２５°，求∠ＡＤＣ′的度数．
（２）若 ＡＢ＝ ４，ＡＤ＝ ８，求△ＢＤＥ 的面积．
10．如图，在菱形纸片 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ＝ ６０°，点 Ｅ 在 ＢＣ 边上，将菱形纸片 ＡＢＣＤ 沿ＤＥ 折叠，使点 Ｃ 落在点 Ｃ′处，且 ＤＣ′是 ＡＢ 的垂直平分线，则∠ＤＥＣ 的大小为 ．
11．如图，已知菱形 ＡＢＣＤ的边长为 ３，∠Ａ＝ ６０°，点 Ｅ，Ｆ 分别在边 ＡＢ，ＡＤ 上．若将△ＡＥＦ 沿直线 ＥＦ 翻折，使得点 Ａ 恰好落在ＣＤ 边的中点 Ｇ 处，则 ＡＦ 的长为 ．
12．如图，正方形纸片ＡＢＣＤ的边长为 １０，Ｅ 是边 ＣＤ 上一点，连接 ＡＥ，折叠该纸片，使点 Ａ 落在ＡＥ 上的 Ｇ 点处，并使折痕经过点Ｂ，得到折痕 ＢＦ，点 Ｆ 在 ＡＤ 上，若ＤＥ＝ ４，则 ＧＥ 的长为 ．
１3．如图，在 ＡＢＣＤ 中，∠Ｂ＝６０°，ＢＣ ＝ ２ＡＢ，将 ＡＢ 绕点 Ａ 逆时针旋转 α（０°＜α＜３６０°）得到 ＡＰ，连接 ＰＣ，ＰＤ． 当 △ＰＣＤ为直角三角形时，α的度数为 ９０°或 １８０°或 ２７０° ．
14．如图，在正方形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝ ６，点 Ｅ 在边 ＣＤ 上，且 ＣＥ ＝ ２ＤＥ，将△ＡＤＥ 沿ＡＥ 翻折得到△ＡＦＥ，延长 ＥＦ 交边 ＢＣ 于点 Ｇ，连接ＡＧ，ＣＦ，求 ＢＧ 的长．
15．如图，四边形 ＡＢＣＤ 为正方形，Ｅ 为对角线 ＡＣ 上一点，连接 ＤＥ，过点 Ｅ 作ＥＦ⊥ＤＥ，交射线 ＢＣ 于点 Ｆ，以 ＤＥ，ＥＦ 为邻边作矩形 ＤＥＦＧ，连接 ＣＧ．
（１）求证：矩形 ＤＥＦＧ 是正方形．
（２）若 ＡＢ＝２，ＣＥ＝，求 ＣＧ 的长度．
（３）当线段 ＤＥ 与正方形 ＡＢＣＤ 的某条边的夹角是３２°时，求出∠ＥＦＣ 的度数
16．已知，在 ＡＢＣＤ 中，动点Ｐ 在 ＡＤ 边上，以每秒 ０．５ ｃｍ 的速度从点 Ａ 向点 Ｄ运动．
（１）如图１，在运动过程中，若ＣＰ平分∠ＢＣＤ，且满足ＣＤ＝ＣＰ，求∠Ｂ的度数．
（２）如图 ２，另一动点 Ｑ 在 ＢＣ 边上，以每秒２ ｃｍ 的速度从点 Ｃ 出发，在 Ｂ，Ｃ 间往返运动，Ｐ，Ｑ 两点同时出发，当点 Ｐ 到达点 Ｄ 时停止运动（同时点 Ｑ 也停止运动），若 ＡＤ＝６ｃｍ，则当运动时间为多少秒时，以 Ｐ，Ｄ，Ｑ，Ｂ 为顶点的四边形是平行四边形？
17．如图 １，在矩形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝ ４ ｃｍ，ＡＤ ＝ ２ＡＢ，ＡＣ 的垂直平分线 ＥＦ 分别交ＡＤ，ＢＣ 于点 Ｅ，Ｆ，垂足为 Ｏ，连接 ＡＦ，ＣＥ．
（１）求证：四边形 ＡＦＣＥ 为菱形．
（２）求 ＡＦ 的长．
（３）如图 ２，动点Ｐ，Ｑ分别从 Ａ，Ｃ 两点同时出发，沿△ＡＦＢ 和△ＣＤＥ 各边匀速运动一周后停止，即点Ｐ 沿 Ａ→Ｆ→Ｂ→Ａ 运动，点 Ｑ 沿Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｃ 运动，在运动过程中，已知点 Ｐ 的速度为 ５ ｃｍ/ｓ，点Ｑ 的速度为 ４ ｃｍ/ｓ，运动时间为 ｔ ｓ，当以 Ａ，Ｃ，Ｐ，Ｑ 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求ｔ 的值．
18．已知点 Ｐ，Ｑ 分别在菱形 ＡＢＣＤ的边 ＢＣ，ＣＤ 上滑动（ 点 Ｐ 不与 Ｂ，Ｃ 重合），且∠ＰＡＱ＝∠Ｂ，
（１）如图 １，若 ＡＰ⊥ＢＣ，求证：ＡＰ＝ ＡＱ．
（２）如图 ２，若 ＡＰ 与 ＢＣ 不垂直，（１）中的结论还成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，说明理由．
（３）如图 ３，若ＡＢ＝４，∠Ｂ＝６０°，请直接写出四边形ＡＰＣＱ的面积．
19．如图 １，菱形 ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，且 ＡＣ＝ ６ ｃｍ，ＢＤ＝８ｃｍ，分别过点Ｂ，Ｃ 作 ＡＣ 与 ＢＤ的平行线相交于点 Ｅ．
（１）判断四边形 ＢＯＣＥ 的形状，并证明．
（２）点 Ｇ 从点 Ａ 沿线段 ＡＣ 的方向以 ２ ｃｍ/ｓ 的速度移动了 ｔ ｓ，连接 ＢＧ，当 Ｓ△ＡＢＧ＝ ２Ｓ△ＯＢＧ时，求 ｔ的值．
（３）如图２，点Ｇ在直线 ＡＣ 上运动，求 ＢＧ＋ＥＧ 的最小值．
20．点 Ｏ 为正方形 ＡＢＣＤ 对角线 ＡＣ 与 ＢＤ 的交点，点Ｅ 为直线 ＢＤ 上一点（点 Ｅ 与点 Ｂ，点 Ｄ，点 Ｏ 不重合），连接 ＡＥ．
（１） 如图 １， 若点 Ｅ 为 ＯＤ 的中点， ＡＢ＝，求△ＡＢＥ 的面积．
（２）如图 ２，若点 Ｅ 在线段 ＯＤ 上，过点 Ｅ 作 ＥＦ⊥ＡＥ 交直线 ＢＣ 于点 Ｆ，交直线 ＡＣ 于点 Ｈ，过点Ｆ 作 ＦＧ∥ＡＥ 交直线 ＢＤ 于点 Ｇ． 求证：ＦＧ ＋ＦＨ＝ ＡＥ．
（３）若点 Ｅ 为直线 ＢＤ 上一动点，其他条件与第（２）问条件相同，请写出线段 ＤＥ，ＢＧ，ＣＨ 之间的数量关系．
21．在正方形 ＡＢＣＤ 中．
（１）如图 １，如果点 Ｅ，Ｆ 分别在 ＢＣ，ＣＤ 上，且 ＡＥ⊥ＢＦ，垂足为 Ｍ，那么 ＡＥ 与 ＢＦ 相等吗？ 请证明你的结论．
（２）如图 ２，如果点 Ｅ 是边 ＡＤ 的中点，Ｆ 是 ＣＥ 上的点，过点 Ｆ 作 ＧＨ⊥ＣＥ，分别交 ＡＢ，ＣＤ 于点 Ｇ，Ｈ，若 ＢＧ＝１，ＣＨ＝５，求线段 ＡＧ 的长．
22．在正方形 ＡＢＣＤ 中，Ｅ 为射线 ＢＡ 上一动点（点 Ｅ 不与 Ａ，Ｂ 重合），作∠ＥＤＦ ＝ ４５°，交直线 ＢＣ 于点 Ｆ，连接 ＥＦ．
（１）如图 １，当点 Ｅ 在线段 ＡＢ 上时，用等式表示线段 ＥＦ，ＡＥ，ＣＦ 之间的数量关系，并说明理由．
（２）如图 ２，当点 Ｅ 在线段 ＢＡ 的延长线上时．
①依题意补全图 ２．
②用等式表示线段 ＥＦ，ＡＥ，ＣＦ 之间的数量关系，并证明．
23．如图 １，正方形 ＡＢＣＤ 中，ＡＣ为对角线，点 Ｐ 在线段 ＡＣ 上运动，以 ＰＤ 为边作正方形 ＤＰＦＥ，连接 ＣＥ．
（１）ＡＰ 与 ＣＥ 的数量关系是 ，ＡＰ 与 ＣＥ的位置关系是 ．
（２）当点 Ｐ 在对角线 ＡＣ 的延长线上运动时．
①如图 ２，探究线段 ＣＤ，ＣＰ 和 ＣＥ 三者之间的数量关系，并说明理由．
②如图 ３，连接 ＡＥ，ＰＥ，若 ＡＢ ＝ ２ ，ＡＥ ＝ ２９ ，求四边形ＤＣＰＥ的面积．
答案
第 1 课时 正方形及其性质
１．Ｂ
２．Ａ
３．Ｄ
４．解析 （１）证明：∵ 四边形 ＡＢＣＤ是正方形，
∴ ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ，
又∵ ＢＥ ＝ ＢＥ，
∴ △ＡＢＥ≌△ＣＢＥ（ＳＡＳ）．
（２）22.5°
５．Ａ
６．2＋
７．解析 （１）证明：∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是正方形，
∴ ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，
∵ ＢＥ＝ＤＦ，
∴ ＡＢ－ＢＥ＝ＣＤ－ＤＦ，即 ＡＥ＝ＣＦ，
又∵ ＡＥ∥ＣＦ，
∴ 四边形 ＡＥＣＦ 是平行四边形．
（2）2
第 2 课时 正方形的判定
Ｄ
２．ＡＢ ＝ ＢＣ（答案不唯一）
３．略
４．Ｂ
５．１∶２
6．Ｃ
7．4
8．（１０，３）
9．（１）∠ＡＤＣ′=40° （２）△ＢＤＥ的面积=10
10．７５°
11．2.1
12．
13．ＢＧ=3
14．９０°或 １８０°或 ２７０°
15．解析 （１）∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝∠Ｄ，
∴ ∠ＤＰＣ＝∠ＰＣＢ，
∵ ＣＰ 平分∠ＢＣＤ，
∴ ∠ＰＣＤ＝∠ＰＣＢ，
∴ ∠ＤＰＣ＝∠ＤＣＰ，
∴ ＤＰ＝ＣＤ，
∵ ＣＤ＝ＣＰ，
∴ ＣＰ＝ＣＤ＝ＤＰ，
∴ △ＰＤＣ 是等边三角形，
∴ ∠Ｄ＝ ６０°，
∴ ∠Ｂ＝ ６０°．
（２）0秒或4.8秒或8秒或9，6秒
16．解析 （１）证明：∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形，
∴ＡＤ∥ＢＣ，
∴ ∠ＯＡＥ ＝ ∠ＯＣＦ，∠ＯＥＡ ＝ ∠ＯＦＣ，
∵ ＥＦ 垂直平分 ＡＣ，
∴ ＯＡ ＝ ＯＣ，
∴ △ＯＡＥ≌△ＯＣＦ（ＡＡＳ），
∴ ＯＥ＝ＯＦ，
∴ 四边形 ＡＦＣＥ 是平行四边形，
∵ ＥＦ⊥ＡＣ，
∴ 四边形 ＡＦＣＥ 是菱形．
（２）∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形，ＡＢ ＝４ｃｍ，ＡＤ＝２ＡＢ，
∴ ∠Ｂ＝ ９０°，ＢＣ ＝ＡＤ ＝ ２ × ４ ＝８（ｃｍ），
∵ 四边形ＡＦＣＥ 是菱形，
∴ ＡＦ ＝ ＣＦ，设ＡＦ＝ＣＦ＝ｘ ｃｍ，则ＢＦ＝ＢＣ－ＣＦ＝（８－ｘ） ｃｍ，
∵ ＡＦ２＝ＢＦ２＋ＡＢ２，
∴ｘ２＝（８－ｘ）２＋４２，
解得 ｘ ＝ ５，即 ＡＦ＝ ５ ｃｍ．
（３）由题意知，只有当点 Ｐ 在 ＢＦ 上，点 Ｑ 在 ＤＥ 上，且 ＡＱ＝ＰＣ 时，以 Ａ，Ｃ，Ｐ，Ｑ 四点为顶点的四边形才是平行四边形，此时 ＡＤ－ＡＱ＝ＢＣ－ＣＰ，即 ＤＱ＝ＢＰ，由（２）得 ＢＦ＝ ３ ｃｍ，ＡＦ ＝ ５ ｃｍ，易得 ＤＱ＝（４ｔ－４）ｃｍ，ＢＰ＝３－（５ｔ－５）＝（８－５ｔ）ｃｍ，
∴ ４ｔ－４ ＝ ８－５ｔ，解得ｔ＝．
故当以 Ａ，Ｃ，Ｐ，Ｑ 四点为顶点的四边形是平行四边形时，ｔ＝．
17．（1）略 （2）成立 （3）4
18．解析 （１）四边形 ＢＯＣＥ 是矩形．
证明：∵ ＢＥ∥ＯＣ，ＥＣ∥ＯＢ，
∴ 四边形 ＢＯＣＥ 是平行四边形，
∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是菱形，
∴ ＡＣ⊥ＢＤ，
∴ ∠ＢＯＣ＝ ９０°，
∴ 四边形 ＢＯＣＥ 是矩形．
（２）1或3
（３）
19．解析 （１）∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为正方形，ＡＢ＝，
∴ ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＤ＝１，ＡＯ⊥ＢＤ，
∵ 点 Ｅ 为 ＯＤ 的中点，
∴ＯＥ＝ＯＤ＝，
∴ ＢＥ＝ＢＯ＋ＯＥ＝，
∴ Ｓ△ＡＢＥ＝ＢＥ·ＡＯ＝××1＝．
（２）证明：过点 Ｅ 作直线 ＥＮ⊥ＢＣ于点 Ｎ，交 ＡＤ 于 Ｍ，如图，易知四边形 ＡＭＮＢ 为矩形，
∴ ＡＭ ＝ ＢＮ，∠ＡＭＥ ＝ ∠ＡＥＦ ＝∠ＦＮＥ＝ ９０°，
∵ 在正 方 形 ＡＢＣＤ 中，∠ＥＢＮ ＝ ４５°，
∴ ＥＮ ＝ＢＮ＝ＡＭ，
∵ ∠ＭＡＥ＋∠１＝∠ＦＥＮ＋∠１＝ ９０°，
∴ ∠ＭＡＥ＝∠ＦＥＮ，
∴△ＡＭＥ≌△ＥＮＦ（ＡＳＡ），
∴ ＡＥ＝ＥＦ，
同理可得，△ＡＨＥ≌△ＥＧＦ，
∴ ＦＧ＝ＥＨ，
∵ ＥＨ＋ＦＨ＝ＥＦ＝ＡＥ，
∴ ＦＧ＋ＦＨ＝ＡＥ．
20．（1）AE=BF （2）AG=7
21．(1)EF=CF+AE (2)略 (3)CF=AE+EF
22．解析 （１）ＡＰ＝ ＣＥ；ＡＰ⊥ＣＥ．
详解：∵ 四边形 ＡＢＣＤ是正 方 形，
∴ ＡＤ ＝ ＤＣ， ∠ＡＣＤ ＝∠ＤＡＣ＝４５°，∠ＡＤＣ＝ ９０°，
∵ 四边形 ＤＰＦＥ 是正方形，
∴ ＤＰ ＝ＤＥ，∠ＰＤＥ＝９０°＝∠ＡＤＣ，
∴ ∠ＡＤＰ ＝ ∠ＣＤＥ，
在△ＡＤＰ 和△ＣＤＥ 中，
∴ △ＡＤＰ≌△ＣＤＥ（ ＳＡＳ），
∴ ＡＰ ＝ ＣＥ，∠ＤＣＥ ＝∠ＤＡＣ ＝ ４５°，
∴ ∠ＡＣＥ＝ ９０°，
∴ ＡＰ⊥ＣＥ．
（2）①CE－CP=CD
②10
23．（1）略 （2）CG= （3）∠ＥＦＣ=122°或32°

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