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第二十一章四边形第4节：菱形及其性质
知识点
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
（2）菱形的性质：对称性：是轴对称图形；四条边都相等；对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
（3）菱形的面积 = 底×高=对角线乘积的一半
（4）菱形的面积计算有如下方法：
①一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
②四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
③两条对角线长度乘积的一半．
（5）菱形的判定
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
③四条边相等的四边形是菱形
（6）菱形的性质与判定的综合运用
①.在求解菱形中的线段长度时，结合菱形的边相等和对角线互相垂直平分的性质.
②.在证明问题中，常常需要灵活运用性质和判定.
如证明一个四边形是菱形，可能先证明它是平行四边形（通过对边平行等条件），再证明对角线垂直或者一组邻边相等；或者直接证明四条边相等.
练习题
第 1 课时 菱形及其性质
１．如图，要使平行四边形 ＡＢＣＤ 成为菱形，需添加的一个条件是 （ ）
Ａ．ＡＣ＝ ＡＤ Ｂ．ＡＢ＝ＢＣ
Ｃ．∠ＡＢＣ＝ ９０° Ｄ．ＡＣ＝ＢＤ
２．如图，菱形 ＡＢＣＤ 的顶点 Ｃ在直线 ＭＮ 上，若∠ＢＣＭ ＝ ４５°，∠ＤＣＮ ＝ ２５°，则∠ＢＤＣ 的度数为 （ ）
Ａ．２０° Ｂ．３０° Ｃ．３５° Ｄ．４０°
3.如图，菱形 ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，Ｅ 是 ＡＢ 的中点，连接 ＯＥ．若 ＯＥ＝３，则菱形的边长为 （ ）
Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１２
４．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节Ａ，Ｅ 间的距离，若 Ａ，Ｅ 间的距离调节到 ９０ ｃｍ，菱形的边长 ＡＢ＝ ３０ ｃｍ，则∠ＤＣＢ 的度数是 ．
5.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形 ＡＢＣＤ，测得 ＢＤ＝ ８ ｃｍ，ＡＣ＝ ６ ｃｍ，则该菱形的周长为 ｃｍ ．
６．如图，菱形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ １０，ＡＣ＝ １６，ＡＣ 交 ＢＤ 于点 Ｏ，ＤＥ⊥ＢＣ 于点 Ｅ，连接ＯＥ，则 ＯＥ 的长为 ．
７．如图，在菱形 ＡＢＣＤ 中，Ｅ，Ｆ 分别是边 ＡＢ，ＢＣ 上的点，且 ＡＥ＝ＣＦ．求证：ＡＦ＝ＣＥ．
８．如图，菱形 ＡＢＣＤ 的边长为 ４，∠Ｂ＝１２０°，则菱形ＡＢＣＤ 的面积为 （ ）
Ａ．６ Ｂ．4 Ｃ．8 Ｄ．１２
９．如图，四边形 ＡＢＣＤ 是菱形，对角线ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ．若ＡＣ＝ ６，ＢＤ＝ ５，则菱形 ＡＢＣＤ的面积是 ．
１０．如图，四边形 ＡＢＣＤ 是菱形，ＣＤ＝ ５，ＢＤ＝ ８，ＡＥ⊥ＢＣ 于点 Ｅ，则 ＡＥ 的长是（ ）
Ａ． Ｂ．６ Ｃ． Ｄ．１２
１１．如图，在菱形 ＡＢＣＤ 中，ＢＣ＝ １０，面积为 ６０，对角线 ＡＣ 与 ＢＤ 相交于点 Ｏ，过点 Ａ 作 ＡＥ⊥ＢＣ，交边 ＢＣ 于点 Ｅ，连接 ＥＯ，则ＥＯ＝ ．
１２．如图，四边形 ＡＢＣＤ 是菱形，对角线ＡＣ，ＢＤ 相 交 于 点 Ｏ， Ｅ 是 边ＣＤ 的中点，过点 Ｅ 作 ＥＦ⊥ＢＤ于点 Ｆ， ＥＧ ⊥ ＡＣ 于 点 Ｇ， 若ＡＣ＝ １２，ＢＤ＝ １６，则 ＦＧ 的长为 ．
１３．如图，四边形 ＡＢＣＤ 是菱形，延长 ＡＢ 到点 Ｆ，使 ＢＦ＝ ＡＢ，连接 ＤＦ 交 ＣＢ 于点 Ｅ．
（１）请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整（保留作图痕迹），并证明 Ｅ 是 ＢＣ 的中点．
（２）连接 ＤＢ，若 ＤＦ⊥ＢＣ，ＤＢ＝ ４，求 ＤＥ 的长．
１４．如图，菱形 ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ 与 ＢＤ 交于点 Ｏ，Ｅ 为 ＢＣ 的中点，延长 ＡＢ到点 Ｆ，使 ＢＦ＝ＢＣ，连接 ＥＦ，ＯＥ．
（１）求证：四边形 ＯＢＦＥ 是平行四边形．
（２）若 ＢＤ ＝ １２，ＡＢ ＝ １０，求平行四边形 ＯＢＦＥ 的
面积．
１５．综合实践课上，创新小组的同学对含 ６０°角的菱形进行了探究．
【问题情境】如图，在菱形 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ ＝ ６０°，Ｅ，Ｆ分别是边 ＡＢ，ＢＣ 上的点，且∠ＥＤＦ＝ ６０°．
【初步感知】
（１）若点Ｅ是ＡＢ的中点，则ＤＥ与ＤＦ的数量关系为 ．
【深入探究】
（２）若点 Ｅ，Ｆ 分别为 ＡＢ，ＢＣ 上任意一点，则ＤＥ与ＤＦ的数量关系是什么？ 并说明理由．
【问题解决】
（３）若 ＡＢ＝ ４，求△ＤＥＦ 周长的最小值．
第 2 课时 菱形的判定
１．如图，在 ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ，ＢＤ 交于点 Ｏ，下列条件不能判定 ＡＢＣＤ 为菱形的是 （ ）
Ａ．ＡＢ＝ＢＣ Ｂ．ＡＣ⊥ＢＤ
Ｃ．ＢＤ 平分∠ＡＢＣ Ｄ．∠ＡＤＣ＝ ６０°
２．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是 （ ）
３．如图， ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ 与 ＢＤ 交于点 Ｏ，要使 ＡＢＣＤ 为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可）
４．将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下（剪口与第一次的折线成 ２０°角），得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是 ．
５．如图，在 ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ的垂直平分线与边 ＡＤ，ＢＣ 分别相交于点 Ｅ，Ｆ．求证：四边形 ＡＦＣＥ 是菱形．
６．如图，在△ＡＢＣ 中，ＢＣ ＝ ２ＡＢ，Ｄ，Ｅ 分别为 ＢＣ，ＡＣ 的中点．过点 Ａ 作 ＡＦ∥ＢＣ 交 ＤＥ的延长线于点 Ｆ．求证：四边形 ＡＢＤＦ 是菱形．
７．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝ＡＤ，Ｅ，Ｆ 是对角线 ＢＤ 上的点，且ＢＥ＝ＤＦ，连接ＡＥ，ＣＦ，ＡＦ，ＣＥ．求证：四边形 ＡＦＣＥ 是菱形．
８．如图，两个完全相同的三角尺 ＡＢＣ 和 ＤＥＦ 的最长边在直线 ｌ 上滑动，连接ＢＦ，ＣＥ，可以添加一个条件，使四边形 ＣＢＦＥ 为菱形，下列选项中正确的是 （ ）
Ａ.ＢＤ＝ ＡＥ Ｂ.ＢＤ＝ＢＥ Ｃ.ＢＦ⊥ＡＤ Ｄ.ＦＥ＝ ２ＡＥ
９．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ 中，以点 Ａ 为圆心，ＡＢ 的长为半径作弧，交ＡＤ 于点 Ｆ，再分别以点 Ｂ，Ｆ 为圆心，大于ＢＦ的长为半径作弧，两弧交于点 Ｇ，射线 ＡＧ 交 ＢＣ 于点Ｅ．若 ＢＦ＝ ８.８，ＡＢ＝ ５.５，则 ＡＥ 的长为 ．
１０．如图，将两张宽度都为 ６的纸条重叠在一起，使∠ＡＢＣ ＝６０°，则四边形 ＡＢＣＤ 的面积为 ．
１１．如图，∠ＢＡＣ ＝ ９０°，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，ＡＦ∥ＢＣ，ＢＦ 与 ＡＤ 交于点 Ｅ，且点Ｅ 恰好是 ＢＦ 的中点，连接 ＣＦ．
（１）求证：四边形 ＡＤＣＦ 是菱形．
（２）若∠ＤＣＦ＝１２０°，ＡＣ＝８，求菱形 ＡＤＣＦ 的周长．
１２．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ＢＣ，过 Ａ 点作 ＢＣ 的平行线与∠ＡＢＣ 的平分线交于点 Ｄ，连接 ＣＤ．
（１）求证：四边形 ＡＢＣＤ 是菱形．
（２）连接 ＡＣ 与 ＢＤ 交于点 Ｏ，过点 Ｄ 作 ＤＥ⊥ＢＣ交 ＢＣ 的延长线于 Ｅ 点，连接 ＥＯ，若 ＥＯ＝，ＢＥ＝ ４，求 ＣＥ 的长．
１３．如图，已知△ＡＢＣ 和△ＤＥＦ 都是边长为１０ ｃｍ 的等边三角形，且 Ｂ，Ｄ，Ｃ，Ｅ 在同一直线上，连接 ＡＤ，ＣＦ，已知 ＢＤ ＝ ３ ｃｍ，若△ＡＢＣ 沿着ＢＥ 方向以 １ ｃｍ/ｓ 的速度运动，设△ＡＢＣ 的运动时间为 ｔ ｓ．
（１）当 ｔ 为何值时，四边形 ＡＤＦＣ 是菱形？
（２）当 ｔ 为何值时，四边形 ＡＤＦＣ 是矩形？ 并求其面积．
答案
第 1 课时 菱形及其性质
１．Ｂ
２．Ｃ
3.Ａ
４．１２０°
5.20cm
６．６
７．证明 ∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是菱形，
∴ ＡＢ＝ＢＣ，
∵ ＡＥ＝ＣＦ，
∴ ＡＢ－ＡＥ＝ＢＣ－ＣＦ，即 ＢＥ＝ＢＦ，
在△ＡＢＦ 和△ＣＢＥ 中，
∴ △ＡＢＦ≌△ＣＢＥ（ＳＡＳ），
∴ ＡＦ＝ＣＥ．
８．Ｃ
９．１５
１０．Ａ
１１．
１２．５
１３．解析 （１）如图，
证明：∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是
菱形，∴ ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，
∴ ∠Ｃ ＝ ∠ＦＢＥ， ∠ＣＤＥ ＝∠Ｆ，
∵ ＢＦ＝ ＡＢ，
∴ ＣＤ＝ＢＦ，
∴ △ＣＤＥ≌△ＢＦＥ（ＡＳＡ），
∴ ＣＥ＝ＢＥ，
∴ Ｅ 是 ＢＣ 的中点．
（２）2
１４．解析 （１） 证明：∵ 四边形ＡＢＣＤ 是菱形，
∴ ＡＯ＝ＯＣ，ＡＢ＝ＢＣ，
∵ Ｅ 是 ＢＣ 的中点，
∴ ＯＥ 是△ＡＢＣ 的中位线，
∴ ＯＥ∥ＡＢ，ＯＥ＝ＡＢ，
∵ＢＦ＝ＢＣ，
∴ ＯＥ＝ＢＦ，
∵ ＯＥ∥ＢＦ，
∴ 四边形 ＯＢＦＥ 是平行四边形．
（２）24
１５．（1）DF=DE （2）DF=DE （3）6
第 2 课时 菱形的判定
１．Ｄ
２．Ｃ
３．ＡＢ＝ＡＤ（答案不唯一）
４．菱形
５．证明 ∵ ＥＦ 是 ＡＣ 的垂直平分线，
∴ＥＡ＝ＥＣ，ＦＡ＝ＦＣ，ＯＡ ＝ＯＣ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ＝９０°，
∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ ＡＤ∥ＢＣ，
∴ ∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ，
在△ＯＡＥ 和△ＯＣＦ 中，
∴ △ＯＡＥ≌△ＯＣＦ（ＡＳＡ），
∴ ＥＡ＝ＦＣ，
∴ ＥＡ＝ＥＣ＝ＦＡ＝ＦＣ，
∴ 四边形ＡＦＣＥ是菱形．
６．证明 ∵ Ｄ，Ｅ 分别为 ＢＣ，ＡＣ 的 中 点，
∴ ＤＥ 是△ＡＢＣ 的 中 位 线， ＢＣ ＝２ＢＤ，
∴ ＤＥ ∥ ＡＢ， 又
∵ ＡＦ∥ＢＣ，
∴ 四边形 ＡＢＤＦ 是平行四边形，
∵ ＢＣ ＝２ＡＢ，
∴ ＡＢ＝ＢＤ，
∴ 平行四边形 ＡＢＤＦ 是菱形．
７．证明 如图，设 ＡＣ 交 ＢＤ 于点 Ｏ，
∵ ＡＢ＝ＡＤ，四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，
∴ 平行四边形ＡＢＣＤ 是 菱 形，
∴ ＡＣ ⊥ ＢＤ，ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ，
∵ ＢＥ ＝ＤＦ，
∴ ＯＢ－ＢＥ ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＥＯ＝ＦＯ，
∴ 四边形 ＡＥＣＦ 是平行四边形，
又∵ ＡＣ⊥ＢＤ，
∴ 平行四边形 ＡＦＣＥ 是菱形．
８．Ｂ
９．６.６
１０．24
１１．解析 （１）证明：∵ ＡＤ 是△ＡＢＣ 的中线，
∴ 点 Ｄ 是ＢＣ 的中点，
又∵ 点 Ｅ 是ＢＦ 的中点，
∴ ＤＥ∥ＣＦ，即ＤＡ∥ＣＦ，
∵ ＡＦ∥ＢＣ，
∴ 四边形 ＡＤＣＦ 是平行四边形，
∵ ＡＤ 是△ＡＢＣ 的中线，∠ＢＡＣ＝ ９０°，
∴ ＣＤ＝ＢＤ＝ＡＤ，
∴ 四边形 ＡＤＣＦ 是菱形．
（２ ） ∵ 四 边 形 ＡＤＣＦ 是 菱 形，∠ＤＣＦ＝１２０°，
∴ ∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＦ＝６０°，
∵ ＡＤ＝ＤＣ，
∴ △ＡＣＤ 是等边三角形，
∴ ＡＤ＝ＤＣ ＝ＡＣ ＝ ８，
∴ 菱形 ＡＤＣＦ 的周长为８×４＝３２．
１２．解析 （１） 证明：∵ ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，
∴ ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＣＢＤ，
∵ ＡＤ ∥ ＢＣ，
∴∠ＡＤＢ ＝∠ＣＢＤ，
∴∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＤＢ，
∴ ＡＢ＝ ＡＤ，
∵ ＡＢ ＝ ＢＣ，
∴ ＡＤ ＝ ＢＣ，
又∵ ＡＤ∥ＢＣ，
∴ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∵ ＡＢ ＝ ＢＣ，
∴ 四边形 ＡＢＣＤ 是菱形．
(2)∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是菱形，
∴ ＢＯ ＝ ＤＯ，ＢＣ ＝ ＣＤ，
∵ ＤＥ ⊥ ＢＥ，
∴ ∠ＢＥＤ ＝ ９０°，
∴ ＢＤ ＝２ＯＥ ＝ 2，
∴ＤＥ＝＝ ２，
设 ＣＥ ＝ ｘ，则ＣＤ＝ＢＣ ＝ ＢＥ－ＣＥ＝４－ｘ，在Ｒｔ△ＣＤＥ 中，由勾股定理得ＣＤ２＝ＣＥ２＋ＤＥ２，即（４－ｘ）２＝ｘ２＋２２，
解得 ｘ＝，
∴ ＣＥ 的长为．
１３．解析 （ １ ） ∵ △ＡＢＣ 和△ＤＥＦ 都是边长为 １０ ｃｍ的等 边 三 角 形，
∴ ＡＣ ＝ＤＦ，∠ＡＣＤ＝ ∠ＦＤＥ ＝ ６０°，
∴ ＡＣ ∥ ＤＦ，
∴ 四 边 形ＡＤＦＣ 是平行四边形，
当ｔ ＝ ３ 时，点Ｂ与点Ｄ重合，
∴ＡＤ ＝ＤＦ，
∴ 四边形ＡＤＦＣ 是菱形．故当ｔ＝３时，四边形ＡＤＦＣ是菱形．
(2)t=12时，四边形ＡＤＦＣ是矩形，面积=100

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